2022年福建省安溪高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X），記〃x）=/'（x），f2（x）=f；（x）,力+|（力=力'（力（相2）.若

〃x）=xsinx,則力oi9（x）+力⑼（力=（）

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

2.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=-si24n'+ico2sTC上的共甄復(fù)數(shù)5在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

33

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.劉徽（約公元225年-295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割

之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作，割圓

術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正〃邊形等分成"個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)"變得很大時(shí)，這?個(gè)等腰三角形的

面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到sin2的近似值為（）

兀c兀71_兀

A.—B.---c.D.-----

90180270360

4.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)二滿足三二

-~z—i,則2=()

1+21

A.l+iB.-1+ic.l-2iD.l+2i

5.已知函數(shù)y=/（x）在R上可導(dǎo)且/（x）＜/'（x）恒成立，則下列不等式中一定成立的是（)

A./⑶>,/(2018)>.刎87(0)

B./(3)<-〃(0)、7(2018)>,刎8/(0)

)⑼、?2OI7(o)

C./(3)>1/(2018)<<

D.〃3）＜//（0）、/（2018）＜e20,7（0）

6.復(fù)數(shù)z（l-i）=i（i為虛數(shù)單位），則z的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.已知角?的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,T)，則sina+

cosa

37

A.B.—

~515

3713

C.D.—

2015

8.已知函數(shù)/(x)=Gsin?yx+3coscyx(0>O),對(duì)任意的王，x2,當(dāng)/(%)/(%)=-12時(shí)，上一引“而=事

則下列判斷正確的是()

A?嫄=17T71

B.函數(shù)/(X)在『5上遞增

74

C.函數(shù)/(力的一條對(duì)稱(chēng)軸是x=——D.函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是

6

9.已知函數(shù)/(x)=e'+人的一條切線為y=a(x+l),貝心活的最小值為(

112

C.——I).一

2ee

10.如果。<a<0,那么下列不等式成立的是()

]_fl

A.log2|^<log2|a|<

275

h3>/D.ab<b1

11.若x,a,b均為任意實(shí)數(shù),且(a+2y+e—3)2=1,則(x—+(lnx—4的最小值為()

A.3V2B.18C.3V2-1D.19-6A/2

12.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=-2,%=10,則Sg=()

A.45B.42C.25D.36

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2y2

13.已知雙曲線C:==1(。,人>0)的左右焦點(diǎn)為耳，K，過(guò)F?作無(wú)軸的垂線與C相交于兩點(diǎn)，耳8與)，軸

a

相交于。.若則雙曲線C的離心率為.

14.如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動(dòng)到8地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從A移動(dòng)到8最近的走

法共有一種.

B

15.若橢圓C：—+y=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(。/)，則。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

m/772-1

3

16.已知｛4｝為等比數(shù)列，S”是它的前〃項(xiàng)和.若%%=2",且4與2%的等差中項(xiàng)為I，貝!|Ss=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓C:1+y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為6,6，直線/垂直于x軸，垂足為T(mén),與拋物線y2=4x交于

不同的兩點(diǎn)P,Q,且及?月弓=-5,過(guò)F2的直線團(tuán)與橢圓C交于45兩點(diǎn)，設(shè)幣=4月反且2,-1].

(1)求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(2)求|毒+岳|的取值范圍.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形，且垂直于底面ABCD,

AB=BC=l,ZBAD=ZABC=9Q,ZAPC=45°,M,N分別是AD,P。的中點(diǎn).

(1)證明：平面CNN//平面Q4B；

—2—

(2)已知點(diǎn)E在棱PC上且CE=]CP,求直線NE與平面B鉆所成角的余弦值.

19.(12分)在底面為菱形的四棱柱中，AB=AA,=2,A,B=^ZBAD=60°,AC^BD=O,AOV^-

面ABO.

(1)證明：gc〃平面480；

(2)求二面角的正弦值.

