安徽省六安市壽縣一中高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年安徽省六安市壽縣一中高三（上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科)一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A={0，l,3}，B={x｜x2﹣3x=0}，則A∩B=（)A．{0｝ B．{0，1｝ C．｛0,3｝ D．{0,1,3}2．已知z=（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i3．sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°等于（）A． B． C． D．4．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（)A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=2,則a=()A．2 B． C．3 D．6．已知{an}為等差數(shù)列,a1+a3+a5=156,a2+a4+a6=147，｛an｝的前n項和為Sn,則使得Sn達(dá)到最大值時n是（）A．19 B．20 C．21 D．227．若變量x，y滿足約束條件，則z=的最小值為（)A．0 B．1 C．2 D．38．如圖,在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為(）A．2 B．3 C．4 D．59．已知向量，若向量的夾角為φ，則有（）A．φ=θ B．φ=π﹣θ C．φ=θ﹣π D．φ=θ﹣2π10．對于使不等式f(x）≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值叫做函數(shù)f（x)的上確界．若a，b∈R+，a+b=1，則的上確界為（）A． B． C． D．﹣411．直線x=t分別與函數(shù)f(x)=ex+1的圖象及g（x）=2x﹣1的圖象相交于點A和點B,則｜AB|的最小值為（）A．2 B．3 C．4﹣2ln2 D．3﹣2ln212．已知函數(shù)f（x）=，則關(guān)于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的實數(shù)根的個數(shù)為()A．2 B．3 C．6 D．7二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．不等式≤1的解集是．14．已知正方形ABCD邊長為1，，則=．15．若等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=．16．對任意實數(shù)x均有e2x﹣（a﹣3)ex+4﹣3a＞0,則實數(shù)a的取值范圍為．三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．已知函數(shù)f（x)=2cosx（sinx﹣cosx）+1．（1）求函數(shù)f（x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;（2）△ABC中,銳角A滿足f（A）=1，b=，c=3，求a的值．18．設(shè)數(shù)列｛an}滿足a1=2，an+1=2an﹣n+1，n∈N＊．（1）證明：數(shù)列{an﹣n}為等比數(shù)列,并求{an｝的通項公式；（2）若數(shù)列bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．19．解關(guān)于x的不等式ax2﹣(a+1)x+1＞0（a為常數(shù)且a≠0）．20．某化工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑,經(jīng)市場調(diào)查得知,生產(chǎn)這批試劑廠家的生產(chǎn)成本有以下三個方面：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的平均費用是每單位（x+﹣30）元（試劑的總產(chǎn)量為x單位,50≤x≤200）．（Ⅰ）把生產(chǎn)每單位試劑的成本表示為x的函數(shù)關(guān)系P（x），并求出P(x)的最小值；（Ⅱ）如果產(chǎn)品全部賣出，據(jù)測算銷售額Q（x）（元）關(guān)于產(chǎn)量x（單位)的函數(shù)關(guān)系為Q（x)=1240x﹣x3，試問：當(dāng)產(chǎn)量為多少時生產(chǎn)這批試劑的利潤最高？21．已知函數(shù)f（x)=xlnx﹣ax2﹣x．(1）當(dāng)a=時，證明：f（x）在定義域上為減函數(shù)；（2）若a∈R，討論函數(shù)f（x）的零點情況．請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-1：幾何證明選講]22．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E,AB=2AC．(Ⅰ)求證：BE=2AD；(Ⅱ）當(dāng)AC=1，EC=2時，求AD的長．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）,在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin（θ+)=2．（Ⅰ）求曲線C在極坐標(biāo)系中的方程；（Ⅱ)求直線l被曲線C截得的弦長．［選修4—5：不等式選講]24．已知函數(shù)f(x）=｜2x+1|﹣｜x｜﹣2（Ⅰ）解不等式f(x）≥0(Ⅱ）若存在實數(shù)x，使得f（x）≤｜x|+a，求實數(shù)a的取值范圍．

