2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學二模試卷

2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、單項選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上]1．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）下列各數(shù)中，能化為有限小數(shù)的分數(shù)是（）A． B． C． D．2．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標系中，將正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象向上平移一個單位，那么平移后的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）已知兩圓的圓心距是3，它們的半徑分別是方程x2﹣7x+10=0的兩個根，那么這兩個圓的位置關系是（）A．內切 B．外切 C．相交 D．外離4．（4分）（2011?北京）一個不透明的盒子中裝有2個白球，5個紅球和8個黃球，這些球除顏色外，沒有任何其他區(qū)別，現(xiàn)從這個盒子中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．5．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）下列命題中，錯誤的是（）A．三角形重心是三條中線交點B．三角形外心到各頂點距離相等C．三角形內心到各邊距離相等D．等腰三角形重心、內心、外心重合6．（4分）（2002?荊州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點，∠DAC=30°，BD=2，AB=，則AC的長是（）A． B． C．3 D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結果直接填入答題紙的相應位置]7．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）36的平方根是．8．（4分）（2012?鄂州）因式分解：2a3﹣8a=．9．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）函數(shù)y=的定義域是．10．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）一次函數(shù)的圖象過點（0，3）且與直線y=﹣x平行，那么函數(shù)解析式是．11．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）已知△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC=2cm2，則S△DEF=cm2．12．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）解方程﹣=，設y=，那么原方程化為關于y的整式方程是．13．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，設向量=，=．用含、的式子表示向量=．14．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）1納米等于0.000000001米，用科學記數(shù)法表示：2014納米=米．15．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）一山坡的坡度為i=1：，那么該山坡的坡角為度．16．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）直角坐標系中，第四象限內一點P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，那么點P的坐標是．17．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）在△ABC中，AB=AC=5，tanB=．若⊙O的半徑為，且⊙O經過點B、C，那么線段OA的長等于．18．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以點C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB僅有一個公共點，那么半徑r的取值范圍是．三、解答題（本大題共7題，其中第19---22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分，滿分78分）19．（10分）（2014?普陀區(qū)二模）計算：（）﹣1+（π﹣1）0+27．20．（10分）（2014?普陀區(qū)二模）先化簡分式（﹣）÷，再從不等式組的解集中取一個非負整數(shù)值代入，求原分式的值．21．（10分）（2008?寧夏）汶川地震牽動著全國億萬人民的心，某校為地震災區(qū)開展了“獻出我們的愛”賑災捐款活動．八年級（1）班50名同學積極參加了這次賑災捐款活動，下表是小明對全班捐款情況的統(tǒng)計表：捐款（元）1015305060人數(shù)3611136因不慎兩處被墨水污染，已無法看清，但已知全班平均每人捐款38元．（1）根據(jù)以上信息請幫助小明計算出被污染處的數(shù)據(jù)，并寫出解答過程．（2）該班捐款金額的眾數(shù)，中位數(shù)分別是多少？22．（10分）（2014?普陀區(qū)二模）如圖，已知AD既是△ABC的中線，又是角平分線，請判斷：（1）△ABC的形狀；（2）AD是否過△ABC外接圓的圓心O，⊙O是否是△ABC的外接圓，并證明你的結論．23．（12分）（2010?溫州）如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．（1）求該拋物線的解析式；（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．24．（12分）（2008?常州）如圖，港口B位于港口O正西方向120海里處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O．同時一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60海里/小時的速度駛向小島C，在小島C用1小時裝補給物資后，立即按原來的速度給考察船送去．（1）快艇從港口B到小島C需要多少時間？（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時間才能和考察船相遇？25．（14分）（2014?普陀區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為BC邊上一動點（不與點B重合），過D作射線DE交AB邊于E，使∠BDE=∠A，以D為圓心、DC的長為半徑作⊙D．（1）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域．（2）當⊙D與AB邊相切時，求BD的長．（3）如果⊙E是以E為圓心，AE的長為半徑的圓，那么當BD的長為多少時，⊙D與⊙E相切？

