初中經(jīng)典幾何模型鑒賞

./初中經(jīng)典幾何模型鑒賞中點(diǎn)模型中點(diǎn)模型[模型1]倍長(zhǎng)倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長(zhǎng)相交[模型2]遇多個(gè)中點(diǎn),構(gòu)造中位線直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連[例1]在菱形ABCD和正三角形BEF中,∠ABC=60°,G是DF的中點(diǎn),連接GC、GE．〔1如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí),若AB=10,BF=4,求GE的長(zhǎng)；〔2如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),線段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系,寫出你的猜想；并給予證明；〔3如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),<2>問(wèn)中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想,并給予證明.[例2]如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是BC、CD上一點(diǎn),連接DE、EF,且AE=AF,．<1>求證：CE=CF；<2>若,點(diǎn)G是線段AF的中點(diǎn),連接DG,EG．求證：DG上GE．[例3]如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別為BC、AD中點(diǎn),BA交EF延長(zhǎng)線于G,CD交EF于H．求證：∠BGE=∠CHE．角平分線模型角平分線模型[模型1]構(gòu)造軸對(duì)稱[模型2]角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形[例4]如圖,平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD交BC邊于E,EF⊥AE交CD邊于F,交AD邊于H,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G,使AG=CF,連接GF．若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF的長(zhǎng)為.手拉手模型手拉手模型[條件][結(jié)論]導(dǎo)角核心圖形：八字形導(dǎo)角核心圖形：八字形[例5]如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足為F,連接OF,則OF的長(zhǎng)為.[例6]如圖,中,,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC邊上,連結(jié)BE,AG⊥BE于F,交BC于點(diǎn)G,求[例7]如圖,在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中,E是AB邊上一點(diǎn),G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BE＝DG,連接EG,CF⊥EG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接CE、BH。若BH＝8,則FG＝.鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)模型鄰邊相等對(duì)角互補(bǔ)模型[模型1][條件]如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,[結(jié)論]AC平分[模型2][條件]如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,[結(jié)論][例8]如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G為CD中點(diǎn),DE=DG,FG⊥BE于F,則DF為.[例9]如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M,使BM=1,連接AM,過(guò)點(diǎn)B作,垂足為N,O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),連接ON,則ON的長(zhǎng)為.[例10]如圖,正方形ABCD的面積為64,是等邊三角形,F是CE的中點(diǎn),AE、BF交于點(diǎn)G,則DG的長(zhǎng)為.半角模型半角模型[模型1][條件]如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,,[結(jié)論][模型2][條件]在正方形ABCD中,已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,AE、AF分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)M、N.[結(jié)論]<1>BE+DF=EF；<2>S△ABE+S△ADF=S△AEF；<3>AH=AB；<4>C△ECF=2AB；<5>BM2+DN2=MN2；<6>△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM；<由AO：AH=AO：AB=1：可得到△ANM和△AEF的相似比為1：>；<7>S△AMN=S四邊形MNFE；<8>△AOM∽△ADF,△AON∽△ABE；<9>△AEN為等腰直角三角形,∠AEN=45°；△AFM為等腰直角三角形,∠AFM=45°.<1.∠EAF=45°；2.AE：AN=1：>；<10>A、M、F、D四點(diǎn)共圓,A、B、E、N四點(diǎn)共圓,M、N、F、C、E五點(diǎn)共圓.[模型2變型][條件]在正方形ABCD中,已知E、F分別是邊CB、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°[結(jié)論]BE+EF=DF[模型2變型][條件]在正方形ABCD中,已知E、F分別是邊CB、DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°[結(jié)論]DF+EF=BE[例11]如圖,和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,,的頂點(diǎn)E與的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于點(diǎn)Q．若AQ=12,BP=3,則PG=.[例12]如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E、F分別在AB、AD上,且AE=DF.連接BF與DE交于點(diǎn)G,連接CG與BD交于點(diǎn)H,若CG=1,則.一線三等角模型一線三等角模型[條件][結(jié)論][例13]如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn),EB=3,GC=4,連接EF、FG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,則正方形的邊長(zhǎng)為.弦圖模型弦圖模型[條件]正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段[結(jié)論]新構(gòu)成了同心的正方形[例14]如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上一點(diǎn),點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上,AF=AB,AC與FD交于點(diǎn)G,∠FAB的平分線交FG于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)D作HA的垂線交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn).若,,則DG=.[例15]如圖,中,,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AC重點(diǎn),連結(jié)BE,作AG⊥BE于F,交BC于點(diǎn)G,連接EG,求證：AG+EG=BE.最短路徑模型最短路徑模型[兩點(diǎn)之間線段最短]1、將軍飲馬2、費(fèi)馬點(diǎn)[垂線段最短][兩邊之差小于第三邊][例16]如圖,矩形是一個(gè)長(zhǎng)為1000米,寬為600米的貨場(chǎng),、是入口．現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)收費(fèi)站,在鐵路線段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái),設(shè)鋪設(shè)公路、以及之長(zhǎng)度和為．求的最小值．[例17]如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是.[例18]如圖所示,在矩形ABCD中,,E是線段AB的中點(diǎn),F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),沿直線EF翻折到,連接,最短為.

[例19]如圖1,ABCD中,AE⊥BC于E,AE=AD,EG⊥AB于G,延長(zhǎng)GE、DC交于點(diǎn)F,連接AF．<1>若BE=2EC,AB=,求AD的長(zhǎng)；<2>求證：EG=BG+FC；<3>如圖2,若AF=,EF=2,點(diǎn)是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,將沿翻折得,連接,試求當(dāng)取得最小值時(shí)的長(zhǎng)．課后練習(xí)題[練習(xí)1]如圖,以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形,,、交于。已知、的長(zhǎng)分別為3cm、5cm,求三角形的面積．[練習(xí)2]問(wèn)題1：如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,點(diǎn)M,N分別在AD,CD上,∠MBN=∠ABC,試探究線段MN,AM,CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想；問(wèn)題2：如圖2,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,點(diǎn)M,N分別在DA,CD的延長(zhǎng)線上,若∠MBN=∠ABC仍然成立,請(qǐng)你進(jìn)一步探究線段MN,AM,CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想,并給予證明.[練習(xí)3]已知：如圖1,正方形ABCD中,E為對(duì)角線BD上一點(diǎn),過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn),連接EG,