計算機科學典型問題示例

計算機科學典型問題示例計算機科學典型問題示例

哥尼斯堡七橋問題

尋找走遍這7座橋且只許走過每座橋一次，最后又回到原出發(fā)點的路徑

計算機科學典型問題示例

哥尼斯堡七橋問題

兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點，它們的大小、形狀均與問題本身無關。因此，把它們看作是4個點；7座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關。因此，任意畫7條線來表示它們。

歐拉將七橋問題抽象成了一個“一筆畫”問題。怎樣不重復地通過7座橋，變成了怎樣不重復地畫出一個幾何圖形的問題。原先，人們是要求找出一條不重復的路線，歐拉接下來著手判斷：這種不重復的路線究竟存在不存在？由于這么改變了一下提問的角度，歐拉抓住了問題的實質(zhì)。歐拉發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個特點：每當你用筆畫一條線進入中間的一個點時，你還必須畫一條線離開這個點。否則，整個圖形就不可能用一筆畫出。也就是說，單獨考察圖中的任何一個點（除起點和終點外），它都應該與偶數(shù)條線相連；如果起點與終點重合，那么，連這個點也應該與偶數(shù)條線相連。

計算機科學典型問題示例

哥尼斯堡七橋問題

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哥尼斯堡七橋問題

結論（1）如果通奇數(shù)座橋的地方不止兩個，滿足要求的路線是找不到的；（2）如果只有兩個地方通奇數(shù)座橋，可以從這兩個地方之一出發(fā)，找到所要求的路線；（3）如果沒有一個地方是通奇數(shù)座橋的，則無論從哪里出發(fā)，所要求的路線都能實現(xiàn)。歐拉的論文為圖論的形成奠定了基礎。今天，圖論已廣泛地應用于計算機科學、運籌學、信息論、控制論等科學之中，并已成為我們對現(xiàn)實問題進行抽象的一個強有力的數(shù)學工具。隨著計算機科學的發(fā)展，圖論在計算機科學中的作用越來越大，同時，圖論本身也得到了充分的發(fā)展。漢諾塔問題1）每次只能移動一個盤子；2）盤子只能在三根柱子上來回移動不能放在他處；3）在移動過程中三根柱子上的盤子必須始終保持大盤在下小盤在上天神說，當這64個盤子全部移到第三根柱子上后，世界末日就要到了。

用計算機求解一個實際問題，首先要從這個實際問題中抽象出一個數(shù)學模型，然后設計一個解此數(shù)學模型的算法，最后根據(jù)算法編寫程序，經(jīng)過調(diào)試和運行，從而完成該問題的求解。從實際問題抽象出一個數(shù)學模型的實質(zhì)，其實就是要用數(shù)學的方法抽取問題主要的、本質(zhì)的內(nèi)容，最終實現(xiàn)對該問題的正確認識。漢諾塔問題是一個典型的用遞歸方法來解決的問題。遞歸是計算機學科中的一個重要概念。所謂遞歸，就是將一個較大的問題歸約為一個或多個子問題的求解方法。而這些子問題比原問題簡單，且在結構上與原問題相同。根據(jù)遞歸方法，我們可以將64個盤子的漢諾塔問題轉(zhuǎn)化為求解63個盤子的漢諾塔問題，如果63個盤子的漢諾塔問題能夠解決，則可以將63個盤子先移動到第二個柱子上，再將最后一個盤子直接移動到第三個柱子上，最后又一次將63個盤子從第二個柱子移動到第三個柱子上。漢諾塔問題示意圖63個盤子的漢諾塔求解問題可以轉(zhuǎn)化為62個盤子的漢諾塔求解問題，62個盤子的漢諾塔求解問題又可以轉(zhuǎn)化為61個盤子的漢諾塔求解問題，直到1個盤子的漢諾塔求解問題。再由1個盤子的漢諾塔的解求出2個盤子的漢諾塔，直到解出64個盤子的漢諾塔問題。

按照上面的算法，n個盤子的漢諾塔問題需要移動的盤子數(shù)是n-1個盤子的漢諾塔問題需要移動的盤子數(shù)的2倍加1。于是h(n)=2h(n-1)+1=2(2h(n-2)+1)+1=22h(n-2)+2+1=23h(n-3)+22+2+1=……=2nh(0)+2n-1+…+22+2+1=2n-1+…+22+2+1=2n-1

