高中數(shù)學(xué)1 3 1單調(diào)性與大小值課件新人教版必修12ba

1．3.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性目標(biāo)要求熱點(diǎn)提示1.了解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．能用文字語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言正確描述增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性等概念，能準(zhǔn)確理解這些定義的本質(zhì)特點(diǎn).本節(jié)是研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)要結(jié)合特殊函數(shù)實(shí)例，利用圖象的形象直觀，從感性上認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象具有上升或下降的變化趨勢(shì)；(2)函數(shù)單調(diào)性是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒍康臄?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述地，必須結(jié)合實(shí)例準(zhǔn)確地把握；(3)判斷或證明函數(shù)單調(diào)性，需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)(如不等式、因式分解、配方法、數(shù)形結(jié)合等)，應(yīng)注意復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí).德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，遺忘在學(xué)習(xí)之后立

即開(kāi)始，而且遺忘的進(jìn)程并不是均勻的，最初遺忘速度較

快，以后逐漸緩慢．他認(rèn)為“保持和遺忘是時(shí)間的函數(shù)”，并根據(jù)他的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成描述遺忘進(jìn)程的曲線，即著名的

艾賓浩斯記憶遺忘曲線(下圖)．艾賓浩斯記憶遺忘曲線這條曲線告訴我們，學(xué)習(xí)中的遺忘是有規(guī)律的，遺忘的進(jìn)程是不均衡的，記憶的最初階段遺忘的速度很快，后來(lái)就逐漸變慢了．這條曲線表明了遺忘規(guī)律是“先快后慢”．通過(guò)這條曲線能說(shuō)明什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？1．增函數(shù)和減函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的

任意兩個(gè)自變量的值

x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．f(x1)<f(x2)任意兩個(gè)自變量的值f(x1)>f(x2)2．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是

增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的

單調(diào)區(qū)間．1．函數(shù)y＝2x－2在R上A．是增函數(shù)

C．既是增函數(shù)又是減函數(shù)答案：A(

)B．是減函數(shù)

D．不具有單調(diào)性2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如右圖所示，其增區(qū)間是(

)A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]答案：C3．函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有(

)A．f(3)<f(5)C．f(3)>f(5)B．f(3)≤f(5)D．f(3)≥f(5)解析：∵函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3<5，∴f(3)>f(5)．答案：C4．函數(shù)y＝1－x的減區(qū)間是

．5．求證：函數(shù)f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函數(shù)．證明：設(shè)0≤x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝2x－2x＝2(x1－x2)(x1＋x2)．∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>0.∴f(x1)<f(x2)．∴函數(shù)f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函數(shù)．9類(lèi)型一

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【例1】

求證：y＝x＋x(0<x≤3)為減函數(shù)．證明：任取x1，x2∈(0,3]且x1<x2(即x2－x1>0)，2

1

2

9x21x12則f(x

)－f(x

)＝x

＋－(x

＋9

)＝x

－x1＋9(x1－x2)x1x2x1x2＝(x

－x

)(1－

9

)＝(x

－x

)·2

1

2

1x1x2－9x1x2.∵x2－x1>0，x1x2>0,0<x1<x2≤3，∴x1x2<9，有x1x2－9<0，∴f(x2)－f(x1)<0，故f(x)在(0,3]上為減函數(shù)．類(lèi)型二

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】

求函數(shù)f(x)＝－2

9－4x2的單調(diào)區(qū)間．解：設(shè)9－4x2＝t(t≥0)，3

3由9－4x2≥0，得－2≤x≤2.33當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，隨著x增大，t增大；當(dāng)0<x≤2時(shí)，隨著x增大，t減小．又函數(shù)y＝－2

t在[0，＋∞)上是減函數(shù)，3所以，f(x)＝－2

9－4x2在[－2，0]上是減函數(shù)，在3(0，2]上是增函數(shù)．3即函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[－2，0]，單調(diào)增區(qū)間為(0，2]3

．溫馨提示：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要先求函數(shù)的定義

域，因?yàn)閱握{(diào)區(qū)間是定義域的子集，如果函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，那么可將函數(shù)分解成基本初等函數(shù)，然后利用“同增異減”的原則求解．類(lèi)型三

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例3】

已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．思路分析：由題目可獲取以下主要信息：①所給函數(shù)為二次函數(shù)，且含有參數(shù)；②函數(shù)在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)．解答本題可先將函數(shù)解析式配方，然后找出圖象的對(duì)稱(chēng)軸，再考慮對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合求解．解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴此二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1－a.∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，∴對(duì)稱(chēng)軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.溫馨提示：(1)二次函數(shù)是常見(jiàn)函數(shù)，遇到二次函數(shù)后就配方找對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出圖象，會(huì)給研究問(wèn)題帶來(lái)很大的方便．(2)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要注意數(shù)形結(jié)合，采用逆向思維方法．類(lèi)型四

抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題【例4】

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x、y∈R，總有：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0.比較f(－2)與f

1

的大?。?8)思路分析：如果能夠推導(dǎo)出原函數(shù)的單調(diào)性，那么這個(gè)問(wèn)題就能迎刃而解，此題的關(guān)鍵是如何推證出該函數(shù)的單調(diào)性．解：先來(lái)考察該函數(shù)的單調(diào)性．∵f(0)＋f(0)＝f(0)(令x＝y(tǒng)＝0)，∴f(0)＝0，又令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．設(shè)x1，x2∈R且x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x2－x1>0，依題意x>0，f(x)<0.∴f(x2－x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴y＝f(x)在R上為減函數(shù)．∴f(－2)>f(8)1

．溫馨提示：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，仍采用特值法，即給變量賦予特殊值．不過(guò)在這里為了比較f(x1)與f(x2)的大小，往往需要把x1用x2＋(x1－x2)來(lái)代替，再注意到題目中所給的條件，順利地放縮即可．判斷并證明f(x)＝xx2＋1在(0，＋∞)上的單調(diào)性．①當(dāng)0<x1<x2≤1時(shí)，x2－x1>0,1－x1x2>0，則f(x2)－f(x1)>0.∴f(x)＝xx2＋1在(0,1]上是增函數(shù)．②當(dāng)1≤x1<x2時(shí)，x2－x1>0,1－x1x2<0，則f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)＝xx2＋1在[1，＋∞)上是減函數(shù)．(1)y＝

－x2＋2x；(2)y＝求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1x＋1.1(2)將函數(shù)y＝x的圖象向左平移1個(gè)單位得函數(shù)y＝1x＋1的圖象，如下圖所示．觀察圖象，得函數(shù)y＝1x＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1)，(－1，＋∞)．本例中，若將函數(shù)“在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)”改為“函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，4]”，則a為何值？解：由例題知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.,xf(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，且f(y)＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f(1x－3)≤2.1．函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)“區(qū)間概念”，如果一個(gè)函數(shù)在定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增(減)函數(shù)，但不能說(shuō)這個(gè)函數(shù)在其定義域上是增(減)函數(shù)．例如：函數(shù)f(x)＝11但不能說(shuō)f(x)

(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，因x在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上也是減函數(shù)，＝x在為當(dāng)x1＝－1，x2＝1時(shí)有f(x1)＝－1<f(x2)＝1不滿足減函數(shù)的定義．2．判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法

(1)定義法；兩個(gè)增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減