【優(yōu)化探究】高三數學二輪復習 專題演練1-5-1第一講 隨率隨機變量及其分布列

PAGEPAGE5【優(yōu)化探究】2023屆高三數學二輪復習專題演練1-5-1第一講隨率隨機變量及其分布列一、選擇題1．(南昌師大附中月考)某人午覺醒來，發(fā)現表停了，他翻開收音機想聽電臺整點報時，那么他等待的時間少于30分鐘的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,12)解析：整點報時的時間間隔是60分鐘，故等待時間少于30分鐘的概率P＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2).答案：B2．(太原模擬)某人拋擲一枚硬幣，出現正反的概率都是eq\f(1,2)，構造數列{an}，使得an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（第n次拋擲時出現正面）,－1（第n次拋擲時出現反面）))，記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，那么S4＝2的概率為()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：依題意得知，“S4＝2”表示在連續(xù)四次拋擲中，恰有三次出現正面，因此“S4＝2”的概率為Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3·eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).選C.答案：C3．(保定摸底)在區(qū)間(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上隨機取一個數x，那么使得tanx∈[－eq\f(\r(3),3)，eq\r(3)]的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：區(qū)間(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))的長度為π，當tanx∈[－eq\f(\r(3),3)，eq\r(3)]時，x的取值范圍是[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，區(qū)間長度為eq\f(π,2)，故由幾何概型的概率計算公式可得所求的概率為eq\f(1,2).答案：C4．投擲一枚質地均勻的硬幣和一枚質地均勻的骰子各1次，事件A表示“硬幣正面向上”，事件B表示“骰子向上的點數是2”，那么事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率為()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：由題知，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(1,2)，那么事件A不發(fā)生的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，事件B發(fā)生的概率為P(B)＝eq\f(1,6)，事件B不發(fā)生的概率為P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(5,6)，事件A，B都不發(fā)生的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12)，故事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率為1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(7,12).答案：C5．一個家庭中有兩個小孩．假定生男、生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩，問這時另一個小孩是男孩的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：解法一根本領件全體Ω＝{男男，男女，女男，女女}，記事件A為“有一個女孩”，那么P(A)＝eq\f(3,4)，記事件B為“另一個是男孩”，那么AB就是事件“一個男孩一個女孩”，P(AB)＝eq\f(1,2)，故在已知這個家庭有一個是女孩的條件下，另一個是男孩的概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3).解法二記“有一個女孩”的根本領件的全體Ω′＝{男女，女男，女女}，那么“另一個是男孩”的根本領件為2個，故這個概率是eq\f(2,3).答案：C二、填空題6．向面積為S的△ABC內任投一點P，那么△PBC的面積小于eq\f(S,3)的概率是________．解析：作DE∥BC分別交直線AB，AC于點D，E，使得eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，那么P取四邊形BCED中任意一點即可滿足題意，所以所求的概率為eq\f(S四邊形BCED,S△ABC)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)7．(武漢調研)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{a1，a2，a3，a4}，且B＝A，定義A與B的距離d(A，B)＝eq\i\su(i＝1,4,|)ai－i|，那么d(A，B)＝2的概率為______．解析：依題意，對a1，a2，a3，a4進展全排列一共有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的情況，其中滿足d(A，B)＝2的排列有：1，2，4，3；2，1，3，4；1，3，2，4.因此，所求事件的概率P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)8．在某市1月份的高三質量檢測考試中，理科學生的數學成績服從正態(tài)分布N(98，100)．已知參加本次考試的全市理科學生約9450人．某學生在這次考試中的數學成績是108分，那么他的數學成績大約排在全市前________名左右．解析：因為學生的數學成績X～N(98，100)，所以P(X≥108)＝eq\f(1,2)[1－P(88<X<108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587，故該學生的數學成績大約排在全市前0.1587×9450≈1500名．答案：1500三、解答題9．甲袋中有大小相同的3個白球、5個紅球，乙袋中有大小相同的4個白球、8個黑球，從兩個袋中各摸出2個球，求：(1)從甲袋中摸出的2個球都是紅球的概率；(2)這4個球中恰有2個白球的概率．解析：(1)從甲袋中摸出的2個球都是紅球的概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14).(2)記“兩個袋中摸出的4個球中恰有2個白球”為事件D，包括事件A、事件B、事件C三種情形．事件A：從甲袋中摸出2個白球且從乙袋中摸出2個黑球，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))·eq\f(Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(1,22).事件B：從甲、乙兩個袋中各摸出1個白球，那么P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,8))·eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(20,77).事件C：從甲袋中摸出2個紅球且從乙袋中摸出2個白球，那么P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))·eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(5,154).因為事件A、B、C彼此互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,22)＋eq\f(20,77)＋eq\f(5,154)＝eq\f(26,77).10．(高考江西卷)如圖，從A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及數學期望EV.解析：(1)從6個點中隨機選取3個點總共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)取法，選取的3個點與原點在同一個平面內的取法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)＝12(種)，因此V＝0的概率為P(V＝0)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)V的所有可能取值為0，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，因此V的分布列為0由V的分布列可得EV＝0×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,20)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,20)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,20)＋eq\f(4,3)×eq\f(1,20)＝eq\f(9,40).11．(高考廣東卷)某班50位學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如下圖，其中成績分組區(qū)間是：[40，50)，[eq\a\vs4\al(50，60))，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求圖中x的值；(2)從成績不低于80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上(含90分)的人數記為ξ，求ξ的數學期望．解析：(1)由頻率分布直方圖知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由頻率分布直方圖知成績不低于80分的學生人數為(0.018＋0.006)×10×50＝12，成績在90分以上(含90分)的人數為0.006×10×50＝3.因此ξ可能取0，1，2三個值．P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,9),Ceq\o\al(2,12)