第7課時-第三章-第二節(jié)-測量不確定度的評定與表示

（四)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算無論各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量是由a類評定還是b類評定得到，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到的。測量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度用符號表示。1.測量不確定度的傳播律當(dāng)被測量的測量結(jié)果y的數(shù)學(xué)模型為線性函數(shù)y=(x1,x2,……xn)時，測量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)按式(3－64)計算，此式稱為“不確定度傳播律”。

（3—64）式中：y——輸出量的估計值，即被測量的測量結(jié)果；

xi，xj——輸入量的估計值，i≠j；n——輸入量的數(shù)量；——偏導(dǎo)數(shù)，又稱靈敏系數(shù)，可表示為ci，cj；u(xi），u(xj）——輸入量xi和xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

r（xi，xj）——輸入量xi與xj的相關(guān)系數(shù)估計值；注：當(dāng)數(shù)學(xué)模型為非線性函數(shù)時，可采用泰勒級數(shù)展開，舍去高次項后得到近似的線性函數(shù)。

（四)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算無論各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量是由a類評定還是b類評定得到，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到的。測量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度用符號表示。1.測量不確定度的傳播律當(dāng)被測量的測量結(jié)果y的數(shù)學(xué)模型為線性函數(shù)y=(x1,x2,……xn)時，測量結(jié)果y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)按式(3－64)計算，此式稱為“不確定度傳播律”。

（3—64）式中：y——輸出量的估計值，即被測量的測量結(jié)果；

xi，xj——輸入量的估計值，i≠j；n——輸入量的數(shù)量；——偏導(dǎo)數(shù)，又稱靈敏系數(shù)，可表示為ci，cj；u(xi），u(xj）——輸入量xi和xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；

r（xi，xj）——輸入量xi與xj的相關(guān)系數(shù)估計值；注：當(dāng)數(shù)學(xué)模型為非線性函數(shù)時，可采用泰勒級數(shù)展開，舍去高次項后得到近似的線性函數(shù)。(2)當(dāng)被測量的函數(shù)形式為：y=a1x1+a2x2+…+anxn，且各輸入量間不相關(guān)時，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3－69)

(3)當(dāng)被測量的函數(shù)形式為y=a(x1p1

x2p2…xnpn)且各輸入量間不相關(guān)時，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3－70)如果式(3－70)中pi=1，則被測量的測量結(jié)果的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是各輸入量的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方和根值

(3－71)

3.輸入量間相關(guān)系數(shù)均為+1時合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定當(dāng)所有輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為1時，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3～72)當(dāng)所有輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為+1，靈敏系數(shù)為1時，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)為

(3～73)由此可見，當(dāng)輸入量都正強(qiáng)相關(guān)，且靈敏系數(shù)均為1時，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是各輸入量標(biāo)準(zhǔn)確定度分量的代數(shù)和。也就是說，強(qiáng)相關(guān)時不再是方和根法合成?！景咐靠纯慈缦虏淮_定度評定是否合適：某計量檢定機(jī)構(gòu)在評定某臺計量儀器的重復(fù)性sr時，通過對某穩(wěn)定的量q重復(fù)觀測了n次，按貝賽爾公式，計算出任意觀測值qk的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差s(qk)=0.5，然后，考慮該儀器讀數(shù)分辨力δq=1.0，由分辨力導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(q)=0.29δq=0.29×1.0=0.29將s(qk)與u(q)合成，作為儀器示值的重復(fù)性不確定度ur(qk)