2016—2017學(xué)年安徽省六安市壽縣一中高三(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A=｛0，l，3｝，B=｛x｜x2﹣3x=0｝，則A∩B=（）A．{0} B．｛0,1} C．｛0，3} D．{0，1，3}【考點】交集及其運算．【分析】求出B中方程的解確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中方程變形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3｝,∵A=｛0，1，3},∴A∩B=｛0,3｝，故選：C．2．已知z=(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=(）A．﹣1 B．l C．i D．﹣i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：z==．故選：C．3．sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°等于（）A． B． C． D．【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡后即可得答案．【解答】解:sin18°?sin78°﹣cos162°?cos78°=sin18°?cos12°+cos18°?sin12°=sin30°=，故選：D．4．“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2,或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要條件．故選：B．5．△ABC的角A，B,C所對的邊分別為a，b，c，若cosA=，c﹣a=2，b=2，則a=()A．2 B． C．3 D．【考點】余弦定理．【分析】利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2=22+（a+2）2﹣2×2×（a+2)×，解得a=2,故選:A．6．已知｛an｝為等差數(shù)列，a1+a3+a5=156,a2+a4+a6=147，｛an}的前n項和為Sn，則使得Sn達(dá)到最大值時n是（)A．19 B．20 C．21 D．22【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】根據(jù)題意求出首項與公差，寫出通項公式，再求前n項和取得最大值時n的值．【解答】解：設(shè)｛an}的公差為d，由題意得：a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=156，即a1+2d=52，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=147,即a1+3d=49,②由①②聯(lián)立得a1=58,d=﹣3,∴通項公式為an=58﹣3（n﹣1）=61﹣3n，n∈N*；當(dāng)n≤20時,an＞0，n＞20時，an＜0，∴當(dāng)n=20時,Sn達(dá)到最大值．故選：B．7．若變量x,y滿足約束條件，則z=的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】首先由約束條件畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最小值．【解答】解：已知得到可行域如圖:z==1+2×的幾何意義是表示區(qū)域內(nèi)的點與原點連接直線的斜率的2倍加上1,由圖可知，直線OA的斜率最小，所以z=的最小值為1+2×=2；故選C．8．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】分析三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的形狀,并求出面積,相加可得答案．【解答】解:三棱錐P﹣BCD的正視圖是底面邊長為1,高為2的三角形，面積為：1；三棱錐P﹣BCD的假視圖也是底面邊長為1，高為2的三角形，面積為：1；故三棱錐P﹣BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為2，故選：A9．已知向量，若向量的夾角為φ,則有（）A．φ=θ B．φ=π﹣θ C．φ=θ﹣π D．φ=θ﹣2π【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)向量的夾角公式和兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式，再根據(jù)向量的夾角的范圍即可求出．【解答】解：∵向量，∴｜｜==1，｜｜=1，=﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos(π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π)，∵θ∈(π,2π）,∴θ﹣π∈(0,π），∴φ=θ﹣π,故選：C．10．對于使不等式f（x）≤M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值叫做函數(shù)f(x）的上確界．若a，b∈R+，a+b=1，則的上確界為（）A． B． C． D．﹣4【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】由題意可知，當(dāng)a，b∈R+，a+b=1時，求出的最大值即可，利用1的整體代換構(gòu)造積為定值．【解答】解：則=﹣（=﹣（）=﹣(）≤﹣．（當(dāng)且僅當(dāng)a：b=時取到等號）故選：A．11．直線x=t分別與函數(shù)f(x）=ex+1的圖象及g（x）=2x﹣1的圖象相交于點A和點B，則｜AB|的最小值為（）A．2 B．3 C．4﹣2ln2 D．3﹣2ln2【考點】兩點間距離公式的應(yīng)用．【分析】設(shè)函數(shù)y=f(x)﹣g（x)，利用導(dǎo)數(shù)y′判定函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求出|AB|的最小值．