簡(jiǎn)單理解泊松分布

正確理解泊松分布很多人在上概率論這門(mén)課的時(shí)候就沒(méi)搞明白過(guò)泊松分布到底是怎么回事,至少我就是如此。雖然那個(gè)時(shí)候大家都會(huì)背“當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)趨于無(wú)窮大，而乘積np固定時(shí)，二項(xiàng)分布收斂于泊松分布”大部分的教科書(shū)上也都會(huì)給出這個(gè)收斂過(guò)程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但是看懂它和真正理解還有很大距離。如果我們學(xué)習(xí)的意義是為了通過(guò)考試，那么我們大可停留在“只會(huì)做題”的階段，因?yàn)樵嚲砩喜粫?huì)出現(xiàn)“請(qǐng)發(fā)表一下你對(duì)泊松公式的看法”這樣的題目，因?yàn)槟菢右粊?lái)卷子就變得不容易批改。所以現(xiàn)在的大部分考試都會(huì)出一些客觀題，比如到底是泊松分布還是肉松分布。而如果我們學(xué)習(xí)的目的是為了理解一樣?xùn)|西，那么我們就有必要停下來(lái)去思考一下諸如“為什么要有泊松分布”、“泊松分布的物理意義是什么”這樣的“哲學(xué)”問(wèn)題。如果我們要向一個(gè)石器時(shí)代的人解釋什么是電話(huà)，我們一定會(huì)說(shuō)：“電話(huà)是一種機(jī)器，兩個(gè)距離很遠(yuǎn)的人可以通過(guò)它進(jìn)行交談”而不會(huì)說(shuō)：“電話(huà)在1876年由貝爾發(fā)明，一臺(tái)電話(huà)由幾個(gè)部分構(gòu)成……”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我們問(wèn)的第一個(gè)問(wèn)題應(yīng)該是“泊松分布能拿來(lái)干嘛”泊松分布最常見(jiàn)的一個(gè)應(yīng)用就是，它作為了排隊(duì)論的一個(gè)輸入。什么是排隊(duì)論比如我們每天去食堂打飯,最頭疼的一個(gè)問(wèn)題就是排隊(duì)，之所以要排隊(duì)是因?yàn)槭程么蝻埖拇笫逵邢?，假設(shè)學(xué)校有1000個(gè)學(xué)生，而食堂恰好配了1000個(gè)大叔和打飯的窗口，那么就永遠(yuǎn)不會(huì)有人排隊(duì)。但是出于經(jīng)營(yíng)成本方面的考慮食堂通常不會(huì)這么干，因此如何控制窗口的數(shù)量并且保證學(xué)生不會(huì)因?yàn)榕抨?duì)時(shí)間太長(zhǎng)而起義是一門(mén)很高深的學(xué)問(wèn)。在一段時(shí)間t（比如1個(gè)小時(shí)）內(nèi)來(lái)到食堂就餐的學(xué)生數(shù)量肯定不會(huì)是一個(gè)常數(shù)，（比如一直是200人），而應(yīng)該符合某種隨機(jī)規(guī)律：比如1個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)200個(gè)學(xué)生的概率是10%，來(lái)180個(gè)學(xué)生的概率是20%……一般認(rèn)為，這種隨機(jī)規(guī)律服從的就是泊松分布。也就是在單位時(shí)間內(nèi)有k個(gè)學(xué)生到達(dá)的概率為：e-九九kf(k)=——,k=0,1,...k!其中入為單位時(shí)間內(nèi)學(xué)生的期望到達(dá)人數(shù)。問(wèn)題是“這個(gè)式子是怎么來(lái)的呢”一一我們知道泊松分布是二項(xiàng)分布滿(mǎn)足某種條件的一個(gè)特殊形式，因此可以先從簡(jiǎn)單的二項(xiàng)分布入手，尋找兩者之間的聯(lián)系。二項(xiàng)分布很容易理解，比如一個(gè)牛仔一槍打中靶子的概率是P，如果我們讓他開(kāi)10槍?zhuān)绻繐糁幸淮文繕?biāo)就得一分，問(wèn)他一共能得幾分雖然我們不能在牛仔射擊前準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出具體的得分k,但可以求出k的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8的概率是30%……并且根據(jù)k的分布來(lái)判斷他的槍法如何，這便是概率統(tǒng)計(jì)的思想。具體計(jì)算的方法就是求出“得k分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第一發(fā),而命中其余的9發(fā)”，它的概率是p的9次方乘上（1-p）,當(dāng)然，可能情況不只這種，我們用X代表“沒(méi)命中”O(jiān)代表“命中”，“得9分”所有的可能的情況如下:XOOOOOOOOOOXOOO

0000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X0000000000X根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，種情況下10牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率是根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，種情況下10牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率是C9p9(1-p)1010-9同理，“射擊n次，得k分"的概率就是Ckpk(1-p)n-k。對(duì)于一個(gè)神槍手(p=1)來(lái)n講，他“射擊10次，得10分”的概率就是1.如果我們把單位時(shí)間劃分成n個(gè)細(xì)小的時(shí)間片，假設(shè)在每個(gè)時(shí)間片內(nèi)牛仔都在射擊，只是這次他發(fā)射的不是子彈，而是學(xué)生——“命中目標(biāo)”就代表向食堂成功地發(fā)射出一個(gè)學(xué)生，如果“沒(méi)有命中”就表示學(xué)生被打到了食堂之外的地方。如梟不是無(wú)窮大，那么在某個(gè)時(shí)間片內(nèi)可能出現(xiàn)兩個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)入食堂的狀況，這樣的話(huà)就和我們假設(shè)任意的時(shí)間片內(nèi)只可能發(fā)生“一個(gè)學(xué)生出現(xiàn)”或“沒(méi)有學(xué)生出現(xiàn)”不符，為了能用二項(xiàng)分布去近似泊松分布，因此n必須趨于無(wú)窮，時(shí)間片必須無(wú)窮小，這也是為什么泊松分布的前提之一是“n很大"的原因！(另一個(gè)前提是“p很小”)這樣一來(lái)我們就可以用二項(xiàng)分布的公式表示單位時(shí)間到來(lái)k個(gè)學(xué)生的概率了。在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生n次獨(dú)立的“發(fā)射學(xué)生”試驗(yàn)，把學(xué)生“發(fā)射”到食堂的概率是p：那么單位時(shí)間內(nèi)食堂到來(lái)k個(gè)學(xué)生的概率：Ckpk(1-p)n-kn九當(dāng)np固定時(shí)，設(shè)np=入，故p=，原式子可變?yōu)?n-九Ck(1——)n-Ckn把組合數(shù)展開(kāi)：-九(1——)n—k

nn(n—l)(n—2)…(n-k-九(1——)n—k

nk!調(diào)整式子：TOC\o"1-5"\h\zXkn(n—1)(n—2)…(n-k+1)九 (1——)n—kk! nk n將nk拆成k個(gè)n連乘的形式:Xkn(n—1)(n—2)…(n-k+1) X (1———)n—k:k! n-n…n n將每一個(gè)n和分子的一個(gè)因式合并為一項(xiàng)可得九(1助2、門(mén)k—} X4(1-_)(1__)…(1- )](1—一)n-kk!nn n n由于nT8，即：蘭lim氏1-1)(1--)…(1-)](1--)n-kk!n* nn n nTOC\o"1-5"\h\z1 2 k—1因?yàn)椋簂im(1