【案例分析】重復(fù)性條件下，示值的分散性既決定于儀器結(jié)構(gòu)和原理上的隨機(jī)效應(yīng)的影響，也決定于分辨力。依據(jù)jjfl059一1999第6.11節(jié)指出：“同一種效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度已作為一個分量進(jìn)入uc(y)時，它不應(yīng)再包含在另外的分量中”。該機(jī)構(gòu)的這一評定方法，出現(xiàn)了對分辨力導(dǎo)致的不確定度分量的重復(fù)計算，因為在按貝塞爾方法進(jìn)行的重復(fù)觀測中的每一個示值，都無例外地已受到分辨力影響導(dǎo)致測量值q的分散，面在s(qk)中已包含了δq效應(yīng)導(dǎo)致的結(jié)果，而不必再u(q)與s(qk)合成為ur(qk)。該機(jī)構(gòu)采取這二者合成作為ur(qk)是不對的。有些情況下，有些儀器的分辨力很差，以致分辨不出示值的變化。在實驗中會出現(xiàn)重復(fù)性小，即：s(qk)≤u(q)。特別是用非常穩(wěn)定的信號源測量數(shù)字顯示式測量儀器，在多次對同一量的測量中，示值不變或個別的變化甚小，反而不如u(q)大。在這一情況下，應(yīng)考慮分辨力導(dǎo)致的測量不確定度分量，即在s(qk)與u(q)兩個中，取其中一個較大者，而不能同時納入?！景咐治觥恐貜?fù)性條件下，示值的分散性既決定于儀器結(jié)構(gòu)和原理上的隨機(jī)效應(yīng)的影響，也決定于分辨力。依據(jù)jjfl059一1999第6.11節(jié)指出：“同一種效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度已作為一個分量進(jìn)入uc(y)時，它不應(yīng)再包含在另外的分量中”。該機(jī)構(gòu)的這一評定方法，出現(xiàn)了對分辨力導(dǎo)致的不確定度分量的重復(fù)計算，因為在按貝塞爾方法進(jìn)行的重復(fù)觀測中的每一個示值，都無例外地已受到分辨力影響導(dǎo)致測量值q的分散，面在s(qk)中已包含了δq效應(yīng)導(dǎo)致的結(jié)果，而不必再u(q)與s(qk)合成為ur(qk)。該機(jī)構(gòu)采取這二者合成作為ur(qk)是不對的。有些情況下，有些儀器的分辨力很差，以致分辨不出示值的變化。在實驗中會出現(xiàn)重復(fù)性小，即：s(qk)≤u(q)。特別是用非常穩(wěn)定的信號源測量數(shù)字顯示式測量儀器，在多次對同一量的測量中，示值不變或個別的變化甚小，反而不如u(q)大。在這一情況下，應(yīng)考慮分辨力導(dǎo)致的測量不確定度分量，即在s(qk)與u(q)兩個中，取其中一個較大者，而不能同時納入。例如：一個振蕩器的頻率與環(huán)境溫度可能有關(guān)，則可以把頻率f和環(huán)境溫度t作為兩個輸入量，即xi=t，xj=f，同時觀測每個溫度下的頻率值，得到一組tk，fk數(shù)據(jù)，共觀測n組，k=1，2，…，n。計算算術(shù)平均值，則由下式可以計算它們的協(xié)方差如果協(xié)方差為零，說明頻率與溫度無關(guān)，如果協(xié)方差不為零，就顯露出它們間的相關(guān)程度。

(3)用同時觀測兩個量的方法確定相關(guān)系數(shù)的估計值根據(jù)對x和y兩個量同時測量的n組測量數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)的估計值按式(3－75)計算

(3—75)式中，s(x)和s(y)分別為x和y的實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差。

(4)用經(jīng)驗公式估計相關(guān)系數(shù)如果兩個輸入量xi，xj相關(guān)，xi變化會使xj相應(yīng)變化變化，則xi和xj的相關(guān)系數(shù)可用經(jīng)驗公式(3－76)估計

(3—76)式中，u(xi）和u(xj）分別為xi和xj的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。(5)采用適當(dāng)方法去除相關(guān)性①將引起相關(guān)的量作為獨(dú)立的附加輸入量進(jìn)入數(shù)學(xué)模型例如xi和xj原來是不相關(guān)的兩個量，但都需要做溫度修正，若用同一個溫度計測量溫度，則如果該溫度計示值偏大，兩者的修正值同時受影響，即存在xi=f（t），xj=g（t），所以y=f(xi，xj)中兩個輸入量xi與xj成為相關(guān)的了。只要在數(shù)學(xué)模型中把溫度t作為獨(dú)立的附加輸入量，即y=f(xi，xj，t)，該附加輸入量具有與上述兩個量不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。則在計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時就不需再引入xi與xj的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)了。②采取有效措施變換輸入量例如在量塊校準(zhǔn)中校準(zhǔn)值的不確定度分量中包括標(biāo)準(zhǔn)量塊的溫度θs及被校量塊的溫度θ兩個輸入量，即l=f(θs，θ)。由于兩個量塊處在同一實驗室的同一臺測量裝置上，溫度θs與θ是相關(guān)的。但只要把θ變換為，使數(shù)學(xué)模型中只有被校量塊與標(biāo)準(zhǔn)量塊的溫度差么與標(biāo)準(zhǔn)量塊的溫度作為兩個輸入量時，這兩個輸入量間就不相關(guān)了，即中不相關(guān)。

