2022-2023學(xué)年廣東省陽(yáng)江市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省陽(yáng)江市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)并集及補(bǔ)集運(yùn)算求解即可.【詳解】由已知得，全集，故．故選：C2．已知，若，則cos2α的值為（

）A． B． C．0 D．或0【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式以及弦切互化即可求解.【詳解】得，進(jìn)而可得，由于，所以，故，又，故選：B3．已知中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，D是AB上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）且，，則的最大值是（

）A． B．C．2 D．4【答案】A【分析】由正余弦邊角關(guān)系可得，進(jìn)而有，設(shè)，則，且，利用正弦定理、和差角正弦公式得，即可求最大值.【詳解】由，則，即，所以，，則，

設(shè)，則，且，△中，則，△中，則，又，即，（為△的外接圓半徑），所以，即，又，故，時(shí)，.故選：A4．已知直角梯形，點(diǎn)在邊上.將沿折成銳二面角，點(diǎn)均在球的表面上，當(dāng)直線和平面所成角的正弦值為時(shí)，球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)知共圓，并確定外接圓圓心位置，由已知求得到直線的距離且面，進(jìn)而有面面，確定△的形狀，找到外接圓圓心，利用幾何關(guān)系求外接球半徑，進(jìn)而求表面積.【詳解】由題設(shè)知：，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則，故，要使均在球的表面上，則共圓，由直角梯形，則，所以，所以，故在繞旋轉(zhuǎn)過程中面，面，所以面面，即到面的距離為，即到直線的距離，沿折成銳二面角，過于，則，又，則，故，即，綜上，△、△都是以為斜邊的直角三角形，且，所以，易知：△為等邊三角形，則為中點(diǎn)，故，，在△中，，而，即為的中點(diǎn)，同時(shí)△△，若為的中點(diǎn)，即為外接圓圓心，連接，則且，故面，且△為等邊三角形，球心是過并垂直于面的直線與過△外接圓圓心垂直于面的直線交點(diǎn)，若球的半徑為，則，所以球的表面積.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定共圓、面面為關(guān)鍵，利用幾何關(guān)系求外接球半徑.5．在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)平面，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的外接球面積為 B．直線平面C．正方體被平面截得的截面為正六邊形 D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】D【分析】可證明正方體被平面截得的截面為正六邊形，故可判斷C的正誤，利用面面平行的判定定理可判斷B的正誤，利用補(bǔ)體法可求的外接球的直徑后可判斷A的正誤，利用向量的方法可求到平面的距離，從而可求點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，故可判斷D的正誤.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接.由正方體的性質(zhì)可得，而為三角形的中位線，故，故，故四點(diǎn)共面，同理，也四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理也四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面.正方體被平面截得的截面為六邊形，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，而平面平面，故，而為三角形的中位線，故，故，但與方向相反，故與互補(bǔ)，而為等邊三角形，故，故，

同理，故正方體被平面截得的截面為正六邊形，故C正確.由，平面，平面，故平面，同理故平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，故B正確.對(duì)于A，將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，其中分別為、的中點(diǎn)，則其外接球的直徑即為的體對(duì)角線的長(zhǎng)度即，故三棱錐的外接球的表面積為，故A正確.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，故，設(shè)平面的法向量為，則，故，取，則，故，而，故到平面的距離為，而，故點(diǎn)的軌跡為平面與球面的截面（圓），該圓的半徑為，故圓的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間幾何題外接球的半徑的求法，可先根據(jù)幾何性質(zhì)確定球心的位置，然后把球的半徑放置在可解的圖形中求解，也可以通過補(bǔ)體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的外接球的半徑，而與球的截面的計(jì)算問題，則需計(jì)算球心到截面的距離.6．過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對(duì)稱時(shí)，線段的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點(diǎn)的連線垂直于直線，利用這一關(guān)系即可得到切線的長(zhǎng).【詳解】如圖所示，圓心為，連接，

