2020中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 專題22 等腰三角形

等腰三角形一.選擇題1.（2020年遼寧省遼陽市）4．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B.既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2.（2020?河南省?3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．6 D．3【分析】連接BD交AC于O，根據(jù)已知條件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四邊形ABCD的面積＝2×＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.（2020?貴州省銅仁市?4分）已知等邊三角形一邊上的高為2，則它的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三線合一，利用勾股定理可求解即可．【解答】解：根據(jù)等邊三角形：三線合一，設(shè)它的邊長(zhǎng)為x，可得：，解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），故選：C．4.（2020?河北省?3分）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR【分析】由以點(diǎn)O為位似中心，確定出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則OC＝，OM＝2，OD＝，OB＝，OA＝，OR＝，OQ＝2，OP＝2，OH＝3，ON＝2，由＝2，得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則OC＝＝，OM＝＝2，OD＝，OB＝＝，OA＝＝，OR＝＝，OQ＝2，OP＝＝2，OH＝＝3，ON＝＝2，∵＝＝2，∴點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，∴以點(diǎn)O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握位似中心，找出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M是解題的關(guān)鍵．5.(2020?江蘇省無錫市?3分)如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝，線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，PQ＝，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為；④四邊形PCDQ周長(zhǎng)的最小值為3+．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為()A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【分析】①利用圖象法判斷即可．②當(dāng)∠ADQ＝∠CPB時(shí)，△ADQ∽△BPC．③設(shè)AQ＝x，則四邊形PCDQ的面積＝×32－×x××－×3×(3－x－)×＝+x，當(dāng)x取最大值時(shí)，可得結(jié)論．④如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，連接CF交AB于點(diǎn)P′，此時(shí)四邊形P′CD′Q′的周長(zhǎng)最?。蟪鯟F的長(zhǎng)即可判斷．【解答】解：①利用圖象法可知PC＞DQ，故①錯(cuò)誤．②∵∠A＝∠B＝60°，∴當(dāng)∠ADQ＝∠CPB時(shí)，△ADQ∽△BPC，故②正確．③設(shè)AQ＝x，則四邊形PCDQ的面積＝×32－×x××－×3×(3－x－)×＝+x，∵x的最大值為3－＝，∴x＝時(shí)，四邊形PCDQ的面積最大，最大值＝，故③正確，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，連接CF交AB于點(diǎn)P′，此時(shí)四邊形P′CD′Q′的周長(zhǎng)最?。^點(diǎn)C作CH⊥D′F交D′F的延長(zhǎng)線于H，交AB于J．由題意，DD′＝2AD?sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，F(xiàn)H＝－－＝，∴CH＝CJ+HJ＝，∴CF＝＝＝，∴四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)的最小值＝3+，故④錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．二.填空題1.（2020?貴州省貴陽市?4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，若DA＝EB，則∠DOE的度數(shù)是120度．【分析】連接OA，OB，根據(jù)已知條件得到∠AOB＝120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DOA＝∠BOE，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接OA，OB，∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°，故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2.（2020?貴州省貴陽市?4分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，BD＝8，AC＝11，則邊BC的長(zhǎng)為4．【分析】延長(zhǎng)BD到F，使得DF＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理即可求出答案．【解答】解：延長(zhǎng)BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，過點(diǎn)C點(diǎn)作CH∥AB，交BF于點(diǎn)H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC＝＝4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．3.（2020年濱州市）14．（5分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠A的大小為80°．【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等可求∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案為：80°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)．4.（2020?江蘇省常州市?2分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交BC.AB于點(diǎn)E.F．若△AFC是等邊三角形，則∠B＝30°．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC＝60°，從而可得∠B的度數(shù)．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠BCF．5.（2020?江蘇省淮安市?3分）如圖，等腰△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，AC＝BC．過點(diǎn)C作邊AB的垂線交反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線CD方向運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，則k2＝1．【分析】用待定系數(shù)求得反比例函數(shù)y＝，再與直線y＝x聯(lián)立方程組求得D點(diǎn)坐標(biāo)，再題意求得運(yùn)動(dòng)后P點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將求得的P點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝（x＞0）求得結(jié)果．