20.(12分)如圖，已知四邊形ABC。的直角梯形，AD//BC,ADLDC,45=4,DC=BC=2,G為線段AO

的中點(diǎn)，PGL平面ABC。，PG=2,M為線段AP上一點(diǎn)(M不與端點(diǎn)重合).

(1)若

(i)求證：PC〃平面BMG；

(ii)求平面PAD與平面BMZ)所成的銳二面角的余弦值;

(2)否存在實(shí)數(shù)4滿足加'=4/，使得直線P3與平面BMG所成的角的正弦值為巫，若存在，確定的/I值,

5

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)AABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a、b、c,2a+c=2bcosC.

(1)求B的大??；

(2)若。=3,且G為AABC的重心，且|網(wǎng)=半，求AABC的面積.

x—33/

22?(1°分)在平面直角坐標(biāo)系X。),中'直線’的參數(shù)方程為為參數(shù))'以原點(diǎn)。為極點(diǎn)''軸正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=10cos。.

(I)設(shè)直線/與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，求伙火|；

(H)若點(diǎn)P(x,y)為曲線C上任意一點(diǎn)，求卜+島-1。|的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

通過(guò)計(jì)算工(x),力(力,力(力,力(力,力(x),可得幾T(%)，九一2(力，以T(%)，加(%)，最后計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：/(x)=xsinx

所以＜(x)=sinx+xcosx,f2(x)=2cosx-xs\nx

力(x)=-3sinx-xcosx/(x)=Tcosx+xsinx

力(x)=5sinx+xcosx,…

所以猜想可知：幾_3(x)=(4攵-3)sinX+xcosx

f4k_2(x)=(4攵-2)cosx-xsinx

九—i(%)=-(4%-1)sinx-xcosx

f4k(x)=YZcosx+xsinx

由2019=4x505-1,2021=4x506—3

所以19(x)--2019sinx-xcosx

力02i(%)=2021sinx+xcosx

所以力019(6+人M(x)=2sinx

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔

題.

2.B

【解析】

由共朝復(fù)數(shù)的定義得到三，通過(guò)三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解

【詳解】

由題意得z—sin------icos—，

33

.In也>27rle

因?yàn)橐籹in—=------<0>—cos--=—>0,

3232

所以N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

360°136()°

設(shè)圓的半徑為每個(gè)等腰三角形的頂角為——，則每個(gè)等腰三角形的面積為7/sin——，由割圓術(shù)可得圓的面積為

n2n

7vr2=n--r2sin—，整理可得sin-=二，當(dāng)〃=180時(shí)即可為所求.

2nnn

【詳解】

由割圓術(shù)可知當(dāng)〃變得很大時(shí)，這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，

360°

設(shè)圓的半徑為r，每個(gè)等腰三角形的頂角為2一，

n

I360°

所以每個(gè)等腰三角形的面積為一,sin——，

2n

、1-360°__.360°2乃

所以圓的面積為萬(wàn)廣=〃?一廠2sin------，即sin------=—,

2nnn

所以當(dāng)〃=180時(shí)，可得sin——=sin20='=二，

18018090

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.

4.A

【解析】

分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為z=-+"利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出Z.

詳解：由題設(shè)有2=二一+i=l-2i+i=l—i,故z=l+i,故選A.

l+2z

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共甄復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

設(shè)g(x)=等，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到g'(x)>o,得出函數(shù)g(尤)在R上單調(diào)遞增，

得到g(。)<g(3)<g(2018),進(jìn)而變形即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)g(x)=與，則=八神：/(。(靖)'=/'(x)[5),

又由/(x)</'(x),所以>0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

貝！jg(0)<g(3)<g(2018),即犁=/(o)<牛<,

eee

變形可得/(3)>e3/(0),/(2018)>e2017(0).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函

數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.

6.C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出z,寫(xiě)出共輯復(fù)數(shù)，寫(xiě)出共加復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得

【詳解】

ii(l+i]-1+z11._11.

解析：z=----=------=--=--1—i,z=---------i

1-i(l-i)(l+i)22222t

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-q,-二)，在第三象限.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共鈍復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.