2014年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上]1．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）下列各數(shù)中，能化為有限小數(shù)的分數(shù)是（）A． B． C． D．【考點】實數(shù)．【分析】本題需根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別對每一項進行計算，即可求出結果．【解答】解：A.=0.3…，故本選項錯誤；B.=0.2，故本選項正確；C.=0.42857…，故本選項錯誤；D.=0.1…，故本選項錯誤．故選B．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的除法，在解題時要根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別計算是解題的關鍵．2．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）在平面直角坐標系中，將正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象向上平移一個單位，那么平移后的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】一次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】先由“上加下減”的平移規(guī)律求出正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象向上平移一個單位后的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系即可求解．【解答】解：將正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象向上平移一個單位得到y(tǒng)=kx+1（k＞0），∵k＞0，b=1＞0，∴圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限．故選D．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，正確得出函數(shù)平移后的解析式是解題的關鍵．3．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）已知兩圓的圓心距是3，它們的半徑分別是方程x2﹣7x+10=0的兩個根，那么這兩個圓的位置關系是（）A．內切 B．外切 C．相交 D．外離【考點】圓與圓的位置關系；解一元二次方程-因式分解法．【分析】由兩圓的半徑分別是方程x2﹣7x+10=0的兩根，利用因式分解法即可求得兩圓的半徑，又由兩圓的圓心距為3，即可求得這兩個圓的位置關系．【解答】解：∵x2﹣7x+10=0，∴（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x1=2，x2=5，∴兩圓的半徑分別是2，5，∵3=5﹣2，∴這兩個圓的位置關系是：內切．故選A．【點評】此題考查了圓與圓的位置關系與一元二次方程的解法．此題難度不大，解題的關鍵是掌握兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數(shù)量關系間的聯(lián)系得出兩圓位置關系．4．（4分）（2011?北京）一個不透明的盒子中裝有2個白球，5個紅球和8個黃球，這些球除顏色外，沒有任何其他區(qū)別，現(xiàn)從這個盒子中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．【考點】概率公式．【專題】計算題．【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【解答】解：根據(jù)題意可得：一個不透明的盒子中裝有2個白球，5個紅球和8個黃球，共15個，摸到紅球的概率為=，故選B．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=．5．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）下列命題中，錯誤的是（）A．三角形重心是三條中線交點B．三角形外心到各頂點距離相等C．三角形內心到各邊距離相等D．等腰三角形重心、內心、外心重合【考點】命題與定理．【分析】利用三角形的內心、外心及重心的定義逐項分析后即可確定正確的答案．【解答】解：A、三角形的重心是三條中線的交點，正確；B、三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，到各頂點的距離相等，故正確；C、三角形的內心是三角平分線的交點，到各邊的距離相等，故正確；D、等邊三角形的重心、內心和外心才重合，故錯誤，故選D．【點評】本題考查了三角形的內心、外心及重心的定義，了解其性質及定義是解答本題的關鍵．6．（4分）（2002?荊州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點，∠DAC=30°，BD=2，AB=，則AC的長是（）A． B． C．3 D．【考點】解直角三角形．【專題】計算題．【分析】設CD=x，在Rt△ACD中，根據(jù)∠DAC=30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到關于x的方程，解得x，即可求出AC．【解答】解：設CD=x，則AC==x，∵AC2+BC2=AB2，AC2+（CD+BD）2=AB2，∴（x）2+（x+2）2=（2）2，解得，x=1，∴AC=．故選A．