5.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度的計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)的自由度稱為有效自由度，用符號veff表示。在以下情況時需要計算有效自由度veff（1）

當(dāng)需要評定up時為求得kp而必須計算的自由度veff；（2）

當(dāng)用戶為了解所評定的不確定度的可靠程度而提出要求時。有效自由度的計算公式:

(3－77)當(dāng)測量模型為時，有效自由度可用相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的形式計算，式3－78

(3－78)實際計算中，得到的有效自由度veff不一定是一個整數(shù)。如果不是整數(shù)，可以采用將veff數(shù)字舍位到最接近的一個較低的整數(shù)。例如計算得到veff=12.65，則取veff=12。

有效自由度計算舉例：

設(shè)y=f(x1

,x2,x3)=bx1

x2x3，x1

,x2,x3的估計值x1

,x2,x3分別是nl，n2

，n3次測量的算術(shù)平均值，n2=10，n2=5，n3=15。它們的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為：u(x1）/x1=0.25%

，u(x2）/x2=0.57%，u(x3）/x3=0.82%這種情況下合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其有效自由度為

6.合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算流程合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算流程如圖3－16所示。

圖3－16合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算流程圖(五)擴(kuò)展不確定度的確定1.確定擴(kuò)展不確定度的流程

圖3－17確定擴(kuò)展不確定度的流程圖2.擴(kuò)展不確定度u的評定方法

(1)擴(kuò)展不確定度以由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u

c乘包含因子k得到u=kuc

(3—79)測量結(jié)果可表示為：y=y±u；y是被測量y的最佳估計值，被測量y的可能值以較高的包含概率落在[y－u，y+u]區(qū)間內(nèi)，即y－u≤y≤y+u，擴(kuò)展不確定度u是該統(tǒng)計包含區(qū)間的半寬度。

(2)包含因子k的選取包含因子k的值是根據(jù)u=kuc所確定的區(qū)間y±u需具有的置信水平來選取。k值一般取2或3。當(dāng)取其他值時，應(yīng)說明其來源。為了使所有給出的測量結(jié)果之間能夠方便地相互比較，在大多數(shù)情況下取k=2。當(dāng)接近正態(tài)分布時，測量值落在由以所給出的統(tǒng)計包含區(qū)間內(nèi)的概率為：

若k=2，則由u=2uc所確定的區(qū)間具有的包含概率(置信水平)約為95%。

若k=3，則由u=3uc所確定的區(qū)間具有的包含概率(置信水平)約為99%以上。當(dāng)給出擴(kuò)展不確定度u時，應(yīng)注明所取得k值。3.明確規(guī)定包含概率時擴(kuò)展不確定度up的評定方法當(dāng)要求擴(kuò)展不確定度所確定的區(qū)間具有接近于規(guī)定的包含概率p時，擴(kuò)展不確定度用符號up表示

up=kp

uc

(3—80)kp是包含概率為p時的包含因子。

(1)接近正態(tài)分布時kp的確定根據(jù)中心極限定理，當(dāng)不確定度分量很多，且每個分量對不確定度的影響都不大時，其合成分布接近正態(tài)分布，此時若以算術(shù)平均值作為測量結(jié)果y，通常可假設(shè)概率分布為t分布，可以取kp值為t值。即kp=tp(veff)

(3—81)根據(jù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)的有效自由度veff和需要的置信水平p，查表得到的t值即置信水平為p的包含因子kp。擴(kuò)展不確定度up=kp

uc(y)提供了一個具有包含概率(置信水平)為p的區(qū)間y±up。獲得kp的計算步驟為：①先求得測量結(jié)果y及其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)。②按式(3－82)計算uc(y)的有效自由度veff