7.D

【解析】

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,T),所以「=^32+(-4)2=5，則sina=—(,coso=|,

113

即sina+-----=—.故選I).

cosa15

8.D

【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期T,從而得到即可求出解析式，然后利

用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

n

?J/(x)=6sin69x+3cosftzx=2Gsincox+—I,

3

X,.,-<sintyx+yj<l,即一W2百sin[cyx+?Jw2G,

有且僅有-2百x2百=-12滿足條件；

又上一引一=二,則4=[=>7=萬(wàn)，

I1zIminn')

co=微=2,；.函數(shù)/(x)=2Gsin[2x+,

71=26sin,=3,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于A,f

對(duì)于B,由一]+2brK2x+。<]+2A;乃(左eZ),

57r7T

解得一L+—+■伏eZ),故B錯(cuò)誤；

1212''

對(duì)于C,當(dāng)x=K時(shí)，/(V)=2&sin(等+?)=26sin,,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,故D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

求導(dǎo)得到尸(x)=e*,根據(jù)切線方程得到匕=alna,故必=/此口，設(shè)g口卜/也》，求導(dǎo)得到函數(shù)在上

(1、_JIA

單調(diào)遞減，在e-5,+8上單調(diào)遞增，故g(x)mM=ge2,計(jì)算得到答案.

\77

【詳解】

f(x)=ex+b,則/'(x)=e*,取淖=a，(?>0),故Xo=lna,/(x())=a+Z?.

故。+〃=。(111。+1),故Z?=alnQ,ab=a21na?

設(shè)g(x)=finx,g〈x)=2xlnx+x=x(21nx+l),取g(x)=O,解得

故函數(shù)在0,e”上單調(diào)遞減，在-5,+8上單調(diào)遞增，故g(x)mm=g=--

V7\7\J

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的切線問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

10.D

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.

【詳解】

332

"：b<a<0,/.log2|Z?|>log,|a|,>[g),h<a,ab<b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線y=Inx上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線y=Inx上的

動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問(wèn)題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直

的問(wèn)題來(lái)解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線y=lnx上的點(diǎn)與以。(-2,3)為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可

以求曲線y=Inx上的點(diǎn)與圓心。(一2,3)的距離的最小值，在曲線y=加上取一點(diǎn),曲線有y=Inr在點(diǎn)

M處的切線的斜率為K=從而有=即則W-'=-1，整理得In根+/+2根一3=0,解得加=1,

mm+2m

所以點(diǎn)(1,0)滿足條件，其到圓心C(—2,3)的距離為d=J(—2-+(3-Op=3。，故其結(jié)果為

(3近-1了=19-6及，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.

12.D

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知％+/=4+仆，進(jìn)而代入等差數(shù)列的前"項(xiàng)和的公式即可.

【詳解】

由題，品=9(%+%)=9(4+g)=9x(-2+10)=36.

222

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.百

【解析】

由已知可得A6=A6=生，結(jié)合雙曲線的定義可知|A6|—|AK|="=2a,結(jié)合02=儲(chǔ)+廿，從而可求出離心

率.

【詳解】

解：-.-\^0\=\F2O\,OD//F2B,|￡>f；|=\DB\,又?.?AO_L%，則|A用=|AB|=2|A段.

A27A2A2

v|AF,|=—,AF,=AB=——，—8|=幺=2〃，即6=2〃=。2一/

aaa

解得c=Jia>即e=.

故答案為：A/3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系，分析出|AF,|=幺.關(guān)于圓錐曲線的問(wèn)題,

a

一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計(jì)算量.

14.80

【解析】

分三步來(lái)考查，先從A到C,再?gòu)摹５?。，最后從。?,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.

【詳解】

分三步來(lái)考查：①?gòu)腁到C,則亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有C；種

走法；

②從C到。，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；

③從。到B,由①可知有C；種走法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有qc；q=8()種不同的走法.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】

本題考查格點(diǎn)問(wèn)題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.