【點評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念求解．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結果直接填入答題紙的相應位置]7．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）36的平方根是±6．【考點】平方根．【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可．【解答】解：36的平方根是±6，故答案為：±6．【點評】本題考查了平方根的定義，解答本題的關鍵是掌握一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)．8．（4分）（2012?鄂州）因式分解：2a3﹣8a=2a（a+2）（a﹣2）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】觀察原式，找到公因式2a，提出公因式后發(fā)現(xiàn)a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式繼續(xù)分解即可得求得答案．【解答】解：2a3﹣8a，=2a（a2﹣4），=2a（a+2）（a﹣2）．【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．9．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）函數(shù)y=的定義域是x＜3．【考點】函數(shù)自變量的取值范圍．【分析】根據(jù)二次根式的性質和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意得：3﹣x＞0，解得：x＜3．故答案是：x＜3．【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．10．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）一次函數(shù)的圖象過點（0，3）且與直線y=﹣x平行，那么函數(shù)解析式是y=﹣x+3．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】一次函數(shù)的解析式是：y=﹣x+b，把（0，3）代入解析式，求得b的值，即可求得函數(shù)的解析式．【解答】解：設一次函數(shù)的解析式是：y=﹣x+b，把（0，3）代入解析式，得：b=3，則函數(shù)的解析式是：y=﹣x+3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確理解平行的兩個一次函數(shù)的解析式之間的關系是關鍵．11．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）已知△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC=2cm2，則S△DEF=cm2．【考點】相似三角形的性質．【分析】根據(jù)相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方．12．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）解方程﹣=，設y=，那么原方程化為關于y的整式方程是3y2﹣4y﹣3=0．【考點】換元法解分式方程．【分析】換元法即是整體思想的考查，解題的關鍵是找到這個整體，此題的整體是，設y=，換元后整理即可求得．【解答】解：設y=，則原方程可變?yōu)閥﹣=，去分母得3y2﹣4y﹣3=0．故答案為：3y2﹣4y﹣3=0．【點評】本題考查了用換元法解方程，解題關鍵是能準確的找出可用替換的代數(shù)式，再用字母y代替解方程．13．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，設向量=，=．用含、的式子表示向量=+．【考點】*平面向量；平行四邊形的性質．【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得==，又由三角形法則求得，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，OA=OC，∴==，∵=，∴=+=+，∴==（+）=+．故答案為：+．【點評】此題考查了平面向量的知識以及平行四邊形的性質．此題難度不大，注意掌握三角形法則的應用，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．14．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）1納米等于0.000000001米，用科學記數(shù)法表示：2014納米=2.014×10﹣6米．【考點】科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：2014納米=2014×0.000000001m=2.014×10﹣6m．故答案為：2.014×10﹣6．【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．15．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）一山坡的坡度為i=1：，那么該山坡的坡角為30度．【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題．【分析】根據(jù)坡度i等于坡角的正切即可求解．【解答】解：設坡角為α，由題意得，tanα==，∴α=30°．故答案為：30．【點評】本題考查了坡度和坡角的知識，解答本題的關鍵是掌握坡度和坡角的概念．16．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）直角坐標系中，第四象限內一點P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，那么點P的坐標是（5，﹣2）．【考點】點的坐標．【分析】根據(jù)第四象限點的橫坐標是正數(shù)，縱坐標是負數(shù)，點到x軸的距離等于縱坐標的長度，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的長度解答．【解答】解：∵第四象限內一點P到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點P的橫坐標是5，縱坐標是﹣2，∴點P（5，﹣2）．