微分方程的基本概念省名師優(yōu)質課獲獎課件市賽課一等獎課件

第十章微分方程第1頁1微分方程第十章—積分問題—微分方程問題

推廣第2頁2引例1.

一曲線經過點(1,2),在該曲線上任意點處解:設所求曲線方程為y=y(x),則有以下關系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,所以所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線方程.一、引例第3頁3引例2.列車在平直路上以速度行駛,制動時取得加速度求制動后列車運動規(guī)律.解:設列車在制動后

t

秒行駛了s

米,由已知得由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得所以所求運動規(guī)律為說明:利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住,以及制動后行駛了多少旅程.即求

s

=s(t).第4頁41.微分方程：含未知函數(shù)及其導數(shù)方程叫做微分方程.二、微分方程基本概念實質：聯(lián)絡自變量，未知函數(shù)及其導數(shù)式子.區(qū)分：與以往學習代數(shù)方程區(qū)分是：代數(shù)方程是含未知數(shù)等式，微分方程是含未知函數(shù)及其導數(shù)等式.常微分方程：所含未知函數(shù)是一元函數(shù).偏微分方程注：本章只討論常微分方程分類2.微分方程階：方程中所含未知函數(shù)導數(shù)最高階數(shù)叫做微分方程階.第5頁5三、微分方程主要問題-----求方程解—使方程成為恒等式函數(shù).通解—解中所含獨立任意常數(shù)個數(shù)與方程階數(shù)相同.特解1.微分方程解

—通解中任意常數(shù)被確定后解.引例2引例1通解:特解:第6頁6—確定通解中任意常數(shù)條件.n階方程初始條件(或初值條件):2.定解條件

過定點積分曲線;一階:二階:過定點且在定點切線斜率為定值積分曲線.初值問題:

求微分方程滿足初始條件解問題.第7頁73.解幾何意義解:

積分曲線.特解:

微分方程一條積分曲線.通解:

積分曲線族.引例2引例1通解:特解:第8頁8例1.驗證函數(shù)是微分方程解,特解.解:

這說明是方程解.是兩個獨立任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程通解.并求滿足初始條件第9頁9第二節(jié)一階微分方程1.可分離變量微分方程兩邊積分,得第10頁10(2)解法：為微分方程解.這種解法叫分離變量法1.分離變量:2.兩邊積分分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.第11頁11例1.求微分方程通解.解:分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))或說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,所以可能增、減解.(此式含分離變量時丟失解y=0)第12頁12注意:例2.解初值問題解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù))故所求特解為第13頁13求所滿足微分方程.例3.已知曲線上點P(x,y)處法線與x軸交點為Q解:

如圖所表示,設所求曲線方程為y=f(x).令Y=0,得Q點橫坐標即則點P(x,y)處法線方程為且線段PQ被y軸平分,第14頁14練習:解法1

分離變量即(C<0

)解法2故有兩邊積分(C為任意常數(shù))所求通解:兩邊積分得第15頁152.齊次微分方程(1)定義：形如方程叫做齊次方程.(2)解法:-----變量代換法令代入原方程得：即則即求此可分離變量方程解，并回代第16頁16例1求解微分方程故微分方程解為解原方程可變?yōu)椋杭磩t即第17頁17例1求解微分方程微分方程解為另解原方程可變?yōu)椋杭醇磩t即第18頁18例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:顯然

x=0,y=0,y=x也是原方程解,但在(C為任意常數(shù))求解過程中丟失了.第19頁19例3求解微分方程解則于是即分離變量得積分得將代入上面式子得：注意：方程可用將其化為可分離變量方程.代換，形如第20頁20例4已知曲線積分與路徑無關,其中求由確定隱函數(shù)解:因積分與路徑無關,故有即所以有第21頁21內容小結1.微分方程概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程求解方法:說明:通解不一定是方程全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.比如,方程解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.第22頁22微分方程解法