第一章定解問題

第二篇數(shù)學物理方程1MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奧秘就得解微分方程——牛頓重點1、從實際問題中建立數(shù)學物理方程的基本方法；2、系統(tǒng)的邊界條件和初始條件的寫法。第一章數(shù)學物理方程的定解問題數(shù)學物理思想數(shù)學物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．數(shù)學物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.2聲振動是研究聲源與聲波場之間的關系熱傳導是研究熱源與溫度場之間的關系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學物理定解問題表征的是場和產(chǎn)生這種場的源之間的關系．3多數(shù)為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程一、數(shù)學物理方程---泛定方程:物理規(guī)律的數(shù)學表示

物理規(guī)律物理量u

在空間和時間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學語言翻譯泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關。45二、邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學方程稱為邊界條件三、歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件→不同的運動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。定解問題的完整提法：

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。6具體的問題的求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須用的3、求解方法——

行波法、分離變量法等分離變量法偏微分方程標準的常微分方程標準解，即為各類特殊函數(shù)三類數(shù)學物理方程的一種最常用解法1.1數(shù)學模型(方程）的建立7建模步驟：1、確定表征過程的物理量u（代求函數(shù)）；

2、從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的關系及相互作用，用含u的算術式表達此作用；3、對算式進行化簡得到最終方程，此方程為某一類物理過程的通用方程（泛定方程）。8模型（方程）類型：1、波動方程（描述振動和波動特征）；

2、熱傳導方程（反映輸運過程）；3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映穩(wěn)定過程）。（一）均勻弦橫振動方程(一維波動方程）弦的橫振動

設：均勻柔軟的細弦沿x軸繃緊，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動u(x,t):

坐標為x

的點在t時刻沿垂線方向的位移求：細弦上各點的振動規(guī)律9波動方程的導出建立方程（1）確定物理變量位移u(x,t)（2）系統(tǒng)中取一小部分，分析臨近部分與之

關系（建立等式）10

選取不包括端點的一微元(x,x+dx),弦長dx

，研究對象:(4)設單位長度上弦受力，力密度為：簡化假設：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角

1和

2

很小，僅考慮

1和

2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略。質量線密度

，u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xF11弦的原長：振動拉伸后：u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF弦長dx

，質量線密度

，B段的質量為m=

dx12核心等式關系：牛頓第二定律F=ma13沿水平方向，不出現(xiàn)平移受力分析：14u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF（1）分豎直和水平方向考慮由（1）式可得弦中各點的張力相等在微小振動近似下：即張力為常數(shù)，記為T沿豎直方向15u(x)u+

uu0

1

2T2T1xx+

xBF對于小振動，有16豎直方向上滿足牛頓第二定律：由前知弦長Δx(dx），質量線密度

，質量為m=

Δx綜合前式，有上式即為通過核心等式關系建立的研究對象u(x,t)所滿足的方程式。（3）對等式進行化簡得到最終方程（泛定方程）17其中令Δx→0，得到（2）（2）式即為弦的自由橫振動方程（齊次方程）。18若有外力作用在弦上，方向垂直于x軸，設單位長度弦受力F（x，t），由于弦段很小，其上各點外力近似相等，故該段所受外力為19此時豎直方向上的牛頓第二定律為同樣利用前面關系代換，有兩邊約去Δx，并令Δx→0，得到其中（3）（3）式為弦的強迫振動方程（非齊次方程）。20波動方程可統(tǒng)一表示為：21類似可得到二維波動方程（薄膜振動）和三維波動方程（電磁波、聲波的傳播）：其中Δ為拉普拉斯算子，f=0時為齊次方程，f≠0時為非齊次方程。熱傳導方程

熱傳導現(xiàn)象：系統(tǒng)的溫度

u(x,y,z,t)

不均勻時，將出現(xiàn)熱量從溫度高處到溫度低處的流動，叫熱傳導。22建立方程（1）確定物理變量溫度u(x,t)（2）系統(tǒng)中取一小部分，分析臨近部分與之

關系（建立等式）核心等式：23xx1x2△xA橫截面積為A的均勻細桿，桿長方向有溫差，側面絕熱。熱量守恒

假設△t時間內(nèi)△x溫度升高，則其中c為比熱容（即單位質量升高單位溫度所需熱量），m為質量。24xx1x2△xAQ流動熱量滿足傅立葉實驗定律：物體在無窮小時段dt內(nèi)流過一個無窮小面積ds的熱量dQ與物體溫度沿曲面ds法線方向導數(shù)成正比。其中k為熱傳導系數(shù)，當物體為均勻且各向同性時為常數(shù)，取“-”是因為熱量流向與溫度梯度方向相反（溫度梯度方向指溫度變化方向，指向標量場增長最快的方向）。25則△t時間內(nèi)由ox軸正向流入的熱量為26xx1x2△xA而△t時間內(nèi)由ox軸正向流出的熱量為由核心等式有27xx1x2△xA（4）（4）式即為一維齊次熱傳導方程（其中a2=k/cp)。若桿內(nèi)部有熱源，設熱源密度F（x，t）（單位時間內(nèi)單位體積放出熱量）。28（5）（5）式即為一維非齊次熱傳導方程。同理有二維（薄片）及三維熱傳導方程29熱傳導方程可統(tǒng)一表示為：30其中Δ為拉普拉斯算子，f=0時為齊次方程，f≠0時為非齊次方程。（注：擴散情況也滿足此方程，此時為擴散方程，u為濃度。）泊松方程或拉普拉斯方程前兩類方程的特例，穩(wěn)定場情況，即u不隨時間變化。

（6）式即為拉普拉斯方程。

（6）

（7）式為非齊次拉普拉斯方程或泊松方程。（7）311.2定解條件

前面的方程反映了同一類物理過程（泛定方程）。

為了得到物理（數(shù)學）上的唯一確定解，需要引入定解條件。定解條件=初始條件+邊界條件（注：有時還需要其他條件，如不同媒質界面處銜接條件，物理上的合理性條件等。）32