故答案為：（5，﹣2）．【點評】本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的長度，到y(tǒng)軸的距離等于橫坐標的長度是解題的關鍵．17．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）在△ABC中，AB=AC=5，tanB=．若⊙O的半徑為，且⊙O經過點B、C，那么線段OA的長等于3或5．【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質；解直角三角形．【分析】分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB=AC，OB=OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長，利用勾股定理求出OD的長，由AD+DO即可求出AO的長；（ii）同理由AD﹣OD即可求出AO的長，綜上，得到所有滿足題意的AO的長【解答】解：解：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，∵AB=AC，OB=OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D為BC的中點，在Rt△ABD中，AB=5，tan∠ABC==，設AD=4x，BD=3x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=52，x=1，∴BD=3，AD=4，在Rt△BDO中，OD==1，BD=3，則AO=AD+OD=4+1=5；（ii）如圖2所示，AO=AD﹣OD=4﹣1=3；綜合上述，OA的長為3或5．故答案為：3或5．【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，以及直角三角形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．18．（4分）（2014?普陀區(qū)二模）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以點C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB僅有一個公共點，那么半徑r的取值范圍是r=或5＜r≤12．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】因為要使圓與斜邊只有一個公共點，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個交點在斜邊上．若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：根據(jù)勾股定理求得直角三角形的斜邊是=13．當圓和斜邊相切時，則半徑即是斜邊上的高，等于；當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，則5＜r≤12．故半徑r的取值范圍是r=或5＜r≤12．故答案為：r=或5＜r≤12．【點評】考查了直線與圓的位置關系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個公共點即可．三、解答題（本大題共7題，其中第19---22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分，滿分78分）19．（10分）（2014?普陀區(qū)二模）計算：（）﹣1+（π﹣1）0+27．【考點】實數(shù)的運算；分數(shù)指數(shù)冪；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】原式第一項利用負指數(shù)冪法則計算，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，第三項變形后化為最簡二次根式，計算即可得到結果．【解答】解：原式=+1+3=﹣1+1+3=4．【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．20．（10分）（2014?普陀區(qū)二模）先化簡分式（﹣）÷，再從不等式組的解集中取一個非負整數(shù)值代入，求原分式的值．【考點】分式的化簡求值；一元一次不等式組的整數(shù)解．【專題】開放型．【分析】首先利用分式的混合運算法則化簡分式，利用不等式組的求解方法求出不等式的解集，即可求得其非負整數(shù)解，然后由不等式有意義的條件確定x的取值即可求得答案．【解答】解：∵（﹣）÷=（﹣）?=3（x+1）﹣（x﹣1）=2x+4，∵，解①得：x≤2，解②得：x＞﹣3，∴此不等式組的解集是﹣3＜x≤2；∴非負整數(shù)值有0，1，2，∵x2﹣1≠0，x≠0，∴x≠±1且x≠0，∴當x=2時，原式=8．【點評】此題考查了分式的化簡求值與不等式組的解法．題目難度不大，但解題時需細心．21．（10分）（2008?寧夏）汶川地震牽動著全國億萬人民的心，某校為地震災區(qū)開展了“獻出我們的愛”賑災捐款活動．八年級（1）班50名同學積極參加了這次賑災捐款活動，下表是小明對全班捐款情況的統(tǒng)計表：捐款（元）1015305060人數(shù)3611136因不慎兩處被墨水污染，已無法看清，但已知全班平均每人捐款38元．（1）根據(jù)以上信息請幫助小明計算出被污染處的數(shù)據(jù)，并寫出解答過程．（2）該班捐款金額的眾數(shù)，中位數(shù)分別是多少？【考點】中位數(shù)；一元一次方程的應用；統(tǒng)計表；眾數(shù)．【專題】圖表型．【分析】（1）所求人數(shù)=50減去圖中已有人數(shù)，捐款數(shù)=（38×50﹣各類捐款錢數(shù)×人數(shù)）÷前面算出的人數(shù)；（2）50出現(xiàn)的次數(shù)最多，為13次，所以50是眾數(shù)；50個數(shù)，中位數(shù)是第25個和第26個數(shù)的平均數(shù)．【解答】解：（1）被污染處的人數(shù)為50﹣3﹣6﹣11﹣13﹣6=11人被污染處的捐款數(shù)=[50×38﹣（10×3+15×6+30×11+50×13+60×6）]÷11=40元答：被污染處的人數(shù)為11人，被污染處的捐款數(shù)為40元．（2）捐款金額的中位數(shù)是（40+40）÷2=40（元），捐款金額的眾數(shù)是50（元）．答：捐款金額的中位數(shù)是40元，捐款金額的眾數(shù)是50元．