2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 第二章　§3　第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性 課件（35張）

激趣誘思我們知道,“記憶”在我們的學(xué)習(xí)過程中扮演著非常重要的角色,因此有關(guān)記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題.德國心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對(duì)記憶保持量進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究,并給出了類似右圖所示的記憶規(guī)律.如果我們以x表示時(shí)間間隔(單位:h),y表示記憶保持量,則不難看出,圖中y是x的函數(shù),記這個(gè)函數(shù)為y=f(x).這個(gè)函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律?你能從中得到什么啟發(fā)?知識(shí)點(diǎn)撥一、增函數(shù)、減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D:如果對(duì)于任意的x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)條件特別地,當(dāng)I是定義域D上的一個(gè)區(qū)間時(shí)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象特征自左向右圖象逐漸上升自左向右圖象逐漸下降名師點(diǎn)析

x1,x2的三個(gè)特征:(1)同區(qū)間性,即x1,x2∈I;(2)任意性,即不可用區(qū)間I上的兩個(gè)特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要區(qū)分大小,通常規(guī)定x1<x2.微練習(xí)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且滿足f(1)<f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上(

)A.為增函數(shù)B.為減函數(shù)C.先增后減D.單調(diào)性不能確定解析由于函數(shù)單調(diào)性的定義突出了x1,x2的任意性,所以僅憑區(qū)間內(nèi)幾個(gè)有限的函數(shù)值的關(guān)系,是不能作為判斷單調(diào)性的依據(jù)的,故選D.答案D微拓展單調(diào)性的等價(jià)結(jié)論二、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.此時(shí),區(qū)間I為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.名師點(diǎn)析

自變量的大小與函數(shù)值的大小關(guān)系:(1)若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,則x1<x2?f(x1)<f(x2),x1>x2?f(x1)>f(x2).(2)若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,則x1<x2?f(x1)>f(x2),x1>x2?f(x1)<f(x2).即可以利用單調(diào)遞增、單調(diào)遞減的定義實(shí)現(xiàn)自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系的直接轉(zhuǎn)化.微練習(xí)根據(jù)下圖寫出在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減.解函數(shù)在[-1,0]上單調(diào)遞減,在[0,2]上單調(diào)遞增,在[2,4]上單調(diào)遞減,在[4,5]上單調(diào)遞增.微思考函數(shù)y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否說函數(shù)y=在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減?提示不能.不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號(hào)“∪”連接.如y=在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一判斷函數(shù)的單調(diào)性1.利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性例1根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.分析本題中所給出的兩個(gè)函數(shù)解析式中均含有絕對(duì)值,可以采取去絕對(duì)值的方法,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)再畫出函數(shù)的圖象,也可以通過圖象變換得到函數(shù)圖象.通過圖象觀察判斷函數(shù)的單調(diào)性.解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及x軸上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象可得原函數(shù)在區(qū)間[-3,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-3]和[-1,1]上單調(diào)遞減.函數(shù)圖象如圖所示,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]和[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]和[1,+∞)上單調(diào)遞減.反思感悟

圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性的注意點(diǎn)圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性主要用于常見函數(shù)(如一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)的單調(diào)性判斷,或應(yīng)用于能通過常見函數(shù)圖象的平移、翻折等變換得到所給函數(shù)的圖象,從而進(jìn)行單調(diào)性的判斷.變式訓(xùn)練

1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.圖象如右圖所示.由圖象可知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,1],[2,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.2.利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性

反思感悟

利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的思路當(dāng)函數(shù)解析式通過變換、轉(zhuǎn)化之后,是由幾個(gè)基本函數(shù)的解析式構(gòu)成的,則可分析這幾個(gè)基本函數(shù)的單調(diào)性,看是否符合單調(diào)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的規(guī)律,若符合,可直接得出結(jié)論,否則,不能用這種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.此外,研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí),一定要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.探究二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性反思感悟

利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),作差后通常進(jìn)行因式分解.(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí),作差后往往進(jìn)行通分,然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有x1,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號(hào).(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí),作差后往往考慮分子有理化.解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,探究三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與f的大小.分析要比較兩個(gè)函數(shù)值的大小,需先比較自變量的大小.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,故a>0.設(shè)y=ax-1,x∈(-∞,1),因?yàn)閍>0,所以y<a-1.而當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x2+1單調(diào)遞增,且此時(shí)f(x)min=12+1=2,故只需a-1≤2,即a≤3即可.所以a的取值范圍是(0,3].答案(0,3]反思感悟

1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí),要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi).2.利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).3.由分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí),一般從兩個(gè)方面思考:一方面每個(gè)分段區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關(guān)式子;另一方面是考慮端點(diǎn)處的銜接情況,由此列出另一相關(guān)式子,求解即可.變式訓(xùn)練

4已知函數(shù)g(x)的定義域是[-2,2],且在[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.素養(yǎng)形成復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(g(x)),設(shè)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且y=f(t)在區(qū)間[g(a),g(b)]或區(qū)間[g(b),g(a)]上也是單調(diào)函數(shù),那么f(g(x))在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性如何呢?下面我們來探討一下.(1)若t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,且y=f(t)也單調(diào)遞增:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因?yàn)閠=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)也單調(diào)遞增,所以有f(g(x1))<f(g(x2)),則根據(jù)增函數(shù)的定義知f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增.(2)若t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,y=f(t)單調(diào)遞減:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因?yàn)閠=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)單調(diào)遞減,所以有f(g(x1))>f(g(x2)),則根據(jù)減函數(shù)的定義知f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減.類似地,我們不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,且y=f(t)單調(diào)遞增時(shí),則f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減;當(dāng)t=g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,且y=f(t)單調(diào)遞減時(shí),則f(g(x))在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增.根據(jù)上面的探討,y=f(g(x))在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)性如下表所示,簡(jiǎn)記為“同增異減”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)基本函數(shù)復(fù)合而成的,則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由基本函數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè),則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè),則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).典例已知函數(shù)f(x)在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

解析∵f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.令u=1-x2(u≥0),則f(1-x2)=f(u).當(dāng)x∈[0,1]時(shí),u=1-x2單調(diào)遞減,則f(1-x2)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),u=1-x2單調(diào)遞增,則f(1-x2)單調(diào)遞減.故f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0].答案[-1,0]要點(diǎn)筆記

對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)),把函數(shù)y=f(g(x))通過中間變量t分解為兩個(gè)函數(shù):外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x),內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)定義域的子集.要先確定復(fù)合函數(shù)的定義域,再確定單調(diào)區(qū)間.當(dāng)堂檢測(cè)1.若函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)解析當(dāng)2k+1<0,即k<-時(shí),函數(shù)y=(2