結構動力學計算課件

10.2單自由度無阻尼體系的自由振動

Free-VibrationofSDOFSystemwithoutDampingSDOF：singledegreeoffreedom10.2單自由度無阻尼體系的自由振動SDOF：singl教學內容

自由振動微分方程的建立：剛度法、柔度法

自由振動微分方程的解解的物理意義教學內容自由振動微分方程的建立：剛度法、柔度法重要性單自由度體系計算簡便，并可作為一些復雜體系的初步估算，如：水塔、單層廠房等。單自由度體系的動力分析是多自由度體系動力體系分析的基礎。

重要性單自由度體系計算簡便，并可作為一些復雜體系的初步估質點的達朗伯(d’Alembert)原理

在質點運動的任一瞬時，作用于質點上的主動力、約束反力和假想加在質點上的慣性力構成形式上的平衡力系。1.自由振動方程的建立要了解和掌握結構動力反應的規(guī)律，必須首先建立描述結構運動的（微分）方程。建立運動方程的方法很多，這里介紹建立在達朗伯原理基礎上的“動靜法”。

形式上的平衡方程，實質上的運動方程。Formulationtheequationoffree-vibration質點的達朗伯(d’Alembert)原理在質點運動的任一yk懸臂梁-質量模型

剛度法(Stiffnessmethod)建立振動微分方程的2種方法yk懸臂梁-質量模型剛度法(Stiffnessmetho理論力學知識的回顧：彈簧-振子模型-kyykm慣性力

（Inertiaforce）:與加速度的方向相反彈性力-ky（Elasticforce）：與位移方向相反約束反力和慣性力的平衡yO描述下其運動過程？yOk—剛度系數(shù)（Stiffnesscoefficient）：使彈簧發(fā)生單位變形時所需施加的力。理論力學知識的回顧：彈簧-振子模型-kyykm慣性力從力系平衡角度建立自由振動微分方程的方法稱為剛度法(Stiffnessmethod).k—剛度系數(shù)（Stiffnesscoefficient）：使結構發(fā)生單位位移時所施加的力。yk-kyyOyO從力系平衡角度建立自由振動微分方程的方法稱為剛度法(Sti

剛度法列運動方程的步驟建立體系的坐標系，確定坐標原點；取質量為隔離體，進行受力分析（需考慮慣性力）；列平衡方程；剛度法列運動方程的步驟建立體系的坐標系，確定坐標原點；OY建立圖示體系的豎向運動方程：重力的影響分析以平衡位置為坐標原點OykW以靜力平衡位置建立坐標，可不考慮重力的影響，總位移為動位移與靜位移之和。OY建立圖示體系的豎向運動方程：重力的影響分析以平衡位置為坐EImEI例1.用剛度法列體系的運動方程lmEIEIlP=1l單自由度體系運動方程的通用形式k=?，靜力學知識為基礎圖乘法EImyOEImEI例1.用剛度法列體系的運動方程lmEIEIlP=柔度法(Flexibilitymethod)F=1不同方法得到相同的表達式柔度的定義和物理意義？與剛度的關系？單位荷載引起的結構的變形ykkyO受力分析，求外力作用下體系的位移從柔度的概念出發(fā)，分析結構的變形，建立運動方程柔度法(Flexibilitymethod)F=1不同方

柔度法列運動方程的步驟在質量上沿位移方向施加慣性力；求外力（包括慣性力）引起的質量的位移；令該位移等于體系的位移；柔度法列運動方程的步驟在質量上沿位移方向施加慣性力；求例2.用柔度法建立體系的運動方程lmEIEIl圖乘法yOyP=1l例2.用柔度法建立體系的運動方程lmEIEIl圖乘法yOy柔度法步驟：1.在質量上沿位移正向加慣性力；2.求外力和慣性力引起的位移；3.令該位移等于體系位移。例3：用柔度法列運動方程=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步驟：例3：用柔度法列運動方程=1lmEIlEIl/2例4.求圖示體系的自振頻率和周期。=1解：mEIllm/2EIEIll自由度數(shù)判斷：1個例4.求圖示體系的自振頻率和周期。=1解：mEIllm/2E2.自由振動微分方程的解,

C1、C2為由初始條件確定的待定常數(shù)高等數(shù)學知識2.自由振動微分方程的解,C1、C2為由初始條件確定結構動力學計算課件振幅：Amplitude初始相位角：Initialphaseangle振幅：Amplitude初始相位角：Initialphas3.基本概念及其物理意義為質點重力沿振動方向作用時引起的質點靜位移圓頻率自振周期頻率在2π個單位時間內的振動次數(shù)，單位Rad/sy(t+T)=y(t)單位時間內的振動次數(shù)，單位s-1或者Hz3.基本概念及其物理意義為質點重力沿振動方向作用時引起的質結構自振周期的一些重要性質：⑴自振周期是結構固有特性，僅與結構的質量和剛度有關，與外界影響無關，外界擾動只能影響振幅，不能改變自振周期；⑵要改變結構的自振周期，只能從改變結構質量或剛度入手；⑶自振周期是結構動力性能的一個重要數(shù)量標志。結構自振周期的一些重要性質：例5.如圖所示等截面簡支梁，截面抗彎剛度EI，跨度為l。在梁的跨度中點有一個集中質量m。如果忽略梁本身的質量，試求梁的自振周期T和圓頻率ω。

mEIP=1EI例5.如圖所示等截面簡支梁，截面抗彎剛度EI，跨度為l。在例6.求圖示外伸梁的自振頻率，不計梁的質量。若在初始給質量一個初速度v0，求自由振動的響應（振幅和相位）

