周期驅動的Floquet理論

10周期驅動的Floquet理論ZHENGWEIFloquet態(tài)考察周期驅動的系統(tǒng)，其哈密頓量是時間的周期函數(shù)，其薛定諤方程為：it y(t)H(t)y(t), 這個方程有一類穩(wěn)態(tài)解。假設我們將初態(tài)制備在其中一個穩(wěn)態(tài)解上，那么系統(tǒng)將始終處于這個穩(wěn)態(tài)，而不會演化到其他穩(wěn)態(tài)上去。這類穩(wěn)態(tài)解很類似于不含時體系中的定態(tài)解，我們將Floquet算符為一個周期內的時間演化算符：FtU(tT,t), Fty(t)y(tT),Floquet算符依靠Floquet算符之間相差一個幺正變換：Ut,tFtUt,t)Ft,1 0 1 1 0 0Floquet算符的本征態(tài)：aFta(t)la

a(t),a很簡潔證明la

和初始時間無關。由于演化算符是幺正的，因此la

eiqa，只是代表一個相因態(tài)應當滿足如下關系：a(tT)eiqaa(t),態(tài)取為如下形式：(t)eieatua(t), ua(tT)ua(t),其中ua(t)格中的布洛赫波函數(shù)格外類似?？梢则炞C這個形式肯定滿足上述關系：Fta(t)(tT)eieaTa(t),留意到這里eaFloquet態(tài)是一個幺正算符的本征態(tài)，因此在每個時刻都是正交完備的：aba(t)b(t)ab

, a(t) a(t)1,aFloquet模也是正交完備的：ub

(t)

, uabaaaba

(t)

1,那么對于任何一個初始態(tài)，其在周期驅動下的演化都可以寫為：y(t)U(t,t0

)y(t),0U(t,t0a

)

a0aC auaCa

tt,0,這里Ca y(t0)為疊加系數(shù)。從這里就可以看出，周期驅動系統(tǒng)的演化格外類似定態(tài)系統(tǒng)的演化，疊加系數(shù)始終不會變化。由薛定諤方程得到：aH(t)i(t)0,atH(t)it

ua(t)

ua(t),a這相當于求解一個d1維度的微分方程，并且在時間維度需要承受周期性邊界條件。aFloquet哈密頓量Floquet哈密頓量：FtexpiH tT,0 F 0H tiF 0 T

logFt,0Floquet哈密頓量是依靠于初始時間t0的：Ut,tH tUt,t)H t,1 0 F 1 1 0 F 0Floquet態(tài)開放為：H tF 0

e a a a

) a(t0),u eua a a

ua(t0),FloquetFloquet態(tài)的Floquet模在一個周期內的演化：W(t,t)u(t) 1 0 a 1 a 0a我們要留意它和演化算符的區(qū)分，演化算符開放為：U(t,t

)

(t)

1 0 aaa eieaa

1tt1 0

a 0au(ta1

) ua(t0),哈密頓量和微運動算符，我們就可以用它們倆來表示時間演化算符：U(t,t22 12

)

tHt1 F2

(t,t),2 12W(t,t22 1

ei

tHt,1 F1,2同時我們留意到：2

W(t,t2 0

ei

t H1 F

t0

(t,t),0 1H tF 1

t2 1 F

Ut,t),2 1W(t,t2 1

ei

H1 F

t2HFt

eit2

HF

t2

(t,t),2 1221W(t,t)H t2212 1 F 2

Wt,t),2 1完全抵消了。另外微運動算符還有如下作用：H tW(t,t)H(t)iW(t,t),F 0 0 t 0這是由于我們有：

H(t)t

ua(t)

ua(t),aFloquet哈密頓量。aFloquet哈密頓量Magnus開放eiHFt0TFt0Ut0T,t0),

0

T,t0

)Texp it

T t0 (t) t0其中T為編時算符。那么我們可以將其開放得到：Ft

1

t0

dtH(t)

i2

TH

),ttt0 2! 2 1 2 1ttt0 0 01it0TdtH(t)(i)2t0TdttdtH(t)H(t),2t0

2 t 1 2 10而我們將周期性的哈密頓量做傅里葉開放：那么我們就得到：

H(t) Heinwt,nnnFt0

1

TH0 mmn

I ,nmnI

eimwteinwt,2 mn t 2 t 2 0 0下面我們就來分狀況考察積分Imn。首先當m0,n0時：I

—t,00 t0

2 t 1 t0

2 2 02 1

T2t2Tt,0 02T2,而當m0,n0時，我們有：I

tTdt0dt

2dteinwt,t10n t 2 t 1t10 02 12inw

2t0

eint

einwt0,1inw

einwt0T,而當m0,n0時，我們就可以得到：I

teimwt,2m0 t 2 t 1 t220 0 2

2 2 0 2

eimwtdt

1 t0Ttdeimwt,0t 20

2 2 imw 2t0t 1 t

eimwt

t

—t0Teimwtdt ,02imw 2 2t 2020 t0t0Teimwt0Timweimwt0T,imw

eimwt00 ,0最終當m0,n0時，我們有：I

tTdt0dt

2dteimwteinwt,t2 mn t 2 t t2 0 0 1

eimwt

eint

einwt

1

ei(mn)wt,inw 1

2 2 t0Td ,

0 inw 2 2t0t因此我們就有：

inw mnFt0

1

T0

HI0 000H

HI0 n0n

—Hm

I

—

HIm nmn

,n0 m0 m,n00 iH0

H0,Hn

1 0

nw nwn0

T1H2T2,2 0Floquet算符開放為：eiHFt0T1iHFt0T,經(jīng)過比照正比于周期T的項，我們就得到：HnHn H0,Hn w HtHF 0 0