【解答】解：把A（﹣1，﹣4）代入y＝中得，k1＝4，∴反比例函數(shù)y＝為，∵A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），∴AB的垂直平分線為y＝x，聯(lián)立方程駔，解得，或，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴CD是AB的垂直平分線，∵CD與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象于點(diǎn)D，∴D（﹣2，﹣2），∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線CD方向運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，∴設(shè)移動(dòng)后的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m）（m＞﹣2），則＝（3）2，∴m＝1，∴P（1，1），把P（1，1）代入y＝（x＞0）中，得k2＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定直線CD的解析式．6.（2020?江蘇省南京市?2分）如圖，線段AB.BC的垂直平分線11.l2相交于點(diǎn)O，若∠1＝39°，則∠AOC＝78°．【分析】過O作射線BP，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根據(jù)外角的性質(zhì)得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得結(jié)論．【解答】解：過O作射線BP，∵線段AB.BC的垂直平分線11.l2相交于點(diǎn)O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，故答案為：78°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．7（2020?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．【分析】分3是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．【解答】解：①3是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3.3.4，∵此時(shí)能組成三角形，∴周長(zhǎng)＝3+3+4＝10；②3是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為3.4.4，此時(shí)能組成三角形，所以周長(zhǎng)＝3+4+4＝11．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10或11．故答案為：10或11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論．8.（2020?湖北省黃岡市?3分）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，則∠BAD＝40度．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案為：40．．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)．此類已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．9.（2020?江蘇省蘇州市?3分）如圖，已知是一個(gè)銳角，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，畫射線．過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)，，則________．【答案】【解析】【分析】連接AB交OD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥ON于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OH⊥AB，AH=BH，從而得四邊形ABED是平行四邊形，利用勾股定理和三角形的面積法，求得AG的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】連接AB交OD于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥ON于點(diǎn)G，由尺規(guī)作圖步驟，可得：OD是∠MON的平分線，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵，∴DE∥AB，∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，∵OB?AG=AB?OH，∴AG===，∴=．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10..（2020?貴州省安順市?4分）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，BD＝8，AC＝11，則邊BC的長(zhǎng)為．【分析】延長(zhǎng)BD到F，使得DF＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理即可求出答案．【解答】解：延長(zhǎng)BD到F，使得DF＝BD，∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF，過點(diǎn)C點(diǎn)作CH∥AB，交BF于點(diǎn)H∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，∴由勾股定理可知：CD＝4，在Rt△BCD中，∴BC＝＝4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．三.解答題1.（2020?江蘇省淮安市?8分）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A.B.C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A.B兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，結(jié)果精確到1千米）．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，通過解直角三角形可求出AD，CD的長(zhǎng)，在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠CBD＝45°可得出BD＝CD，再結(jié)合AB＝AD+BD即可求出A.B兩點(diǎn)間的距離．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖所示．在Rt△ACD中，AC＝8千米，∠CAD＝30°，∠CAD＝90°，∴CD＝AC?sin∠CAD＝4千米，AD＝AC?cos∠CAD＝4千米≈6.8千米．在Rt△BCD中，CD＝4千米，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝4千米，∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11千米．答：A.B兩點(diǎn)間的距離約為11千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通過解直角三角形以及利用等腰直角三角形的性質(zhì)，找出AD，BD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．2.（2020?黑龍江省哈爾濱市?8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D.點(diǎn)E在邊BC上，BD＝CE，連接AD.AE．（1）如圖1，求證：AD＝AE；（2）如圖2，當(dāng)∠DAE＝∠C＝45°時(shí)，過點(diǎn)B作BF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)等腰三角形，使寫出的每個(gè)等腰三角形的頂角都等于45°．