因此，要完成漢諾塔的搬遷，需要移動盤子的次數(shù)為：264-1=18446744073709551615如果每秒移動一次，一年有31536000秒，則僧侶們一刻不停地來回搬動，也需要花費大約5849億年的時間。假定計算機以每秒1000萬個盤子的速度進行搬遷，則需要花費大約58490年的時間。證比求易算法問題

算法分析是計算機科學的一項主要工作。為了進行算法比較，我們必須給出算法效率的某種衡量標準。

很久以前，有一個年輕的國王，名叫艾述。他酷愛數(shù)學，聘請了當時最有名的數(shù)學家孔喚石當宰相。鄰國有一位聰明美麗的公主，名字叫秋碧貞楠。艾述國王愛上了這位鄰國公主，便親自登門求婚。公主說：“你如果向我求婚，請你先求出48770428433377171的一個真因子，一天之內(nèi)交卷?！卑雎犃T，心中暗喜，心想：我從2開始，一個一個地試，看看能不能除盡這個數(shù)，還怕找不到這個真因子嗎？

艾述國王十分精于計算，他一秒鐘就算完一個數(shù)。可是，他從早到晚，共算了三萬多個數(shù)，最終還是沒有結果。國王向公主求情，公主將答案相告：223092827是它的一個真因子。國王很快就驗證了這個數(shù)確能除盡48770428433377171。

公主說：“我再給你一次機會，如果還求不出，將來你只好做我的證婚人了”。國王立即回國，召見宰相孔喚石，大數(shù)學家在仔細地思考后認為這個數(shù)為17位，如果這個數(shù)可以分成兩個真因子的乘積，則最小的一個真因子不會超過9位。于是他給國王出了一個主意：按自然數(shù)的順序給全國的老百姓每人編一個號發(fā)下去，等公主給出數(shù)目后，立即將它們通報全國，讓每個老百姓用自己的編號去除這個數(shù)，除盡了立即上報，賞黃金萬兩。

于是，國王發(fā)動全國上下的民眾，再度求婚，終于取得成功。在“證比求易算法”的故事中，國王最先使用的是一種順序算法，其復雜性表現(xiàn)在時間方面，后來由宰相提出的是一種并行算法，其復雜性表現(xiàn)在空間方面。直覺上，我們認為順序算法解決不了的問題完全可以用并行算法來解決，甚至會想，并行計算機系統(tǒng)求解問題的速度將隨著處理器數(shù)目的不斷增加而不斷提高，從而解決難解性問題，其實這是一種誤解。

國王有眾多百姓的幫助，求親成功是自然的事。但是，如果換成是一個貧民百姓的小伙子去求婚，那就困難了。不過，小伙子可以從國王求親取得成功所采用的并行算法中得到一個啟發(fā)，那就是：他可以隨便猜一個數(shù)，然后驗證這個數(shù)。當然，這樣做成功的可能性很小，不過，萬一小伙子運氣好猜著了呢？由于一個數(shù)和它的因子之間存在一些有規(guī)律的聯(lián)系，因此，數(shù)論知識水平較高的人猜中的可能性就大。

在算法計算復雜性的研究中，將所有可以在多項式時間內(nèi)求解的問題稱為P類問題，而將所有在多項式時間內(nèi)可以驗證的問題稱為NP類問題，由于P類問題采用的是確定性算法，NP類問題采用的是非確定性算法，確定性算法是非確定性算法的一個特例，因此P?NP。

對于大多數(shù)實際問題來說，找到一個解可能很難，檢驗一個解常常比較容易，所以都屬于NP類問題。現(xiàn)在計算機科學研究中一個懸而未決的重要問題是P=?NP。到目前為止，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一批可計算但有相當難度的問題是屬于NP類問題，并且常通過證明一個問題與已知屬于NP類中的某個問題等價，將其歸入NP類問題。計算機科學典型問題示例