15.2百

【解析】

由焦點(diǎn)坐標(biāo)得〃，一1一m=1從而可求出加=2,繼而得到橢圓的方程，即可求出長(zhǎng)軸長(zhǎng).

【詳解】

解：因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),則〃，一1一〃?=1,即加2-加一2=0,解得機(jī)=2或，?1=一1

2222

由三+，一=1表示的是橢圓，貝所以6=2,則橢圓方程為二+二=1

mm2-l32

所以a=A/3,2a=2>/3.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略機(jī)>0,從而未對(duì)”的兩個(gè)值進(jìn)行取舍.

16.-11

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，根據(jù)題意求出牝和“7的值，進(jìn)而可求得q和夕的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得的

值.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得2q=%%=%%，=2,

33311

由于肉與2%的等差中項(xiàng)為兄，則4+2%=］，則2%=耳一4=—5，；?/=-1,

.3%11041N

??q=一=：.q=——，q=F=_]6,

%8”2/

故答案為：-11.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列求和，解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)7(2,0)；(2)2,-^-.

O

【解析】

(1)設(shè)出P,。的坐標(biāo)，代入所?至=-5,結(jié)合RQ在拋物線y2=4x上，求得P,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得丁

點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線加的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，結(jié)合可=4而，求得|瓦+屈『的表達(dá)

式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得|瓦+TB\的取值范圍.

【詳解】

(1)可知片6(1,0),

設(shè)。(』，%),。(入0,一%)

則耳P?瑪。=-5=(7+1,%>(>-1,-%)=/2-1一年,

又y2=4x,

所以-5=-1-4x0

解得%=2,

所以T（2,0）.

（2）據(jù)題意，直線加的斜率必不為0,

所以設(shè)加：x=。+1,將直線團(tuán)方程代入橢圓C的方程中,

整理得（*+2）/+2）-1=0,

設(shè)A（X1,y）,3（w，%）,

貝!|%+%=一石”

1

X%=一1+2②

因?yàn)獒?2月反

所以X=%%,且x<0,

/2

將①式平方除以②式得上+&+2=-3

%%/+2

~\4r

所以;1+,+2=-/一

2r+2

2

4W—2,-1],又解得0?/《亍

—?—、/\4(/+1)

又L4+7^B=(x+/-4,y+%)，玉+々_4=(y4-y2)-2=------------

所以同+研=(尤|+/_4)~+(￥+%)2=]6_^^+/J

1+z(1+2)

71

則〃e

而’5

“169

所以恒+詞2=8/4,——

32

胃%01372

[8

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量模的

坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

18.(1)證明見(jiàn)解析；(2)

2

【解析】

(1)由平面幾何知識(shí)可得出四邊形A6CM是平行四邊形，可得CM//A8=CM〃面再由面面平行的判定

可證得面面平行；

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面93的法向量，再運(yùn)用線面角的向

量求法，可求得直線NE與平面B鉆所成角的余弦值.

【詳解】

(1)?.?N84￡)=NA8C=90,，AD//8C,又NADC=45。，AB=BC=\,:.AD=2,

而M、N分別是A。、PO的中點(diǎn)，.?.MN//B4,故MN//函PAB,

又AM//BC且AM=8C,故四邊形ABCM是平行四邊形,CM//AB=O0//面PAB,

又MN,CM是面CMN內(nèi)的兩條相交直線，故面CMN//面

(2)由(1)可知，MC,例。,"P兩兩垂直，故建系如圖所示，則

A(0,-l,0),5(1,—1,0),C(l,0,0),D(0,l,0),P(0,0,百),N(0,g岑),

_,_.-.2—?(126、―

AB=(1,0,0),PA=(0,-1,-V3),-：CE=-CP,：.E亍'NE

L)

-x=0

設(shè)〃=(x,y,z)是平面的法向量,，,百°,

7373

■~T+~6~n

令z=l,貝!1〃=(0,一百,1)cos(NE,n\-----,-——，

'/crrnr2

2?J—1----1—

V9412

二直線NE與平面R"所成角的余弦值為，I岑=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.

