NA05數(shù)值積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第五章數(shù)值積分/*NumericalIntegration*/近似計算5.1基本概念

牛頓—萊布尼茲公式

在工程技術(shù)和科學(xué)研究中，經(jīng)常碰到以下情況：1.

f(x)結(jié)果復(fù)雜，求原函數(shù)困難。2.f(x)原函數(shù)不存在，或不能用初等函數(shù)表示。3.

f(x)無函數(shù)式，只給出一張由試驗提供函數(shù)表。

f(x)原函數(shù)第1頁

數(shù)值積分基本思緒

在許多實際問題中，僅有、可利用信息是被積函數(shù)表和積分區(qū)間[a,b],僅用此建立數(shù)值求積公式。幾個慣用公式：

梯形公式/*trapezoidalrule*/

：2.中矩形公式:

3.辛普森/*Simpson*/公式：4.普通公式：式中xk稱為求積節(jié)點，Ak稱為求積系數(shù)。

怎樣結(jié)構(gòu)求積公式？怎樣衡量其精度呢？5.1

Foundations第2頁m=2時，代入f(x)=c2x2≠例：考查梯形、中矩形和辛浦生公式代數(shù)精度。解：設(shè)f(x)=cmxm,m=0,1,…,逐次檢驗求積公式是否準(zhǔn)確成立==代數(shù)精度=1假如求積公式對任意不高于m次代數(shù)多項式都準(zhǔn)確成立，而對于m+1次代數(shù)多項式卻不能準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式代數(shù)精度為m。準(zhǔn)確解：m=0時，代入f(x)=c0１．考查梯形公式ITm=1時，代入f(x)=c1x2．中矩形公式IR代數(shù)精度=13．辛浦生公式IS當(dāng)m=0,1,2,3都準(zhǔn)確成立。=I3m=3時代入f(x)=c3x3當(dāng)m≥4時Is

≠

Im代數(shù)精度=3

代數(shù)精度定義5.1

Foundations第3頁5.2插值型積分公式/*interpolatoryquadrature*/思緒利用插值多項式則積分易算。

在[a,b]上取a

x0<x1<…<xn

b，做fn次插值多項式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點

f(x)誤差含有n+1個節(jié)點插值型求積公式代數(shù)精度最少為n。

定理插值型積分公式/*interpolatoryquadrature*/第4頁5.2InterpolatoryQuadrature

當(dāng)節(jié)點等距分布時：令Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n和i，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。

Newton-Cotes公式n階牛頓—柯特斯公式第5頁n=1:TrapezoidalRule/*令x=a+th,h=b

a,用中值定理*/代數(shù)精度=1n=2:Simpson’sRule代數(shù)精度=3n=3:Simpson’s3/8-Rule,代數(shù)精度=3,5.2InterpolatoryQuadrature第6頁0代數(shù)精度=55.2InterpolatoryQuadraturen=4:CotesRule當(dāng)n為偶數(shù)時，牛頓—柯特斯公式最少有n+1次代數(shù)精度。定理作變量替換x=a+th，且xj=a+jh

若n為偶數(shù)，則n/2為整數(shù)，再令t=u+n/2被積函數(shù)是個奇函數(shù)

=證設(shè)f(x)=xn+1，因為f(n+1)(x)=(n+1)!，余項公式為

第7頁5.2InterpolatoryQuadrature解計算結(jié)果列于下表，準(zhǔn)確值為Si=0.9460831…。例用各階牛頓—柯特斯公式計算正弦積分nIn有效位數(shù)10.9270354120.9461359330.9461109340.9460830650.9460830660.9460831思索：1.偶階數(shù)牛頓—柯特斯公式精度高；2.階數(shù)n越高，牛頓—柯特斯公式精度越好!?第8頁5.3復(fù)合求積

/*CompositeQuadrature*/高次插值有Runge現(xiàn)象，故采取分段低次插值

分段低次合成Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。

復(fù)合梯形公式在每個上用梯形公式：=

Tm將[a,b]區(qū)間m等分，步長h=(b-a)/m，分點xk=a+kh,k=0,1,…,m。用低階牛頓—柯特斯公式求子區(qū)間[xk,xk+1]上積分值，再累加得到積分近似值。思緒第9頁復(fù)合公式余項？5.3CompositeQuadrature

復(fù)化Simpson公式44444=

Sm

復(fù)化Cotes公式Cm第10頁若f(x)在積分區(qū)間[a,b]上分別含有二階、四階和六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化積分公式余項分別是

定理其中，ξ∈[a,b]，且當(dāng)h充分小時，又有5.3CompositeQuadrature第11頁證這里考查復(fù)化梯形公式余項公式，其余由同學(xué)們自己完成。所以中值定理