因?yàn)橹本€，關(guān)于對(duì)稱，所以垂直于直線，故，而，所以.故選：C7．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過中間值1結(jié)合不等式性質(zhì)可得；解法一：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得；解法二：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即；解法一：?gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，可得，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，則，所以，則，即；解法二：構(gòu)造，則，令，解得，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，可得；綜上所述：.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．8．若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，且對(duì)恒成立，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的取值情況及單調(diào)性，分別計(jì)算可得.【詳解】由題意可知，，即對(duì)恒成立．設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，則恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、多選題9．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度的最小值為B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角正弦值的取值范圍為D．若動(dòng)點(diǎn)在線段上，則線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【分析】對(duì)于,利用面面平行，確定點(diǎn)在線段在線段上，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小；對(duì)于,三棱柱體積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)線面平行可知，點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷；對(duì)于,點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與所成角為，可排除；對(duì)于，線段長(zhǎng)度可轉(zhuǎn)化為直線與之間的距離，在轉(zhuǎn)化為線面距，即可求解.【詳解】對(duì)于,如下圖所示，

連接,易得平面,所以平面,同理，平面,又所以平面平面,又平面平面,故可知?jiǎng)狱c(diǎn)在線段上，則時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，此時(shí)是的中點(diǎn)，易求所以正確；對(duì)于,平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積也為定值，則為定值，即三棱錐的體積為定值，所以正確；對(duì)于因?yàn)橹本€與所成角即為異面直線與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，，即直線與所成角為，其正弦值為故錯(cuò)誤；對(duì)于,由題意，異面直線與之間的距離，即為線段長(zhǎng)度的最小值，連接平面,

故平面,則異面直線與之間的距離即為到平面距離，即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為又

即即則正確.故選：10．已知直線：與圓：．則下列說法正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓相離C．圓心到直線距離的最大值是D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小值為【答案】AD【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，即，令，即，得，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓：內(nèi)部，所以直線與圓相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閳A：，可化為，圓心，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，圓心到直線距離取得最大值，此時(shí)其值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由弦長(zhǎng)公式可知，當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為，故D正確.故選：AD.11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】同構(gòu)函數(shù)可判斷A，B；由對(duì)數(shù)均值不等式可判斷C，D.【詳解】由，得，所以，，當(dāng)時(shí)，，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以，即，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由得，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以由不一定能得到，即不一定成立，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由前面的分析可知，此時(shí)，，令，，則有，不妨設(shè)，得，下面證明，當(dāng)時(shí)，不等式成立.先證右邊，要證，只要證，即證，令，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立，從而得證；再證左邊，要證，只要證，即證，令，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即成立，從而得證.由，，得，即，故C正確；由，，得，即，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)熟練掌握證明極值點(diǎn)偏移問題的常用方法，如對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)法、對(duì)數(shù)均值不等式、指數(shù)均值不等式等.12．一個(gè)不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各一個(gè)，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記錄顏色后放回，當(dāng)三種顏色的小球均被摸出過時(shí)就停止摸球.設(shè)“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍(lán)球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則（

）A． B．C．， D．，【答案】ACD【分析】對(duì)選項(xiàng)AC，求出包含的事件數(shù)為，從而得到，并計(jì)算出；選項(xiàng)B，計(jì)算出，，利用條件概率公式計(jì)算出答案，選項(xiàng)D，得出，，和，，利用條件概率公式得到答案.【詳解】對(duì)于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有種可能，若恰好摸球n次就停止摸球，則恰好第n次三種顏色都被摸到，即前次摸到2種顏色，第n次摸到第三種顏色，共種情況，則，，，AC正確；對(duì)于B，事件表示第一次摸到紅球，摸到第4次，摸球結(jié)束，若第2次或第3次摸到的球?yàn)榧t球，此時(shí)有種情況，不妨設(shè)第2次摸到的球?yàn)榧t球，則第3次和第4次摸到的球?yàn)樗{(lán)球或黃球，有2種可能，故有種情況，若第2次和第3次都沒有摸到紅球，則第2次和第3次摸到的球顏色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球顏色不同，故有種情況，故，其中摸4次球可能的情況有種，故，其中，故，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，表示“第次摸到藍(lán)球，第次摸到黃球，第次摸到紅球，停止摸球”，則前次摸到的球是藍(lán)球或黃球，故有種可能，故，，表示“在前次摸球中，第次摸到藍(lán)球，第次摸到黃球”，故有種可能，故，，則，，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】常見的條件概率處理方法，其一是用樣本點(diǎn)數(shù)的比值處理，需要弄情況事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)，其二是用概率的比值處理，也可以縮小樣本空間，從而確定概率，解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于分析情況基本事件.三、填空題13．已知函數(shù)，若在區(qū)間上有兩個(gè)不同的使得，則的取值范圍是.【答案】【分析】先解方程，然后根據(jù)的范圍，得到的范圍，再結(jié)合方程有兩個(gè)不同的根，列不等式即可.【詳解】，即：，，或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；在區(qū)間上，，兩個(gè)不同的使得成立，，，故答案為：14．已知圓，過點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為.【答案】【分析】設(shè)圓心為，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與所在的直線垂直時(shí)最大，弦長(zhǎng)最小，求解即可.【詳解】將圓的一般方程化為設(shè)圓心為，直線過點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則，半徑，

