《數(shù)學(xué)競(jìng)賽》-第五章-幾何省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第五章幾何§5.2

幾個(gè)主要定理第1頁(yè)9/13/20231§5.2

幾個(gè)主要定理第2頁(yè)9/13/20232§5.2

幾個(gè)主要定理第3頁(yè)9/13/20233§5.2

幾個(gè)主要定理例1：證實(shí)：在三角形中，（1）三條中線交于一點(diǎn)（重心）；（2）三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）；（3）三條邊中垂線交于一點(diǎn)（外心）；（4）三條高交于一點(diǎn)（垂心）第4頁(yè)9/13/20234§5.2

幾個(gè)主要定理例2：在△ABC中，設(shè)三邊BC、CA、AB分別與三角形內(nèi)切圓相切于X、Y、Z，證實(shí)：AX、BY、CZ交于一點(diǎn)（葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)).第5頁(yè)9/13/20235§5.2

幾個(gè)主要定理例3：如圖5.2.2，過△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C作它外接圓切線，分別和BC、CA、AB延長(zhǎng)線交于P,Q，R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線（萊莫恩（Lemoine）線).見書本P191.例1第6頁(yè)9/13/20236§5.2

幾個(gè)主要定理例2：在△ABC中，設(shè)三邊BC、CA、AB分別與三角形內(nèi)切圓相切于X、Y、Z，證實(shí)：AX、BY、CZ交于一點(diǎn)（葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)).例3：如圖5.2.2，過△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C作它外接圓切線，分別和BC、CA、AB延長(zhǎng)線交于P,Q，R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線（萊莫恩（Lemoine）線).笛沙格（Desargues）定理

第7頁(yè)9/13/20237例4：設(shè)AD是△ABC高，P為AD上一點(diǎn)，BP、CP延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、F（圖5.2.7）。證實(shí)：AD平分∠EDF．§5.2

幾個(gè)主要定理見書本P195.例5NM證法1：利用Ceva定理第8頁(yè)9/13/20238例4：設(shè)AD是△ABC高，P為AD上一點(diǎn)，BP、CP延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、F（圖5.2.7）。證實(shí)：AD平分∠EDF．§5.2

幾個(gè)主要定理見書本P195.例5證法2：Q完全四邊形調(diào)和性第9頁(yè)9/13/20239§5.2

幾個(gè)主要定理第10頁(yè)10例5：等邊三角形外接圓周上任一點(diǎn)到三頂點(diǎn)連線中，最長(zhǎng)等于其余兩線和.即：證實(shí)AP=BP+PC§5.2

幾個(gè)主要定理D證法1：延長(zhǎng)BP至D使PD=PC，連CD.然后證實(shí)AP=BD.證實(shí)△ACP≌△BCD.第11頁(yè)9/13/202311例5：等邊三角形外接圓周上任一點(diǎn)到三頂點(diǎn)連線中，最長(zhǎng)等于其余兩線和.即：證實(shí)AP=BP+PC§5.2

幾個(gè)主要定理C’證實(shí)△ABC’≌△CBP.證法2：在AP上取一點(diǎn)C’，使PC’=BP，連BC’.然后證實(shí)AC’=PC.第12頁(yè)9/13/202312例5：等邊三角形外接圓周上任一點(diǎn)到三頂點(diǎn)連線中，最長(zhǎng)等于其余兩線和.即：證實(shí)AP=BP+PC§5.2

幾個(gè)主要定理證法3(托勒密定理)：BC·AP=AC·BP+AB·PC，所以AP=BP+PC第13頁(yè)9/13/202313§5.2

幾個(gè)主要定理=222一第14頁(yè)9/13/202314§5.2

幾個(gè)主要定理五、西姆松（Simson

）定理三角形外接圓周上任意一點(diǎn)在三邊（所在直線）上射影共線.12證法一：只需證∠1+∠2=180°證法二：應(yīng)用Menelaus定理第15頁(yè)9/13/202315第16頁(yè)9/13/202316Menelaus定理第17頁(yè)9/13/202317

改述為：如圖，△ABC中，E、F分別是AC、AB上點(diǎn)，且EF∥BC．BE與CF交于點(diǎn)O，AO交BC于D，求證：BD=DC.第18頁(yè)9/13/202318

改述為：如圖，△ABC中，E、F分別是AC、AB上點(diǎn)，且EF∥BC．BE與CF交于點(diǎn)O，AO交BC于D，求證：BD=DC.P∞。(BC,DP∞)=-1BD=DC第19頁(yè)9/13/202319§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題一、共圓點(diǎn)問題證實(shí)四點(diǎn)共圓，通慣用以下方法：（1）證諸點(diǎn)到一定點(diǎn)距離相等（圓定義）（2）證實(shí)ＡＢＣＤ是圓內(nèi)接四邊形（或證對(duì)角互補(bǔ)，或證某兩點(diǎn)視另兩點(diǎn)連線段視角相等，當(dāng)然這兩點(diǎn)要在這線段同側(cè)）（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，證實(shí)ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ（4）直徑所對(duì)圓周角是直角：假如其中某兩點(diǎn)連線段為直徑，可證實(shí)其余點(diǎn)對(duì)這線段視角均為直角．第20頁(yè)9/13/202320§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題一、共圓點(diǎn)問題例１．經(jīng)過圓內(nèi)接四邊形一頂點(diǎn)和鄰接二邊中點(diǎn)作圓，證實(shí)這四圓共點(diǎn)．設(shè)O是四邊形外心，則OM⊥AB，ON⊥AD,所以，A、M、O、N共圓。第21頁(yè)9/13/202321§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題一、共圓點(diǎn)問題例2．密克（Miquel

