專題11 極點極線與定點定值

學習數(shù)學領悟數(shù)學應用數(shù)學專題11極點與極線專題11極點極線與定值定點第一講極點極線原理介紹極點極線顯威力———運用高觀點例析圓錐曲線中的完全四點形問題如圖1，設是不在圓錐曲線上的一點，過點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點，連接交于，連接交于，則直線為點對應的極線．若為圓錐曲線上的點，則過點的切線即為極線．由圖1同理可知，為點對應的極線，為點所對應的極線．因而將稱為自極三點形．任意一點對應的極線為另外兩點的連線．設直線交圓錐曲線于點兩點，則恰為圓錐曲線的兩條切線．圖1只有“站得高”，遇到問題才能夠從容面對．解析幾何一直是學生乃至部分中學數(shù)學老師所害怕的內容，如果能從高等數(shù)學的視角去看待這些問題，有時候處理起來將會變得非常容易．極點、極線是高等幾何中的內容，但在中學里會經(jīng)常涉及．統(tǒng)一結論：已知圓錐曲線：，則點對應的極線方程為：．以橢圓為例，我們來證明一下極點極線的結論如圖M是橢圓外一點，過P作兩條直線分別與橢圓交于A，B和C，D兩點．N是AD與CD的交點，證明N點在直線上接下來我們推廣到更一般的形式，設和交于點，類似的方法我們也可以證明從而一定在直線上，那么點和均在直線上，隨著四點的運動，所有的點和的軌跡就構成了直線，即點對應的極線為，同樣的以點為研究對象，可以得出其對應的極線是兩點的連線所在的直線，同樣的以點為研究對象，可以得出其對應的極線是兩點的連線所在的直線除此之外，極點極線還有如下結論，是橢圓外一點，是對應的極線上位于橢圓內的任一點，連接交橢圓于兩點，則，且現(xiàn)證明如下設M是橢圓外一點，MA，MB均與橢圓相切，O為橢圓的中心，直線MO與AB交于點N，交橢圓于E，F(xiàn)．則，且此結論還可以用定比點差法來證明，參見定比點差法那一節(jié)第二講應用極點極線的解決定值定點【例9】（武漢模擬）已知，分別為雙曲線實軸的左右兩個端點，過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于，兩點（點，異于，，則直線，的斜率之比（）A． B． C． D．【例10】已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，過x軸上一點作一直線PQ與橢圓交于P，Q兩點（異于A，B），若直線AP和BQ的交點為N，記直線MN和AP的斜率分別為，，則（）A． B． C． D．【例11】（沙坪壩期中）設，分別是雙曲線的左右頂點，設過的直線，與雙曲線分別交于點，，直線交軸于點，過的直線交雙曲線的于，兩點，且，則的面積（）A． B． C． D．【例12】（濟南二模）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓的一個頂點，且右焦點到雙曲線漸近線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于、兩點．①若，為鄰邊的平行四邊形為菱形，求的取值范圍；②若直線過定點，且線段上存在點，滿足，證明：點在定直線上．【例13】（2013?江西）橢圓的離心率，．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，，，是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點直線交于點，設的斜率為，的斜率為，證明為定值．【例14】(湖北十一校聯(lián)考)已知直線與拋物線相交于A，B兩點，滿足．定點，，M是拋物線上一動點，設直線CM，DM與拋物線的另一個交點分別是E，F(xiàn)．(1)求拋物線的方程；(2)求證：當M點在拋物線上變動時(只要點E、F存在且不重合)，直線EF恒過一個定點；并求出這個定點的坐標.第三講非典型極點極線解決定值定點（平行情況）圓錐曲線上四點構成的四邊形為梯形時，如圖，，無法構成自極三角形，則點對應的極線過，所在直線的交點，且極線與平行．（設，交于,可以認為直線和的交于無限遠處的一點，按照極點極線模型可知為點對應的極線，則與，的交點都在無限遠處，所以）這種情況我們稱之為非典型極點極線．推論1：四線平行模型：設AC，BD交于點，則點對應的極線為一條經(jīng)過點的直線，并且與AC，BD都平行(圖中未畫出)，且與點對應的極線也平行．設，則點對應極線方程為，其斜率為，故（雙曲線中，拋物線中），這三個和中點弦的斜率形式一模一樣，非常好記．推論2：特別地，如右圖若AD∥BC∥y軸，由對稱性知AC，BD的交點Q在x軸上，則點的極線過點Q，且與y軸平行，結合上一節(jié)中的結論2，有．（我們把這個模型稱之為模型），由對稱性可知此時為等腰梯形，則四點共圓，由圓的曲線系可知此時（證明過程參見圓的曲線系那一節(jié)）．【例15】（桃城月考）已知橢圓內有一定點，過點的兩條直線，分別與橢圓交于、和、兩點，且滿足，，若變化時，直線的斜率總為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【例16】（泉州模擬）已知雙曲線，斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點，點的坐標為，直線交于另一點，直線交于另一點．若直線的斜率為，則的離心率為（）A． B． C． D．【例17】（湖北省預賽題）設為橢圓內一定點（不在坐標軸上），過點P的兩條直線分別與橢圓交于點A、C和B、D，且．（1）證明：直線AB的斜率為定值；（2）過點P作AB的平行線，與橢圓交于E、F兩點，證明：點P平分線段E、F．【例18】已知拋物線，斜率為的動直線l與拋物線交于兩點A、B，拋物線內的定點為直線l外一點，若直線AP、BP分別與拋物線交于另一點C、D，問直線AD、BC是否相交于定點？若是，求出定點坐標：若不是，說明理由．很多考題的命題背景是極點極線，熟練使用極點極線的結論，解題方向會更加清晰.【例19】已知拋物線，過點作直線與拋物線交于兩點，若兩點縱坐標之積為．（1）求拋物線的方程；（2）斜率為1的直線不經(jīng)過點且與拋物線交于、．①求直線在軸上截距的取值范圍；②若、分別與拋物線交于另一點、，證明：、交于一定點．【例20】已知拋物線E：的焦點F，是E上一點，且．（1）求E的方程：（2）設點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M