(3－82)式中，ci為靈敏系數(shù)，u(xi)為輸入量xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，vi為u(xi)的自由度。當(dāng)u(xi)為a類標(biāo)準(zhǔn)不確定度時，是由n次觀測得到的s(x)或，其自由度為vi=n—1；當(dāng)u(xi)為b類標(biāo)準(zhǔn)不確定度時，用式(3－83)估計自由度vi

(3－83)

式中，δu(xi)/u(xi)是標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)的相對不確定度，是所評定的u(xi)的不可靠程度。在實際工作中，b類標(biāo)準(zhǔn)不確定度通常根據(jù)區(qū)間[－a,a]的信息來評定。若可假設(shè)被測量值落在區(qū)間外的概率極小，則可認(rèn)為u(xi)的評定是很可靠的，即δu(xi)/u(xi)

0，此時，可假設(shè)u(xi)的自由度vi

∞。③據(jù)要求的置信水平p和計算得到的有效自由度veff，查t分布的t值表得到tp(veff)值。④取kp=tp(veff)，并計算up=kp

uc?！景咐磕硿y量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.0lmm，其有效自由度為9；要求給出其擴(kuò)展不確定度up，由該擴(kuò)展不確定度所確定的區(qū)間具有包含概率為p=95%?！景咐治觥扛鶕?jù)確定up的步驟，計算如下：①已知uc(y)=0.0lmm，uc(y)的有效自由度veff=9；②要求p=95%=0.95，根據(jù)p和veff，查t分布值表，得到t(0.95，9)=2.26；③則kp=t(0.95，9)=2.26；④計算up，up=kp

uc=2.26×0.0lmm=0.023mm；⑤所以，該測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度u95=0.023mm

(kp

=2.26)

(2)當(dāng)合成分布為非正態(tài)分布時kp的選?。私猓┤绻淮_定度分量很少，且其中有一個分量起主要作用，合成分布就主要取決于此分量的分布，可能為非正態(tài)分布。①當(dāng)要求確定up，而合成的概率分布為非正態(tài)分布時，應(yīng)根據(jù)概率分布確定kp值。②實際上，當(dāng)合成分布接近均勻分布時，為了便于測量結(jié)果間進(jìn)行比較，有時約定仍取k為2。這種情況下給出擴(kuò)展不確定度時，包含概率遠(yuǎn)大于0.95，所以此時應(yīng)注明k的值，但不必注明p的值。

知識點(diǎn)、表示不確定度的符號(2)當(dāng)合成分布為非正態(tài)分布時kp的選?。私猓┤绻淮_定度分量很少，且其中有一個分量起主要作用，合成分布就主要取決于此分量的分布，可能為非正態(tài)分布。①當(dāng)要求確定up，而合成的概率分布為非正態(tài)分布時，應(yīng)根據(jù)概率分布確定kp值。②實際上，當(dāng)合成分布接近均勻分布時，為了便于測量結(jié)果間進(jìn)行比較，有時約定仍取k為2。這種情況下給出擴(kuò)展不確定度時，包含概率遠(yuǎn)大于0.95，所以此時應(yīng)注明k的值，但不必注明p的值。知識點(diǎn)、gum法及蒙特卡洛法1.

gum法通過不確定傳播率計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，從而得到被測量估計值的測量不確定度的方法成為gum法，即不確定度指南的方法。gum法的使用詳見jjf1059.1－2012《測量不確定度表示與評定》。gum法主要適用條件：（1）

可以假設(shè)輸入量的概率分布呈對稱分布；（2）

可以假設(shè)輸入量的概率分布近似為正態(tài)分布或t分布；（3）

測量模型為線性模型、可以轉(zhuǎn)換為線性的模型或可用線性模型近似的模型。

2.蒙特卡洛法當(dāng)不能滿足上述gum法的適用條件時，可考慮采用蒙特卡洛法評定測量不確定度。jjf1059.1－2012《測量不確定度表示與評定》中還規(guī)定：有時雖然gum法的適用條件不完全滿足，當(dāng)用gum法評定的結(jié)果得到蒙特卡洛法驗證時，依然可用gum法評定測量不確定度。因此gum法依然是評定測量不確定度的最基本方法。蒙特卡洛法簡稱mcm，mcm是采用概率分布傳播的方法，即通過對輸入量xi的概率密度