【點評】本題考查的知識點是：給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)．22．（10分）（2014?普陀區(qū)二模）如圖，已知AD既是△ABC的中線，又是角平分線，請判斷：（1）△ABC的形狀；（2）AD是否過△ABC外接圓的圓心O，⊙O是否是△ABC的外接圓，并證明你的結論．【考點】三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質．【分析】（1）過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，根據(jù)HL定理可得出△BDE≌△CDF，進而得出結論；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD過圓心O，故可得出結論．【解答】（1）答：△ABC是等腰三角形．證明：過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．∵AD是角平分線，∴DE=DF．又∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在Rt△BDE與Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（HL）．∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）答：AD過△ABC的外接圓圓心O，⊙O是△ABC的外接圓．證明：∵AB=AC，AD是角平分線，∴AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AD過圓心O．作邊AB的中垂線交AD于點O，交AB于點M，則點O就是△ABC的外接圓圓心，∴⊙O是△ABC的外接圓．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．23．（12分）（2010?溫州）如圖，拋物線y=ax2+bx經過點A（4，0），B（2，2）．連接OB，AB．（1）求該拋物線的解析式；（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；（3）將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△OA′B′，寫出△OA′B′的邊A′B′的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題．【分析】（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出拋物線的解析式；（2）過B作BC⊥x軸于C，根據(jù)A、B的坐標易求得OC=BC=AC=2，由此可證得∠BOC、∠BAC、∠OBC、∠ABC都是45°，即可證得△OAB是等腰直角三角形；（3）當△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°時，OB′正好落在y軸上，易求得OB、AB的長，即可得到OB′、A′B′的長，從而可得到A′、B′的坐標，進而可得到A′B′的中點P點的坐標，然后代入拋物線中進行驗證即可．【解答】解：（1）由題意得，解得；∴該拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x；（2）過點B作BC⊥x軸于點C，則OC=BC=AC=2；∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；∴∠OBA=90°，OB=AB；∴△OAB是等腰直角三角形；（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，∴OB=AB=2；由題意得：點A′坐標為（﹣2，﹣2）∴A′B′的中點P的坐標為（﹣，﹣2）；當x=﹣時，y=﹣×（﹣）2+2×（﹣）≠﹣2；∴點P不在二次函數(shù)的圖象上．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的判定、圖形的旋轉變化等知識．24．（12分）（2008?常州）如圖，港口B位于港口O正西方向120海里處，小島C位于港口O北偏西60°的方向．一艘科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏西30°的OA方向以20海里/小時的速度駛離港口O．同時一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30°的方向以60海里/小時的速度駛向小島C，在小島C用1小時裝補給物資后，立即按原來的速度給考察船送去．（1）快艇從港口B到小島C需要多少時間？（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時間才能和考察船相遇？【考點】解直角三角形的應用-方向角問題．【專題】計算題．【分析】（1）要求B到C的時間，已知其速度，則只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間．（2）過C作CH⊥OA，垂足為H．設快艇從C島出發(fā)后最少要經過x小時才能和考察船在OA上的D處相遇，則CD=60x，OD=20（x+2）．根據(jù)直角三角形的性質可解得x的值，從而求得快艇從小島C出發(fā)后和考察船相遇的最短的時間．【解答】解：（1）由題意可知：∠CBO=60°，∠COB=30度．∴∠BCO=90度．在Rt△BCO中，∵OB=120，∴BC=60，OC=60．∴快艇從港口B到小島C的時間為：60÷60=1（小時）．（2）設快艇從C島出發(fā)后最少要經過x小時才能和考察船在OA上的D處相遇，則CD=60x．過點D作DE⊥CO于點E，∵考察船與快艇是同時出發(fā)，∵快艇從港口B到小島C的時間是1小時，在小島C用1小時裝補給物資，∴考察船從O到D行駛了（x+2）小時，∴OD=20（x+2）．過C作CH⊥OA，垂足為H，在△OHC中，∵∠COH=30°，OB=120，∴CO=60，∴CH=30，OH=90．∴DH=OH﹣OD=90﹣20（x+2）=50﹣20x．在Rt△CHD中，CH2+DH2=CD2，∴+（50﹣20x）2=（60x）2．整理得：8x2+5x﹣13=0．解得：x1=1，x2=﹣．∵x＞0，∴x=1．答：快艇從小島C出發(fā)后最少需要1小時才能和考察船相遇．【點評】此題考查學生對方向角的理解及解直角三角形的綜合計算能力，難易程度適中．25．（14分）（2014?普陀區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=