2微分方程模型(人口模型)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

5.3.1人口增加模型第1頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型5.3.1.1馬爾薩斯(Malthus)模型Malthus(1766-1834),英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家，依據(jù)百余年統(tǒng)計(jì)資料，在1798年提出了聞名于世人口指數(shù)增加模型，即Malthus人口模型.人口以幾何級數(shù)增加！考慮一個國家或地域人口總數(shù)隨時(shí)間改變情況，記x(t)為t時(shí)刻該國家或地域人口總數(shù)，對一個國家而言，遷入和遷出人數(shù)相對很小，故略去遷移對人口改變影響，即人口改變僅與出生率和死亡率相關(guān)。模型假設(shè)假設(shè)人口出生率與死亡率之差與總?cè)丝诔烧?即單位時(shí)間內(nèi)人口增量與人口總數(shù)成正比)，記為B-D=rx(t).百分比常數(shù)r稱為自然增加率，它能夠經(jīng)過人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到(即為常數(shù)).模型建立第2頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型模型分析人口將按指數(shù)規(guī)律無限增加！人口將一直保持不變！人口將按指數(shù)規(guī)律降低直至絕滅！模型求解用馬爾薩斯(Malthus)模型預(yù)計(jì)我國人口改變情況。為了方便對比，取1982年人口普查時(shí)得到人口總數(shù)為初始值，即x0=10.1541億，自然增加率r=1.4%，t0=1982，用公式預(yù)計(jì)后各年我國總?cè)丝诟淖?，其結(jié)果如后表從表能夠看到，在1983年到1990年8年中，用馬爾薩斯(Malthus)模型相對誤差均在2％以下，這表明此模型比較準(zhǔn)確預(yù)測了短期內(nèi)人口改變規(guī)律。第3頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型Malthus模型預(yù)測美國人口第4頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型Malthus模型預(yù)測美國人口誤差分析第5頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型Malthus模型預(yù)測優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：短期預(yù)報(bào)比較準(zhǔn)確缺點(diǎn)：不適合中長久預(yù)報(bào)原因：

該模型中關(guān)鍵假設(shè)是自然增加率僅與人口出生率和死亡率相關(guān)，且是常數(shù)。這一假設(shè)使模型簡單實(shí)用，但這一假設(shè)也造成了人口無限制增加，顯然用該模型來作長久人口預(yù)測是不合理，需要改進(jìn)。沒有考慮環(huán)境對人口增加制約作用。第6頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型5.3.1.2

洛杰斯蒂克(Logistic)模型提出背景人們發(fā)覺在人口比較稀少，資源較豐富條件下，人口增加較快，能夠在短期內(nèi)維持常數(shù)增加率；但當(dāng)人口數(shù)量發(fā)展到一定水平后，會產(chǎn)生許多問題，如食物短缺，交通擁擠等，這又造成人口增加率降低，這種現(xiàn)象在一些動物種群試驗(yàn)中也觀察到。在1837年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst引入常數(shù)K，表示人類生存空間及可利用資源(食物、水、空氣)等環(huán)境原因所能容納最大人口數(shù)量(也稱為飽和系數(shù)或環(huán)境容納量)。

第7頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型5.3.1.2

洛杰斯蒂克(Logistic)模型模型假設(shè)模型建立人口增加洛杰斯蒂克(Logistic)模型：

第8頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型模型分析模型求解第9頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型人口增加率到達(dá)最大值第10頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型Logistic模型預(yù)測美國人口第11頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型Logistic模型預(yù)測優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)

其用途十分廣泛，除了用于預(yù)測人口增加之外，也可完全類似地用于蟲口增加、疾病傳輸、謠言傳輸、技術(shù)革新推廣、銷售預(yù)測等。中期預(yù)報(bào)比較準(zhǔn)確。缺點(diǎn)理論上很好，實(shí)用性不強(qiáng)原因

預(yù)報(bào)時(shí)假設(shè)固有些人口增加率r以及最大人口容量K為定值。實(shí)際上這兩個參數(shù)（尤其是K）極難確定，而且會伴隨社會發(fā)展情況改變而改變。前面圖中曲線末端分叉就是因?yàn)檫@個原因。第12頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型Logistic模型預(yù)測美國人口誤差分析第13頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型中國人口預(yù)測結(jié)果年份馬爾薩斯模型預(yù)測值/億洛杰斯蒂模型預(yù)測值/億實(shí)際統(tǒng)計(jì)值預(yù)測值/億198210.154110.154110.1541198310.297210.256410.2495198410.442410.359410.3475198510.589610.463110.4532198610.738910.567310.5721198710.890310.672110.7240198811.043910.777510.8978198911.119610.883511.0676199011.357510.990111.336813.064212.087115.027413.235717.285614.4276203019.883215.6529204022.871116.9009205026.308118.1595第14頁微分方程模型實(shí)例1——人口模型補(bǔ)充：從另一個角度導(dǎo)出