【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的判定即可求解．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∵∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；（2）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵BF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝45°，∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，∴滿足條件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握它們的性質(zhì)與定理．3.（2020?江蘇省南京市?8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A.C.D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥BC，交⊙O于點(diǎn)F．求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；（2）AF＝EF．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定得出BD∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；（2）求出∠AEF＝∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ECF+∠EAF＝180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．【解答】證明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形；（2）連接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AE＝EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4.（2020?河南省?11分）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB′，垂足為點(diǎn)E，連接DB′，CE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，△DEB′的形狀為等腰直角三角形，連接BD，可求出的值為；（2）當(dāng)0°＜α＜360°且α≠90°時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②當(dāng)以點(diǎn)B′，E，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB＝AB'，∠BAB'＝60°，證得△ABB'是等邊三角形，可得出△DEB'是等腰直角三角形．證明△BDB'∽△CDE，得出．（2）①得出∠EDB'＝∠EB'D＝45°，則△DEB'是等腰直角三角形，得出，證明△B'DB∽△EDC，由相似三角形的性質(zhì)可得出．②分兩種情況畫出圖形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案．【解答】解：（1）∵AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，∴△ABB'是等邊三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴．故答案為：等腰直角三角形，．（2）①兩結(jié)論仍然成立．證明：連接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴．②＝3或1．若CD為平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)B'在以A為圓心，AB為半徑的圓上，取CD的中點(diǎn)．連接BO交⊙A于點(diǎn)B'，過點(diǎn)D作DE⊥BB'交BB'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，∴B'D＝B'E，由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．∴＝+1＝+1＝+1＝+1＝3．若CD為平行四邊形的一邊，如圖3，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，∴＝1．綜合以上可得＝3或1．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.（2020?河北省?12分）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝．點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB﹣BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠B．（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，當(dāng)0≤x≤3及3≤x≤9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒．若AK＝，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)．【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．（3）分兩種情形：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤9時(shí)，分別畫出圖形求解即可．（4）求出CK的長(zhǎng)度，以及CQ的最大值，利用路程與速度的關(guān)系求解即可．【解答】解：（1）如圖1中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，∴tan∠B＝tan∠C＝＝，∴AH＝3，AB＝AC＝＝＝5．∴當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，點(diǎn)P到A的最短距離為3．（2）如圖1中，∵∠APQ＝∠B，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵PQ將△ABC的面積分成上下4：5，∴＝（）2＝，∴＝，∴AP＝，∴PM＝AP＝AM＝﹣2＝．（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，如圖1﹣1中，過點(diǎn)P作PJ⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于J．∵PQ∥BC，∴＝，∠AQP＝∠C，∴＝，∴PQ＝（x+2），∵sin∠AQP＝sin∠C＝，∴PJ＝PQ?sin∠AQP＝（x+2）．當(dāng)3≤x≤9時(shí)，如圖2中，過點(diǎn)P作PJ⊥AC于J．同法可得PJ＝PC?sin∠C＝（11﹣x）．（4）由題意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度＝＝單位長(zhǎng)度/秒．當(dāng)3＜x≤9時(shí)，設(shè)CQ＝y(tǒng)．∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，∴∠BAP＝∠CPQ，∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴＝，∴＝，∴y＝﹣（x﹣7）2+，∵﹣＜0，∴x＝7時(shí)，y有最大值，最大值＝，∵AK＝，∴CK＝5﹣＝＜當(dāng)y＝時(shí)，＝﹣（x﹣7）2+，解得x＝7±，∴點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)＝（+6﹣3）÷＝23秒．方法二：①點(diǎn)P在AB上的時(shí)候，有11/4個(gè)單位長(zhǎng)度都能掃描到點(diǎn)K；②在BN階段，當(dāng)x在3～5.5（即7﹣1.5）的過程，是能掃到K點(diǎn)的，在5.5～8.5（即7+1.5）的過程是掃不到點(diǎn)K的，但在8.5～9（即點(diǎn)M到N全