由余項公式能夠看出，只要相關(guān)各階導(dǎo)數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則當(dāng)m→∞(即h→0)時，Tm，Sm，Cm都收斂于積分真值，而且收斂速度一個比一個快。另有因為在[a,b]上連續(xù)，故每個小區(qū)間上積分使用梯形公式時，有誤差為5.3CompositeQuadrature第12頁

收斂速度與誤差預(yù)計：若一個積分公式誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂。~~~例：計算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運算量基本相同定義5.3CompositeQuadrature第13頁Q:給定精度

，怎樣取m?比如：要求，怎樣判斷m=？上例中若要求，則即：取m=409通常采取將區(qū)間不停二分方法，即取m=2k需計算導(dǎo)數(shù)不實用重復(fù)計算函數(shù)值不經(jīng)濟(jì)5.3CompositeQuadrature第14頁5.4龍貝格積分/*RombergIntegration*/

梯形法遞推化積分區(qū)間[a,b]m等分復(fù)化梯形公式是

假如把區(qū)間2m等分，即在原來小區(qū)間[xk,xk+1]上增加分點xk+1/2=(xk+xk+1)/2，變?yōu)閮蓚€小區(qū)間。于是有

第15頁若f(x)在積分區(qū)間[a,b]上分別含有二階、四階和六階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化積分公式余項分別是

定理其中，ξ∈[a,b]，且當(dāng)h充分小時，又有~~~5.4RombergIntegration

第16頁把(T2m-Tm)/3作為誤差修正值加到T2m上去，得到

龍貝格算法5.4RombergIntegration

上式精度完全有可能比T2m好?？疾槔河嬎?，檢驗上述論斷。

mhTmTmSm113.1—3.133333320.53.13117653.13333333.141568640.253.13898853.14156863.141592580.1253.14094163.1415925306253.14142993.14159265—Sm

T2m=?第17頁T2m證實Tm=Sm同理，考查=Cm所以還有Romberg公式5.4RombergIntegration

第18頁

Romberg算法：………………R4

T1

T8

T4

T2

S1

S2

C1

R1

C2

S411

T1614

R213

C412

S8梯形遞推化公式Romberg公式5.4RombergIntegration

第19頁5.5高斯型積分/*GaussianQuadrature*/用n+1個節(jié)點結(jié)構(gòu)含有2n+1次代數(shù)精度求積公式將節(jié)點x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到公式含有2n+1次代數(shù)精度。這么節(jié)點稱為Gauss點，公式稱為Gauss型求積公式。例：求2點求積公式有

次代數(shù)精度。解：限定求積節(jié)點x0=-1,x1=1，得到插值型求積公式

1第20頁用解非線性方程組求高斯點方法很困難！假如設(shè)，我們對式中系數(shù)A0,A1和節(jié)點x0,x1不事先加以限制，而是適當(dāng)?shù)剡x其值，可使所得公式有3次代數(shù)精度。

+

1-11100)()()(xfAxfAdxxf代入f(x)=1,x,x2,x3,要求準(zhǔn)確成立，得到5.5GaussianQuadrature從而有稱之為2點Gauss公式，含有3次代數(shù)精度。

結(jié)構(gòu)含有2n+1次代數(shù)精度n+1點Gauss公式?第21頁假如式中x0…xn

為Gauss點,則公式最少有2n+1次代數(shù)精度。對任意次數(shù)小于n多項式P(x)，P(x)w(x)次數(shù)小于2n+1，則代入公式應(yīng)準(zhǔn)確成立：0=0

x0…xn

為Gauss點充要條件是

與任意次數(shù)小于n多項式P(x)正交，即成立定理利用區(qū)間[a,b]上n+1次正交多項式確定Gauss點；然后利用代數(shù)精度確定求積系數(shù)。作一個n+1次多項式

求Gauss點

求w(x)5.5GaussianQuadrature第22頁

高斯—勒讓德求積公式/*Gauss-Legendre公式Legendre多項式族：定義在[1,1]上遞推公式

Legendre多項式Pn(x)對于任意n-1次多項式在[-1,1]上正交。

定理5.5GaussianQuadrature第23頁

Legendre多項式Pn(x)對于任意n-1次多項式在[-1,1]上正交。

定理證實：令有00=0k次勒讓德多項式k個零點就是k個高斯點，用來結(jié)構(gòu)k點高斯—勒讓德求積公式。詳見教材P.140表5.1若Q(x)是次數(shù)小于n多項式，則恒有Q(n)(x)=05.5Gauss