）定理：在△ＡＢＣ三邊ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直線上分別取Ｘ，Ｙ，Ｚ三點(diǎn)，則⊙ＡＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ三個(gè)圓共點(diǎn).ＡＢＣＸＹＺＭ123第22頁(yè)9/13/202322例3見書本P204.例1第23頁(yè)9/13/202323第24頁(yè)24§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題一、共圓點(diǎn)問題例4：三角形三邊中點(diǎn)，三垂足，垂心與三頂點(diǎn)連線段中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓，稱為這三角形九點(diǎn)圓．如圖：Ｌ，Ｍ，Ｎ設(shè)是△ＡＢＣ三邊中點(diǎn)，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ中點(diǎn)則Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒ九點(diǎn)共圓九點(diǎn)圓定理第25頁(yè)9/13/202325§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題一、共圓點(diǎn)問題九點(diǎn)圓定理九點(diǎn)圓性質(zhì)三角形九點(diǎn)圓半徑是三角形外接圓半徑二分之一；三角形九點(diǎn)圓心、外心、重心、垂心四心共線（歐拉線）；三角形外心，重心，九點(diǎn)圓圓心，垂心分別為Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，則ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2︰1︰３第26頁(yè)9/13/202326§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題一、共圓點(diǎn)問題三角形外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心分別為Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，則ＯＧ︰ＧＫ︰ＫＨ＝2︰1︰３第27頁(yè)9/13/202327見書本P205.例3第28頁(yè)9/13/202328§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題二、共線點(diǎn)問題證實(shí)三點(diǎn)（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共線方法：1.利用平角：證實(shí)∠XYZ=180°（或0°）2.證實(shí)ＸＹ與ＸＺ平行于同一條直線；證實(shí)Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直線上；證實(shí)ＸＺ和某定直線交點(diǎn)就是Ｙ3.利用已知共線點(diǎn)定理（如歐拉線、西姆松線等）4.應(yīng)用Menelaus定理5.利用位似形性質(zhì)——對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過位似中心6.利用射影幾何相關(guān)定理：德薩格（Desargues）定理、帕普斯（Pappus）定理、帕斯卡（Pascal）定理等☆第29頁(yè)9/13/202329見書本P207第30頁(yè)9/13/202330證法二：利用二次曲線極與極線.N例6：在△ＡＢＣ中以ＢＣ為直徑圓交ＡＢ，ＡＣ于Ｆ，Ｅ，求證：圓在Ｅ，Ｆ切線與高線ＡＤ共點(diǎn)．分析一：設(shè)過E點(diǎn)切線交AD于M，易證圖中三個(gè)角相等，則ME=MH=MA.連FM，須證FM是圓切線作F點(diǎn)半徑FO，只需證FO⊥FMO123結(jié)論為三線共點(diǎn)，注意到E、F切線就是

E、F極線.AD又是誰極線？假如找到AD極，可利用“共線點(diǎn)極線共點(diǎn)”證實(shí)之.第31頁(yè)9/13/202331NHFDEABCPQ“共線點(diǎn)極線共點(diǎn)”“共點(diǎn)線極共線”PQH——AP極——AQ極——AN極第32頁(yè)9/13/202332NHFDEABCPQNPQHFEABC條件“BC為直徑、H是垂心”有用么？D第33頁(yè)9/13/202333NHFDEABCPQNHFDEABCPQ圓也能夠換.第34頁(yè)9/13/202334§5.3

幾個(gè)經(jīng)典幾何問題三、共點(diǎn)線問題證實(shí)三線共點(diǎn)方法：1.轉(zhuǎn)化為共線點(diǎn)問題來證實(shí)2.利用已知共點(diǎn)線定理（如外心、內(nèi)心、重心、垂心等）3.應(yīng)用Ceva定理4.利用位似形性質(zhì)——對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過位似中心5.利用射影幾何相關(guān)定理：德薩格（Desargues）定理、布利安雙（Brianchon）定理等6.解析法☆第35頁(yè)9/13/202335例（牛頓定理）.求證:圓外切四邊形對(duì)邊切點(diǎn)連線與對(duì)角線四線交于一點(diǎn).第36頁(yè)9/13/202336習(xí)題5.34.三圓兩兩相交，則三條公共弦所在直線平行或交于一點(diǎn).O1O2O3PF2F1第37頁(yè)9/13/202337習(xí)題5.38.AB是半圓O直徑，過A、B引弦AC、BD，并過C、D引圓O切線交于點(diǎn)P.過P作PE⊥AB于E，則A