高一數(shù)學(xué),三角函數(shù)任意角和弧度,(學(xué)生版)

PAGEPAGE11———————————————————————————————————————————————————任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)興趣導(dǎo)入（Topic-in）:.弟弟上歷史課的時(shí)候，老師問他：“路易十四是誰？”

他答：“路易十四不就是路易十加路易四嗎！”

老師聽后沒好氣地說道：“你怎么不說是路易七乘路易二呢？”

哪知道弟弟不假思索便說：“老師，從數(shù)學(xué)上來說，路易七乘路易二應(yīng)是路易平方十四，因此你錯(cuò)了?！?/p>

弄得老師哭笑不得。學(xué)前測(cè)試(Testing):1．(人教A版教材習(xí)題改編)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在()．A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限3．若sinα＜0且tanα＞0，則α是()．A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．已知角α的終邊過點(diǎn)(－1,2)，則cosα的值為()．A．－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(2\r(5),5)D．－eq\f(1,2)5．(2011·江西)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.知識(shí)講解(Teaching)：1．任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制，比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．④弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.2、角度與弧度之間的互化（1）將角度化為弧度radradrad（2）將弧度化為角度（3）需記住的幾個(gè)特殊角的弧度數(shù)度弧度度弧度例1：弧度化為角度是（），是（）象限角。A、，二B、，二C、，二D、，二例2：把化成角度。3．任意角的三角函數(shù)定義設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．4．三角函數(shù)線設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過P作PM垂直于x軸于M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與α的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T，則tanα＝AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線四、強(qiáng)化練習(xí)(Training)考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】?(1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角；(3)已知角α是第二象限角，試確定2α、eq\f(α,2)所在的象限．【訓(xùn)練1】角α與角β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)考向二三角函數(shù)的定義【例2】?已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，試判斷角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【訓(xùn)練2】(2011·課標(biāo)全國)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()．A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)考向三弧度制的應(yīng)用【例3】?已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10.(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.【訓(xùn)練3】已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？考向四三角函數(shù)線及其應(yīng)用【例4】?在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).【訓(xùn)練4】求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\r(2cosx－1)；(2)y＝lg(3－4sin2x)．規(guī)范解答7——如何利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值【問題研究】三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意角，其終邊上任一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重合)的坐標(biāo)為(x，y)，它到原點(diǎn)的距離是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0)，則sinα＝eq\f(y,r)、cosα＝eq\f(x,r)、tanα＝eq\f(y,x)分別是α的正弦、余弦、正切，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為三角函數(shù)，這里x，y的符號(hào)由α終邊所在象限確定，r的符號(hào)始終為正，應(yīng)用定義法解題時(shí)，要注意符號(hào)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．三角函數(shù)的定義在解決問題中應(yīng)用廣泛，并且有時(shí)可以簡(jiǎn)化解題過程．【解決方案】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)定義正確地求得x，y，r的值；然后對(duì)于含參數(shù)問題要注意分類討論．【示例】?(本題滿分12分)(2011·龍巖月考)已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，－eq\r(2))(x≠0)，且cosα＝eq\f(\r(3),6)x，求sinα、tanα的值．【試一試】已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋eq\f(4,5)tanα.訓(xùn)練輔導(dǎo)(Tutor):已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝______.2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(4,5)，則cosα＝____.3．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)開_______．4、已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C5、在“①160°②480°③-960°④-1600°”這四個(gè)角中，屬于第二象限的角是()A.① B.①② C.①②③ D.①②③④6、若α是第一象限的角，則是()A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角7、下列結(jié)論中正確的是()A.小于90°的角是銳角 B.第二象限的角是鈍角C.相等的角終邊一定相同 D.終邊相同的角一定相等8、角α的終邊落在y=-x(x＞0)上，則sinα的值等于()A.- B. C.± D.±反思總結(jié)(Thinking)：堂堂清落地訓(xùn)練（5-10分鐘的測(cè)試卷，堅(jiān)持堂堂清，學(xué)習(xí)很爽心）1、下列角中終邊與330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°2、－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3、把－1485°轉(zhuǎn)化為α＋k·360°（0°≤α＜360°,k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°4、終邊在第二象限的角的集合可以表示為：（）