nw nw

eint0

,經(jīng)過重整理，我們可以將其寫為：Hn,Hn

H,Hn 0 w

Hn,H0 w HtHF 0 0

nw

nw

t0

nw

int0 ,哈密頓量的高頻開放。有效哈密頓量我們可以將演化算符表示為如下：U(t,t2 1

)S(t2

ei21HeffSt),1其中S(tT)S(t，并且這里的Heff和初始時間無關。初始時間的信息全部包含在S(t符中。則我們可以看到一個周期內：1Ut0T,t0)St0eiHefTSt0)eiHFt0T,比照可得到：

HtS(t)HS(t),F 0 0 eff 0Floquet換將其依靠于初始時間的局部吸取到S(t)1 0 1 0這樣看來似乎是S(t)W(t,。我們就得到：H S(t)H(t)iS(t),eff t進一步我們令S(t)eiK(t)。則我們有：H iK(t)

iK(t)

eiK(t)

iK(t)eeff

i

t e ,這樣我們就可以通過類似于中島變換的方式計算得到有效哈密頓量。高頻率開放假設外界驅動的頻率很高，遠遠大于體系自身的特征能量，則我們就可以承受高頻開放K(t都可以依據(jù)w1H

1Hl,另外我們知道：

effK(t)

wll0 1wll1

eff

t,eiKHeiKHiK,H

1K,K,H1iK,K,K,H, 2! 3!

eiK

K

1K,

K

1K,K,

K,t

t 2! t 3! t留意這里tKwK，為了將這個隱含的條件表現(xiàn)出來，我們做變換twt。得到：H iK(t)

t iK(t)

weiK(t)

iK(t)eeff

i t e , 將帶入上式，的得到：H0effeff

Ht)tK1t),iK1t),Ht)i1K1t2 t

K1t)

tK2t),t進一步我們做傅里葉分解：

H(t)

Heint,nn則我們得到：

Klt)

Kleint,nH0eff

H 0

nn0

—inK1eint,n為了保證有效哈密頓量不含時間，對于第一階我們要求：HiK1 n,n n

H0eff

H,0n則將上式帶入下一階我們得到：nH1

,Hn

,H0

ein

t1

inK2eint,eff

n

n0 n 2

m

n 再次為了保證有效哈密頓量不含時間，我們要求：iK2

Hn,H01Hmn,Hmn n2H

2m,H

,H1eff

nn n,因此我們得到準確到w1階和有效哈密頓量和準確到w2階的K(t)算符：H

Hnnn

,eff

0 nwiK(t)

H,H n 0

1Hmn,Hm

,n

w2n2

2 w2mnn n0 m 依據(jù)之前的爭論我們可以由此求出初始時間為tFloquet哈密頓量：0HFt0eiK(t0)HeffeiK(t0)HeffiK(t0),Heff,H

n

,Hn

Hn,H

einwt0

H0

einwt0

,0 nw nw nw我們看到這個和直接開放時間演化算符是完全全都的。擴展的希爾伯特空間uamFloquet模式：uame eam a

(t)eimwt

(t),態(tài)的形式和原來類似：a(t)eieatua(t)eieamtuam(t),m 這里我們看到不管取任何值，m am

,uam

都對應著同一個Floquet態(tài)。我們可以進一步定義：則我們覺察：

Q(t)H(t)i,tQ(t)uam

(t)eama

uam

(t),而在這個擴展的希爾伯特空間內我們定義的內積為：uam

vbn

1T

0

vbn

(t),uam這個內積的定義保證了不同m的Floquet模是正交的。uam準能譜算符的矩陣形式為了考察擴展哈密頓量的矩陣形式，我們首先選定一組基矢：m leimt,則擴展哈密頓量的矩陣元為：mQxn

1TdteimwtlH(t)

xeinwt,我們可以看到其根本構造為：

T 0HlHmn

tm,x wd dm,lxmn 2 H w H H 2 H0 1Q

H H H , 1 0 1 H H Hw 2 1 0 這樣我們就可以通過對角化這個矩陣來得到準能譜。其實之前提到的中島變換就是對Q矩陣做塊對角的過程，使得其變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

H w 0 0eff,QUQU,

0 H 0 eff 0

H eff

因此快對角化的過程和幺正變換是等價的。兩能級系統(tǒng)的例子我們下面考察一個嚴格可解的兩能級系統(tǒng)的例子。其哈密頓量如下：H(t)

eiwt,eit

s

eiwt

eit,z sz

x

coswt

sint,y我們可以通過一個旋轉波變換：yS(t)

eit0

01

將哈密頓量化為不含時的：t)t)Stt),H(t)H S(t)H(t)iS(t),eff t我們留意到其實這個不含時的哈密頓量就是傳奇中的有效哈密頓量：w H eff

