最短路徑問題市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎市公開課獲獎?wù)n件

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我們把研究關(guān)于“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”等問題，稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常碰到，今天我們就經(jīng)過幾個實際問題,詳細(xì)體會怎樣利用所學(xué)知識選擇最短路徑.新課引入第2頁第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第3頁問題1相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程造訪海倫，討教一個百思不得其解問題：

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊什么地方飲馬，可使所走路徑最短？ABl第4頁精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)海倫稍加思索，利用軸對稱知識回答了這個問題．這個問題以后被稱為“將軍飲馬問題”．

你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？第5頁lABCC轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題當(dāng)點C在直線l什么位置時，AC與BC和最??？分析：ABl第6頁如圖，點A、B分別是直線l異側(cè)兩個點，怎樣在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B距離和最短？聯(lián)想：兩點之間，線段最短.lABCB第7頁（1）這兩個問題之間，有什么相同點和不一樣點？（2）我們能否把左圖A、B兩點轉(zhuǎn)化到直線l異側(cè)呢？

（3）利用什么知識能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABC第8頁lABCB′如圖，作點B關(guān)于直線l對稱點B′.當(dāng)點C在直線l什么位置時，AC與CB′和最??？在連接AB′兩點線中，線段AB′最短.所以，線段AB′與直線l交點C位置即為所求.第9頁在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最?。甽ABCB′C′證實：如圖.第10頁在處理最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱變換，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為輕易處理問題，從而作出最短路徑選擇．方法總結(jié)：第11頁問題1歸納lABClABCB′lABC抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知處理新知聯(lián)想舊知處理實際問題ABl第12頁問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B路徑AMNB最短？（假定河兩岸是平行直線，橋要與河垂直.）思索：你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？第13頁如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B路徑是AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？aBAbMN因為河寬是固定，所以當(dāng)AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.第14頁分析：lABCaBAbMNA'如圖，假如將點A沿與河岸垂直方向平移到點A′，使AA′等于河寬，則AA′=MN，AM=A′N，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點N在直線b什么位置時，A′N+NB最??？參考右圖，利用“兩點之間，線段最短”能夠處理.第15頁如圖，沿垂直于河岸方向平移A到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交河岸于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：第16頁另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′.由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由線段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.證實：aBAbMNA'N′M′第17頁總結(jié)歸納：在處理最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換，把較復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為輕易處理問題，從而作出最短路徑選擇。第18頁問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知處理新知聯(lián)想舊知處理實際問題lABC第19頁小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短.第20頁1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有以下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)管道，則所需要管道最短是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD嘗試應(yīng)用：第21頁2.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD中點距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走最短距離是

米.ACBD河1000第22頁第23頁4、如圖所表示，M、N是△ABC邊AB與AC上兩點，在BC邊上求作一點P，使△PMN周長最小。M’P第24頁歸納總結(jié)本節(jié)課你有什么收獲？①學(xué)習(xí)了利用軸對稱處理最短路徑問題②感悟和體會轉(zhuǎn)化思想第25頁賠償提升

如圖，一個旅游船從大橋ABP處前往山腳下Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船最短路徑．ABCPQ山河岸大橋第26頁思緒分析：

因為兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這么問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC同側(cè)，怎樣在BC上找到一點R，使PR與QR和最小”．ABCPQ山河岸大橋第27頁新知1利用軸對稱處理距離最短問題

利用軸對稱及兩點之間線段最短性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段長，是處理距離之和最小問題基本思緒，不論題目怎樣改變，利用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點距離和最小這個核心，全部作法都相同.第28頁新知2利用平移確定最短路徑選址

處理連接河兩岸兩個點最短路徑問題時，能夠經(jīng)過平移