《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》016-0（曾慧平）課件 04-第四章 不定積分

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)目錄CONTENTS前言0002第2章導(dǎo)數(shù)與微分第4章不定積分04第1章函數(shù)與極限01第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數(shù)微積分07不定積分第4章4.1不定積分概述4.2不定積分的積分方法導(dǎo)學(xué)4微積分包含微分學(xué)和積分學(xué)兩部分內(nèi)容。17世紀(jì)中期，牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了微分與積分的互逆關(guān)系，創(chuàng)建了微積分．在這其中，連接微分學(xué)和積分學(xué)的重要知識(shí)就是不定積分。導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)51．理解原函數(shù)和不定積分的概念，了解不定積分的幾何意義，熟練掌握不定積分的基本公式，了解不定積分的性質(zhì)。2．熟練掌握不定積分的換元法和分部積分法，能求基本類(lèi)型函數(shù)的不定積分。素質(zhì)目標(biāo)61．弘揚(yáng)主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神。2．弘揚(yáng)服務(wù)集體、團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神。3．養(yǎng)成踏實(shí)細(xì)致、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、執(zhí)著專(zhuān)注的學(xué)習(xí)態(tài)度。不定積分概述4.14.1.1原函數(shù)與不定積分的概念8引例已知物體的運(yùn)動(dòng)速度為v(t)=2t，怎樣確定它的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t)呢？根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，s’(t)=v(t)=2t，從數(shù)學(xué)角度思考，要確定s=s(t)，需尋找一個(gè)函數(shù)使它的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)v(t)=2t即可，s(t)=t2就滿(mǎn)足上述要求,此時(shí)我們稱(chēng)s(t)=t2為

v(t)=2t的一個(gè)原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念9定義1設(shè)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間I上的已知函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使對(duì)于區(qū)間I上任意一點(diǎn)x都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，則稱(chēng)函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念10定理如果函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，且F(x)+C（C是任意常數(shù)）是f(x)的全體原函數(shù)。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念11定義2在區(qū)間Ⅰ上，函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C（C是任意常數(shù)）稱(chēng)為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx。其中，∫稱(chēng)為積分號(hào)，f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量。由以上定義可知，若F(x)=f(x)，則有∫f(x)dx=F(x)+C。4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念12求∫x2dx。例1

求∫sinxdx。例2

4.1.1原函數(shù)與不定積分的概念13不定積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）之間有如下運(yùn)算關(guān)系:(1)[∫f(x)dx]’=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx(2)∫F’(x)dx=F(x)+C或

∫dF(x)=F(x)+C4.1.2不定積分的幾何意義14如圖所示，設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y=F(x)的圖形為f(x)的一條積分曲線(xiàn).顯然，將這條積分曲線(xiàn)沿著y軸的方向上下平移就可以得到無(wú)數(shù)條曲線(xiàn)，它們表示的函數(shù)就是f(x)的不定積分F(x)+C，這些曲線(xiàn)為f(x)的積分曲線(xiàn)族。4.1.3不定積分的基本積分公式15（1）∫kdx=kx+C（k是常數(shù)）（4）∫exdx=ex+C（6）∫cosxdx=sinx+C4.1.4不定積分的性質(zhì)16根據(jù)不定積分的定義，可以推得如下性質(zhì):直接積分法性質(zhì)1被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即性質(zhì)2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，即

4.1.4不定積分的性質(zhì)17求：例3

解：

4.1.4不定積分的性質(zhì)18解：求：例4

求：例5

解：

4.1.4不定積分的性質(zhì)19解：求：例6

解：

求：例7

4.1.4不定積分的性質(zhì)20解：因?yàn)榍螅豪?

，所以

4.1.4不定積分的性質(zhì)21解：例9已知某物體以速度v=(2t2+1)m/s做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間t為1s時(shí)，物體經(jīng)過(guò)路程s為3m,求該物體的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)所求物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=s（t），則有s'(t)=v=2t2+1，所以

已知，當(dāng)t=1時(shí)，S=3，代入上式有

所以，所求物體的運(yùn)動(dòng)方程為

課堂小結(jié)22原函數(shù)與不定積分的概念不定積分的幾何意義不定積分的基本積分公式不定積分的性質(zhì)不定積分的積分方法4.24.2.1不定積分的換元積分法24換元積分法是指通過(guò)引進(jìn)中間變量，作變量替換，使被積函數(shù)變成容易積分的形式，然后進(jìn)行積分，其一般包括第一類(lèi)換元積分法和第二類(lèi)換元積分法兩種。1．第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法

定理1(第一類(lèi)換元積分法)

4.2.1不定積分的換元積分法25求：例1

解：首先湊微分，因?yàn)?/p>

，所以求：例2

解：首先湊微分，因?yàn)椋?/p>

4.2.1不定積分的換元積分法26求：例3求：例4

解：因?yàn)?，所?/p>

解：首先湊微分，因?yàn)?，所?/p>

4.2.1不定積分的換元積分法27（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）常用的湊微分形式

4.2.1不定積分的換元積分法28求：例5

解：因?yàn)?，所?/p>

求：例6

解：因?yàn)椋渲?/p>

即

4.2.1不定積分的換元積分法29求：例7解：

因?yàn)椋?/p>

，所以：

4.2.1不定積分的換元積分法30求：例8解：

(a>0)

即，求：例9

解：

即，4.2.1不定積分的換元積分法312．第二類(lèi)換元積分法定理2第二類(lèi)換元積分法

其中，t=ψ-1(x)為x=ψ(t)的反函數(shù)。4.2.1不定積分的換元積分法322．第二類(lèi)換元積分法---簡(jiǎn)單根式換元積分法求：例10

4.2.1不定積分的換元積分法33求：例11

4.2.1不定積分的換元積分法342．第二類(lèi)換元積分法---三角換元法求：例12

于是得

不定積分的三角換元法4.2.1不定積分的換元積分法35求：例12

因?yàn)?/p>

，所以

即

4.2.1不定積分的換元積分法36求：例13

于是得

因?yàn)?/p>

，所以

即

4.2.1不定積分的換元積分法37

4.2.1不定積分的換元積分法38常用的積分結(jié)果:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

4.2.2不定積分的分部積分法39不定積分的分部積分法:設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)為即

上式兩邊同時(shí)求不定積分，得

即

不定積分的分部換元法該公式稱(chēng)為不定積分的分部積分公式4.2.2不定積分的分部積分法40求：例14

解：設(shè)u=x,dv=exdx=d(ex),則du=dx,v=ex

,代入分部積分公式，得

求：例15

解：設(shè)u=x2,dv=exdx=d(ex),則

4.2.2不定積分的分部積分法41求：例16解：設(shè)u=x,dv=sinxdx=d(-cosx),則du=dx,v=ex

,則求：例17

4.2.2不定積分的分部積分法42求：例18求：例19

解：因?yàn)楸环e函數(shù)是單一函數(shù)，這時(shí)可直接把lnx選作u而把dx選作dv,則

4.2.2不定