,1ws 1ws s,2 0 2 z y有效哈密頓量的本征值和本征態(tài)分別為：E 1w 2

1w2

2,那么在變換前的態(tài)為：y

j A AS(t)S(t)

A,A,,eiEt,P

Peit

eiE

t

y(t)實際上就是傳奇中的Floquet態(tài)。為了證明這一點。我們首先構建時間演化算符。我們可以通過定義得到：U(t,t)S(t)expiH ttS(t),1 0 1 eff 1 0 0則在一個周期內有：態(tài)上為：

FtU(tT,t),S(t)exp

TS(t),effFty(t)S(t)exp

TS(t)S(t)j S(t)exp

eff Tj (t),S(t)j

eff (t),y

(t),Floquet態(tài)的定義，并且說明白有效哈密頓量的本征態(tài)就是準能量。那么傳奇中的Floquet模為：yteiEt

(t),

u(t)

eiwtA,很明顯我們就可以看出其是周期性的。其對應的Q矩陣為：w 0 0 0 0

0

0 0

0

0 0 Q

0 0

0

0 0

w 0 0 0 0

0

w我們看到這個矩陣自動的就塊對角化了。將其對角化我們得到的本征矢量為： 0

0

e E v , e

w

v ,0

1

1 0

0其對應：

e E0

u

eiwt

, ,0 e E,0

(t) eiwt

A,這就驗證了：

1e,n

,1E nw, E

n

(t)einwt

(t),即e,n和分別為Q(t)的本征值和本征函數(shù)。另一個例子考察另一個例子：

H(t)1s s coswt,這時我們將哈密頓量寫為：

2 z x1 1eiteit 2 2 ,1eit

—1同樣做類似的旋轉波變換：

2 expit 0 St) 2 PexpitPexpit, 0 expit

2 2我們得到哈密頓量為：

2 H (t)S(t)H(t)RW 1w

S(t),11eit 2 2 ,11e2iwt2

—1w2這時我們可以將哈密頓量寫為：H (t)H RW 0

e2iwtHe2iwt,1d

1 11 1 12 H 2

2

ds

,0 1 1d 2 z 2 x0 1 1H 2 s ,2 0 0 2 0 0 1H s,2 1 0 2 其中dw。那么我們就可以來計算有效哈密頓量。由公式：H H eff0H,H n n nw,我們得到：Heff

H H2,H20 2w1ds 1s

2s 2 z 2 x

8w z當我們無視O1/w項，則即為旋轉波近似：H 1 1eff

ds2

s,2 x其能級為：在d

E 2

d22, E 1d2, 2 4d那么能級差為：

Ed2,4d那么假設考慮O1/w項，則能級變?yōu)椋? 22

1 2E d ,2 1 d d22

21 ,2w 2w1d2

2,2 4d 8w那么能級差為：

Ed

2,2d 4wBloch-Siegert位移。HF 0tHF 0t0H,n H,Hn 0einwt0n 0,Heint0nwnwnw我們知道：Ht

H2,H2H2,H0

H2,H0ei2t,F 0 0 2w1ds 1

2w2s

0 2w 02 z 2

8w z那么能級為：

ds 4w x 0

y

in2t0

2cos2wt4w

s,z1

2

1

2 d 2E2

8w12cos2t0

cos2wt2 4w 0

sint 4w 01d

2,2 4d 8w 這里我們準確到了O2/w。因此能級差為：Ed22,2d 4w我們可以看到在O2/wlevel上E不隨初始時間變化。但是對角項：1d212cos

s,2 8w

0 z確實會隨時間變化。5.Floqeut態(tài)之間的躍遷頓量中參加微擾：H(t)H(t)V(t),0Floquet態(tài)。這里的微擾可能是靜態(tài)的，也率是怎么樣的。那么我們就應當計算如下矩陣元：

A (t) mn

(t)U(t,0)n

(0),i y(t)Hy(t),t表象中的波函數(shù)和算符分別為：y(t)U(t,0)y(t),II

00

0則在相互作用表象下的薛定諤方程和海森堡方程分別為：i y(t)V(t)y(t),t I I IiAt)At),Ht),t I I 0那么很明顯在相互作用表象下波函數(shù)的演化為：y(t

)

(t,t)y(t),I 1 I 1 0 I 0U,t)U,,t

,0),1 0 0 1 I 1 0 0 0則對于t0

0和t1

t我們有躍遷矩陣元：Aba(t)b(t)U(t,0)a(0),b(t)U0(t,0)UI(t,0)a(0),b(0)UI(t,0)a(0),依據(jù)一階微擾，其中演化算符可以表示為：tU(t,tI 1 0

)?exp it0

1dtVI

(t),t1i1dtVt

(t),t I0則我們得到了矩陣元為：A (t)

(0)

(0)itdt (0)V(t