【解答】解:設(shè)函數(shù)y=f(x）﹣g（x）=ex+1﹣(2x﹣1)，則y′=ex﹣2，由y′＞0，得x＞ln2，由y′＜0，得x＜ln2，∴當(dāng)x=ln2時，y=f（x）﹣g（x）ex+1﹣（2x﹣1）取得最小值,為eln2+1﹣（2ln2﹣1）=4﹣2ln2；∴|AB｜的最小值為4﹣2ln2．故選：C．12．已知函數(shù)f（x)=,則關(guān)于x的方程f2（x）﹣5（f（x)+4=0的實數(shù)根的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．6 D．7【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】求出f（x）的值，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象判斷根的個數(shù)．【解答】解：∵f2(x）﹣5（f（x）+4=0,∴f（x）=4或f（x）=1．做出f（x）的函數(shù)圖象如下：由圖象可知方程f（x）=4有3個根,方程f（x）=4有4個根，∴方程f2(x）﹣5（f（x)+4=0的實數(shù)根共有7個．故選D．二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分,滿分20分，將答案填在答題紙上）13．不等式≤1的解集是（﹣∞，2）∪［3,+∞)．【考點】其他不等式的解法．【分析】首先通過移項通分將不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式，然后求整式不等式的解集．【解答】解：原式等價于即所以不等式的解集為(﹣∞，2）∪[3,+∞)；故答案為：（﹣∞，2）∪[3，+∞）;14．已知正方形ABCD邊長為1，，則=2．【考點】向量的模．【分析】由題意可得=0，＜，＞=＜，＞=135°，||=||=1，||=，根據(jù)=，利用兩個向量的數(shù)量積的定義運算求得結(jié)果．【解答】解：由題意可得，＜，＞=135°=＜,＞，即=0，＜，＞=＜，＞=135°．再由｜|=||=1，||=可得====2,故答案為2．15．若等比數(shù)列｛an}的各項均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=50．【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】直接由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知得到a10a11=e5,然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡后得答案．【解答】解：∵數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴l(xiāng)na1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln(e5)10=lne50=50．故答案為：50．16．對任意實數(shù)x均有e2x﹣（a﹣3）ex+4﹣3a＞0,則實數(shù)a的取值范圍為a≤．【考點】函數(shù)恒成立問題；對勾函數(shù)．【分析】分離參數(shù)，再求右邊的范圍，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，a＜．令t=ex+3（t＞3），則=t+﹣3,∵t＞3，∴t+＞3+，∴t+﹣3＞，∴a≤．故答案為：a≤．三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx﹣cosx)+1．(1）求函數(shù)f（x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）△ABC中，銳角A滿足f（A）=1，b=，c=3，求a的值．【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出揭露．（2)由f(A)=sin（2A﹣）=1，求得sin（2A﹣）的值,可得A的值，再利用余弦定理求得a的值．【解答】解:(Ⅰ）∵，∴f（x）的最小正周期為π．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．(2)△ABC中,銳角A滿足f（A）=sin（2A﹣)=1，∴sin(2A﹣)=,又∵A是銳角，∴，∴．∵b=，c=3,由余弦定理得,∴．18．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an﹣n+1,n∈N＊．（1）證明：數(shù)列{an﹣n｝為等比數(shù)列，并求｛an｝的通項公式；（2）若數(shù)列bn=，求數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn．【考點】數(shù)列的求和;等比數(shù)列的通項公式．【分析】（1)由已知得an+1﹣（n+1）=2an﹣n+1﹣（n+1）=2（an﹣n），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．（2)bn===,利用“裂項求和”即可得出．【解答】（1）證明：由已知得an+1﹣（n+1）=2an﹣n+1﹣（n+1)=2(an﹣n），即,∴數(shù)列{an﹣n}為等比數(shù)列，公比為2，首項為a1﹣1=1,∴，∴．（2）解：bn===，∴Sn=++…+=1﹣=．19．解關(guān)于x的不等式ax2﹣(a+1）x+1＞0（a為常數(shù)且a≠0）．【考點】一元二次不等式的解法．【分析】不等式ax2﹣（a+1)x+1＞0可化為a（x﹣）（x﹣1）＞0;討論(1)a＜0和（2)a＞0時，求出對應(yīng)不等式的解集．