哲學家共餐問題

哲學家的生活進程思考問題餓了停止思考，左手拿一支筷子（拿不到就等）右手拿一支筷子（拿不到就等）進餐放右手筷子放左手筷子重新回到思考問題的狀態(tài)1哲學家的生活進程的極端情況：當所有哲學家都同時拿起左手筷子時，則所有哲學家都拿不到右手的筷子，并處于等待狀態(tài)，則哲學家將都無法進餐，最終餓死；改變進程，如拿不到右手筷子則放下左手筷子。在某一瞬可能所有的哲學家都拿起左手的筷子，因拿不到右手的筷子又都同時放下左手的筷子，如此下去，所有的哲學家同樣無法進餐。哲學家進餐問題在計算機科學中所反映的問題：程序并發(fā)執(zhí)行時進程同步的問題：死鎖（Deadlock）和饑餓（Starvation）為了提高系統(tǒng)的處理能力和機器的利用率，并法程序被廣泛地使用，因此必須徹底解決并發(fā)進程中的死鎖和饑餓問題

DeadlockStarvationStarvationStarvation旅行商問題旅行商問題（TravelingSalesmanProblem，簡稱TSP）是威廉·哈密爾頓（W.R.Hamilton）爵士和英國數(shù)學家克克曼（T.P.Kirkman）于19世紀初提出的一個數(shù)學問題。這是一個典型的NP完全性問題。其大意是：有若干個城市，任何兩個城市之間的距離都是確定的，現(xiàn)要求一旅行商從某城市出發(fā)，必須經(jīng)過每一個城市且只能在每個城市逗留一次，最后回到原出發(fā)城市。問如何事先確定好一條最短的路線，使其旅行的費用最少。

人們在考慮解決這個問題時，一般首先想到的最原始的一種方法是：列出每一條可供選擇的路線（即對給定的城市進行排列組合），計算出每條路線的總里程，最后從中選出一條最短的路線。假設現(xiàn)在給定的4個城市分別為A、B、C和D，各城市之間的距離為已知數(shù)，如圖a、圖b所示。從圖中可以看到，可供選擇的路線共有6條，從中很快可以選出一條總距離最短的路線。ABCD256424圖a城市交通圖A265BCD244442BDCCBD224444ACCBDBD522665圖b組合路徑圖

設城市數(shù)目為n時，那么組合路徑數(shù)則為（n-1）！。很顯然，當城市數(shù)目不多時要找到最短距離的路線并不難，但隨著城市數(shù)目的不斷增大，組合路線數(shù)將呈指數(shù)級急劇增長，以至達到無法計算的地步，這就是所謂的“組合爆炸問題”。假設現(xiàn)在城市的數(shù)目增為20個，組合路徑數(shù)則為（20-1）！≈1.216×1017，如此龐大的組合數(shù)目，若計算機以每秒檢索1000萬條路線的速度計算，也需要花上386年的時間。

圖靈測試問題

在計算機學科誕生后，為解決人工智能中一些激烈爭論的問題，圖靈和西爾勒又分別提出了能反映人工智能本質(zhì)特征的兩個著名的哲學問題，即“圖靈測試”和西爾勒的“中文屋子”，沿著圖靈等人對“智能”的理解，人們在人工智能領域取得了長足的進展，其中“深藍（DeepBlue）”戰(zhàn)勝國際象棋大師卡斯帕羅夫（G.Kasparov）就是一個很好的例證。

圖靈于1950年在英國《Mind》雜志上發(fā)表了《Computing

MachineryandIntelligence》一文，文中提出了“機器能思維嗎？”這樣一個問題，并給出了一個被后人稱之為“圖靈測試（TuringTest）”的模仿游戲。

這個游戲由3個人來完成：一個男人（A），一個女人（B），一個性別不限的提問者（C）。提問者（C）呆在與其他兩個游戲者相隔離的房間里。游戲的目標是讓提問者通過對其他兩人的提問來鑒別其中哪個是男人，哪個是女人。為了避免提問者通過他們的聲音、語調(diào)輕易地作出判斷，最好是在提問者和兩游戲者之間通過一臺電傳打字機來進行溝通。提問者只被告知兩個人的代號為X和Y，游戲的最后他要作出“X是A，Y是B”或“X是B，Y是A”的判斷。

現(xiàn)在，把上面這個游戲中的男人（A）換成一部機器來扮演，如果提問者在與機器、女人的游戲中作出的錯誤判斷與在男人、女人之間的游戲中作出錯