19.（1）證明見(jiàn)解析；（2）撞

7

【解析】

（1）由已知可證即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)已知可證4。L平面A8CQ,建立空間直角坐標(biāo)系，求出A4,6,。坐標(biāo),進(jìn)而求出平面4A6和平面A}AD

的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.

【詳解】

方法一：（1）依題意，AB也AB,旦AB&CD,：.&B也CD,

四邊形\B.CD是平行四邊形，BC//A,D,

平面A|B。，4。（=平面48。，

8c〃平面AB。.

（2）?.?40，平面48。，，4。，4。，

?.?48=4。且。為8。的中點(diǎn)，，4。上3。，

VAO、BDu平面ABCDAAO[}BD=O,

：.4。_1?平面ABCD,

以。為原點(diǎn)，分別以方，而，麗;為X軸、軸、Z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一孫Z,

則A(6,0,0),8(0,1,0),D(0,-l,0),A(0,0,1),

A4,'=(-^,0,1),AB=(-73,1,0),A￡>=(-A/3-1,0),

設(shè)平面AAB的法向量為n=(x,y,z),

則卜莓，J嚀+z=。,取j貝向",6).

[n±AB[-yj3x+y=Q\>

設(shè)平面4AO的法向量為m=(X],%,Z]),

則卜，竺，..J-,+z=0,取x=],則拓=(l,g@.

nA.AD[_后-y=0、'

---mn11

?cos<m,n>=-??=—；=—=—

,■回問(wèn)幣X幣7，

設(shè)二面角B-AA,-D的平面角為a,則如a=J1-&j=竽，

二面角6-AA,-。的正弦值為逋.

方法二：(1)證明：連接AB1交AB于點(diǎn)Q,

因?yàn)樗倪呅蜛B|BA為平行四邊形，所以。為A4中點(diǎn),

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以。為AC中點(diǎn)，

.?.在VABC中，OQ〃SG且OQ=；qC,

VOQu平面AtBD,B[C<Z平面A]BD,

：,四?！ㄆ矫鍭BO

(2)略，同方法一.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),

屬于中檔題.

20.(1)(i)證明見(jiàn)解析(ii)'正(2)存在，/l=-

113

【解析】

(1)(i)連接AC交8G于點(diǎn)O,連接OM,CG,依題意易證四邊形A8CG為平行四邊形，從而有AO=OC,

MO\\PC,由此能證明PC〃平面8MG

(ii)推導(dǎo)出8G_LGO,以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,利用向量法求解；

(2)設(shè)與7=4而="0,2,2)=(0,24,24),2e(0,l),求出平面的法向量，利用向量法求解.

【詳解】

(l)(i)證明：連接AC交BG于點(diǎn)。，連接OM,CG,

因?yàn)镚為線段AO的中點(diǎn)，AD=4

所以AG=gAD=2,

因?yàn)閆)C=BC=2,所以AG=BC

因?yàn)锳D〃8C

所以四邊形ABCG為平行四邊形.

所以AO=OC

又因?yàn)镻M=M4,

所以MO||PC

又因?yàn)镸Ou平面BMG,PC二平面BMG,

所以PCP平面BMG.

A

(ii)解：如圖，在平行四邊形3C0G中

因?yàn)锽G"CD,CD1GD,

所以8G_LGD

以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z

則G(0,0,0),mo,2),0(0,2,0),

A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),M(O,-1,1)

所以方=(2,0,-2),G月=(2,0,0),GM=(0,-1,1),BD=(-2,2,0),W=(-2,-1,1)

平面PAD的法向量為3=(1,0,0)

設(shè)平面BMD的法向量為m=(x,y,z),

m-BD=0一2x+2z=0一

則即＜，取x=l,得加=(1,1,3),

m-BM-0-2x-y+z=0

\m.-m1_vn

設(shè)平面24。和平面助必所成的銳二面角為貝！Jcos6==品