【解答】解：不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0可化為a（x﹣）（x﹣1)＞0;（1）a＜0時,不等式化為（x﹣）（x﹣1）＜0，且＜1；所以不等式的解集為；（2)a＞0時，不等式化為（x﹣）（x﹣1）＞0；若0＜a＜1，則，不等式的解集為；若a=1，則=1，不等式的解集為（﹣∞，1)∪（1，+∞)；若a＞1,則，不等式的解集為．20．某化工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑,經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑廠家的生產(chǎn)成本有以下三個方面：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補貼20元組成;③后續(xù)保養(yǎng)的平均費用是每單位(x+﹣30）元（試劑的總產(chǎn)量為x單位，50≤x≤200)．(Ⅰ）把生產(chǎn)每單位試劑的成本表示為x的函數(shù)關(guān)系P（x），并求出P（x)的最小值;(Ⅱ）如果產(chǎn)品全部賣出,據(jù)測算銷售額Q（x)(元）關(guān)于產(chǎn)量x（單位）的函數(shù)關(guān)系為Q(x)=1240x﹣x3，試問:當(dāng)產(chǎn)量為多少時生產(chǎn)這批試劑的利潤最高?【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【分析】（Ⅰ）根據(jù)生產(chǎn)這批試劑廠家的生產(chǎn)成本有三個方面，可得函數(shù)關(guān)系P(x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生產(chǎn)這批試劑的利潤L(x）=1240x﹣x3﹣(x2+40x+8100），利用導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ)P（x）=［50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40,∵50≤x≤200，∴x=90時,P(x）的最小值為220元；（Ⅱ）生產(chǎn)這批試劑的利潤L(x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100)，∴L′(x）=1200﹣x2﹣2x=﹣(x+120）（x﹣100）,∴50≤x＜100時，L′（x）＞0，100＜x≤200時，L′(x）＜0，∴x=100時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，即產(chǎn)量為100單位時生產(chǎn)這批試劑的利潤最高．21．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣ax2﹣x．（1）當(dāng)a=時，證明：f（x）在定義域上為減函數(shù)；（2)若a∈R，討論函數(shù)f(x）的零點情況．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理．【分析】（1）將a的值代入f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2）問題轉(zhuǎn)化為方程xlnx﹣ax2﹣x=0的根情況,由x＞0,得到方程可化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：（1)由題意可知函數(shù)f(x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，令g（x）=lnx﹣x，則，當(dāng)0＜x＜1時，g′（x)＞0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0，所以g(x）max=g（1）=﹣1，即g（x)=lnx﹣x＜0，所以f′(x）＜0,所以f(x）在定義域上為減函數(shù)．(2）f（x）=xlnx﹣ax2﹣x的零點情況，即方程xlnx﹣ax2﹣x=0的根情況，因為x＞0，所以方程可化為，令，則,令h′(x）=0，可得x=e2，當(dāng)0＜x＜e2時，h′（x）＞0，當(dāng)x＞e2時，h′（x）＜0,所以，且當(dāng)x→0時,f（x）→﹣∞；當(dāng)x＞e2時，h（x）＞0，所以h（x）的圖象大致如圖示：，當(dāng)a＞時,方程a=沒有根，當(dāng)a=或a≤0時，方程有一個根，當(dāng)時，方程有兩個根,所以當(dāng)時，函數(shù)f（x）無零點，當(dāng)或a≤0時，函數(shù)f（x）有一個零點,當(dāng)時，函數(shù)f(x)有兩個零點．請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-1：幾何證明選講］22．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線,△ACD的外接圓交BC于點E，AB=2AC．（Ⅰ）求證:BE=2AD；（Ⅱ）當(dāng)AC=1，EC=2時，求AD的長．【考點】圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定．【分析】（Ⅰ）利用圓的內(nèi)接四邊形得到三角形相似，進(jìn)一步得到線段成比例，最后求出結(jié)果．(Ⅱ）利用上步的結(jié)論和割線定理求出結(jié)果．【解答】證明：(Ⅰ）連接DE，由于四邊形DECA是圓的內(nèi)接四邊形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角,則：△BDE∽△BCA．則:，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分線，所以：AD=DE，則：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割線定理得:BD?AB=BE?BC，由于:BE=2AD，設(shè)AD=t，則:2(2﹣t）=（2+