三重積分計(jì)算法

第三節(jié)三重積分的計(jì)算法一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分可以用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來(lái)計(jì)算.計(jì)算方法是將三重積分化為三次積分.

三重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分用平行于坐標(biāo)面的平面族：去分割積分區(qū)域除邊界外每個(gè)小塊都是一個(gè)長(zhǎng)方形，于是得到體積元素設(shè)如圖,將向xoy面投影，得,以的邊界為準(zhǔn)線母線平行于z軸的柱面把分為下上兩個(gè)邊界：于是則積分區(qū)域可表示為(先一后二）根據(jù)D是X型域或Y型域確定二重積分的積分限，就得到三重積分公式.若D為X型域，則有這是先對(duì)z，次對(duì)y，最后對(duì)x的三次積分例1

計(jì)算,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x＋2y＋z＝1所圍成的區(qū)域。

解

在xoy面上的投影為若

看成X型域，則例2

將化為直角坐標(biāo)系下的三次積分，其中是由平面x＋y＋z＝1，x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1圍成的區(qū)域。

的下底是x＋y＋z＝1，上底是z＝1，解

的投影

是x+y=1，x=0，y=0圍成的三角形域，2）截面法（先二后一）1）投影法（先一后二）

計(jì)算三重積分時(shí)，先求一個(gè)二重積分，再求一個(gè)定積分的方法設(shè)區(qū)域的z值的最大值過(guò)內(nèi)任一點(diǎn)z，作水平平面與交出截面就是二重積分的積分區(qū)域.和最小值為和，

先在

上對(duì)x,y積分然后在上對(duì)z積分.2）截面法（先二后一）這樣得到先求出上的二重積分再求定積分.先二后一此法常用于上的二重積分易求的情形例3

計(jì)算，其中是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域。解

z的最小值和最大值為和，即的面積為二用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分在xoy面上就是極坐標(biāo).

設(shè)M（x,y,z）為空間一點(diǎn)，如果將x，y，z改用另外三個(gè)數(shù)來(lái)表示，則稱為點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)。三組坐標(biāo)面：柱面與直角坐標(biāo)的關(guān)系是＝常數(shù)（水平平面）＝常數(shù)（半平面）＝常數(shù)（圓柱面）由圖可知三組坐標(biāo)面族去分割空間區(qū)域，其任一小塊的體積可以近似看成以為底，為高的柱體體積。體積元素因此則積分區(qū)域在柱面坐標(biāo)系下的表示為：在柱面坐標(biāo)系下區(qū)域由直角變?yōu)橹孀鴺?biāo)表示則三重積分化為柱面坐標(biāo)的三次積分：若例4

計(jì)算其中是由上半球面和旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的區(qū)域.解

將積分區(qū)域向xoy面投影，得柱面坐標(biāo)例5

計(jì)算其中是由曲面與平面圍成的區(qū)域.解

在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域:所以

例6計(jì)算其中問(wèn)題若例6中的積分區(qū)域改為則答由對(duì)稱性，有思考題在柱面坐標(biāo)系下求三重積分可以看作在直角坐標(biāo)系對(duì)作單積分，然后在投影區(qū)域上用極坐標(biāo)作二重積分呢？答：可以三、用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(x,y,z)為空間一點(diǎn)，如果將x,y,z改用另外三個(gè)數(shù)r，，來(lái)表示,則稱(r，，)為點(diǎn)M的球面坐標(biāo)。球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是分割空間區(qū)域，其任一小塊的體積可以近似地看成是長(zhǎng)為、寬為、高為的長(zhǎng)方體體積積分元素其中

一般將右端的形式化為先對(duì)r、次對(duì)、最后對(duì)的三次積分來(lái)計(jì)算。三重積分在球面坐標(biāo)系下的形式：