設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)，當(dāng)直線與所在的直線垂直時(shí)最大，此時(shí)最小，這時(shí)，所以最小的弦長(zhǎng)，故答案為：.15．若時(shí)，不等式恒成立，則整數(shù)的最大值為.【答案】2【分析】方法1：參變分離可得恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得解；方法2：設(shè)，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，考慮的情形，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】法1：不等式可化為，由，知，則時(shí)，恒成立.設(shè)，，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，則在上存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，且，化簡(jiǎn)得，因，則，則整數(shù)的最大值為.法2：設(shè)，，，要求整數(shù)的最大值，則直接考慮的情形，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令，，，則在上單調(diào)遞減，，，則整數(shù)的最大值為2；故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．16．已知中，，，是線段上的兩點(diǎn)，滿足，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)角分線的向量性質(zhì)及中線的向量性質(zhì)化簡(jiǎn)得解.【詳解】由已知，，則，所以，則，所以，即，即，又點(diǎn)在上，所以，所以，即，又，則，，即，聯(lián)立，得，解得，或（舍），所以，則，所以，故答案為：.四、解答題17．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且.(1)證明：；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用兩角差的正弦公式以及正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，繼而利用余弦定理化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論；（2）由利用正弦定理邊化角結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)可得，利用為銳角三角形，求出角C范圍，即可求得答案.【詳解】（1）證明：依題意知，故，即，由余弦定理得，代入可得，因?yàn)?，所以，即；?）由題意為銳角三角形，且，由（1）知，則，由正弦定理得，，其中為銳角，所以，因?yàn)?，則，解得，則，則，即，因此.18．設(shè)數(shù)列滿足，．(1)證明：．(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知構(gòu)造比值式再結(jié)合基本不等式證明即可；（2）由（1）的結(jié)論可得，利用迭代法得，結(jié)合等比數(shù)列求和計(jì)算即可.【詳解】（1）∵數(shù)列滿足，，∴易知，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故．（2）由（1）可得．從而，∴．19．如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在上滿足平面，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）連結(jié)交于，連結(jié)，通過證明PCOF，可證平面；（2）如圖連結(jié)交延長(zhǎng)線于，連結(jié)交于，連結(jié)，，，EN.由平面，可得N為CD中點(diǎn)，后通過證明ENFDBG，可得，繼而可得答案.【詳解】（1）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，因在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則FO.又平面，平面，故平面；（2）如圖連結(jié)交延長(zhǎng)線于，連結(jié)交于，連結(jié)，，，EN.因，則四點(diǎn)共面.又平面，平面平面，則，四邊形為平行四邊形，可得為中點(diǎn).則為BG中點(diǎn).即EN為中位線，則ENPG，.又DN，則四邊形EFDN為平行四邊形，ENFD.從而FDPG，.20．已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，為弦的中點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出，由韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)結(jié)合斜率關(guān)系可得出，代入結(jié)合可得出的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意可知，所以，所以①，又，所以②，由①②可得，，所以橢圓的方程為．（2）解：設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立，得，由題知，可得③，由韋達(dá)定理可得，，從而，，，則，即④，把④代入③得，解得，又，故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.21．新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確的，每一道題考生全部選對(duì)得5分.對(duì)而不全得2分，選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，沒有4個(gè)選項(xiàng)都正確的（在本問題中認(rèn)為其概率為0）.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得5分的概率為，求；(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只