EIP=1m自由度個數(shù)判斷：1個自振頻率計算公式計算k或δ：靜力學知識初始條件：自由振動的響應為：例6.求圖示外伸梁的自振頻率，不計梁的質量。若在初始給質4.振動特征

VibrationCharacteristicDisplacementAccelerationInertiaForce

慣性力大小與位移成正比，且方向總是相同。注意：是與位移y(t)同向。4.振動特征VibrationCharacteris由于在運動的任一瞬時質體都處于平衡狀態(tài)，于是可在幅值處建立運動方程，此時方程中將不含時間t，把微分方程轉化為代數(shù)方程，使計算得以簡化。DisplacementInertiaForce

在無阻尼自由振動中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運動，即它們在同一時刻均達極值；由于在運動的任一瞬時質體都處于平衡狀態(tài)，于是可在幅值處建立例7.求圖示體系的自振頻率k單自由度體系列幅值方程時，最大慣性力應與位移方向相同例7.求圖示體系的自振頻率k單自由度體系列幅值方程時，最大Homework可不抄寫題目，但應標明題號，寫出詳細的求解過程。補充題：求圖示體系自振頻率。設梁端重物的質量為m，梁與彈簧的質量不計，并討論體系自振頻率隨彈簧彈性剛度k的變化規(guī)律。lEImk

10-310-410-5Homework可不抄寫題目，但應標明題號，寫出詳細的求解過m2mAy(t)2y(t)3y(t)練習1.列出體系的運動方程，并求自振頻率。m2mlllkA習題課yO方法1：根據(jù)受力分析，列運動方程單自由度體系運動方程通用形式m2mAy(t)2y(t)3y(t)練習1.列出體系的運m2mAA方法2：列幅值方程yO2A3A列運動方程時，慣性力是一個整體，其方向與位移同向；列幅值時，慣性力幅值其方向與位移同向。m2mAA方法2：列幅值方程yO2A3A列運動方程時，慣性層間側移剛度EImEIll對于帶剛性橫梁的剛架（剪切型剛架），當兩層之間發(fā)生相對單位水平位移時，兩層之間所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側移剛度。1EImEIEI畫彎矩圖？位移法層間側移剛度EImEIll對于帶剛性橫梁的IIEI1=

mhk練習2.計算圖示剛架的頻率和周期。

StiffnesscoefficientIIEI1=mhk練習2.計算圖示剛架的頻率和周期。S練習3：計算圖示結構水平振動和豎直振動時的自振頻率，自重忽略不計。練習3：計算圖示結構水平振動和豎直振動時的自振頻率，自重忽HorizontalVibration：Anti-symmetricalLoad+symmetricalStructure-----FlexibilityMethodHorizontalVibration：Anti-symmHorizontalVibration：-----StiffnessMethodP280HorizontalVibration：-----StifVerticalVibration：symmetricalLoad+symmetricalStructure-----FlexibilityMethodVerticalVibration：symmetricalVerticalVibration：-----StiffnessMethodSDOF的自振頻率采用柔度法和剛度法進行計算。一般來說，當結構為靜定，或超靜定次數(shù)較低，便于計算柔度系數(shù)時，采用柔度法；當超靜定次數(shù)較高，便于計算剛度系數(shù)時，則剛度法較為方便。如結構具有對稱性，可利用對稱性進行簡化計算。VerticalVibration：-----StiffP=1練習4.圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質量m，不考慮梁的質量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2ml/2l/2ml/2l/2mFlexibilityCoefficient:P=15l/323l/16l/2結構約束越強,其剛度越大，自振動頻率也越大。據(jù)此可得：P=1練習4.圖示三根單跨梁，EI為常數(shù)，在梁中點有集中質1θ練習5.求圖示結構的自振圓頻率解法1：求

kθ=1/hMBA=kh=MBCklhmI→∞EIBAC1h解法2：求

δ1θ練習5.求圖示結構的自振圓頻率解法1：求kθ=1/h練習6.求圖示結構的自振頻率lEImk1k11k11kStiffnesscoefficient彈簧串聯(lián)：每個彈簧承受的荷載相等，都等于外荷載。彈簧并聯(lián)：每個彈簧的變形相等。練習6.求圖示結構的自振頻率lEImk1k11k11kSt練習7.求圖示結構的自振頻率，梁的分布質量不計，支座的彈簧剛度系數(shù)為k。P=1δ1P=1l/2l/4關鍵：柔度系數(shù)，柔度系數(shù)的概念沿W的振動方向施加單位力，位移δ由兩部分組成：由于彈性支座變形產(chǎn)生的δ1和由于桿件變形產(chǎn)生的δ2。（1）求δ1：只有彈簧變形，桿件不變形（2）求δ2：只有桿件變形，彈簧不變形Wl0.5l0.5lBCAEIkΔRB練習7.求圖示結構的自振頻率，梁的分布質量不計，支座的彈簧練習8.求圖示結構的自振頻率1有幾個自由度？m/2lEIm