第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件

第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）一、剛體§3.1

剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1.剛體的平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。二、剛體的基本運(yùn)動(dòng)32.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).*3.剛體的平面運(yùn)動(dòng)4剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+5三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述1.角位移、角速度和角加速度角位移：Δθ＝θ2－θ1平均角速度：轉(zhuǎn)動(dòng)平面角速度：平均角加速度：角加速度：62.角量與線量的關(guān)系

當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上某質(zhì)元i

剛體上各質(zhì)元的角量相同，而各質(zhì)元的線量大小與質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離成正比．7方向平行于軸的力，在定軸問題中，不影響物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。方向垂直于軸的力，在平行于軸的方向上產(chǎn)生一個(gè)力矩，此力矩改變物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，稱為力對(duì)軸的矩。一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律§3.2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理在剛體上任取一質(zhì)元Δmi1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，設(shè)它所受的合外力為Fi，合內(nèi)力為fi，將切向方程的兩邊各乘以ri，可得對(duì)剛體所有質(zhì)元求和，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律.合外力矩合內(nèi)力矩——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

轉(zhuǎn)動(dòng)定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律．說明：式中各量均須對(duì)同一剛體、同一轉(zhuǎn)軸而言．它在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位相當(dāng)于牛頓第二定律在平動(dòng)中的地位．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

11

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是組成剛體的各質(zhì)元的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積之和．是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度．單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系物體質(zhì)量連續(xù)分布二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量12解

(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直例3-1如圖所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直.13整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.14解

(1)

在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例3-2設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.15考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量16剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與三個(gè)因素有關(guān)：①與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；②與剛體質(zhì)量對(duì)軸的分布有關(guān)；③與軸的位置有關(guān)。說明：17例3-4轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t＝0時(shí)角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)

時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？解

(1)

，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用18(2)t＝0時(shí)，

，兩邊積分故當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為19一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能．§3.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理比較：20二、力矩的功zd

i

i對(duì)i求和，則力矩的元功M為作用于剛體上外力矩之和

(∵內(nèi)力矩之和為零)力矩的功率為：21三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.22例3-5如圖所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時(shí)中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度.解：棒受力如圖23則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為24剛體對(duì)某定軸的角動(dòng)量等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積．方向沿該轉(zhuǎn)動(dòng)軸，并與這時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度方向相同．

剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量就是剛體上各質(zhì)元的角動(dòng)量之和．一、剛體對(duì)軸的角動(dòng)量§3.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律25定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)對(duì)該軸的角動(dòng)量的增量．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩等于此時(shí)剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率．二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理26外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則該物體對(duì)同一軸的角動(dòng)量守恒.三、剛體對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的單個(gè)剛體。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的非剛體。FF實(shí)際中的一些現(xiàn)象35質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度加速度角速度角加速度質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量角動(dòng)量力力矩36例3.9在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上．A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA＝10kg·m2，B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB＝20kg·m2，開始時(shí)A輪每分鐘的轉(zhuǎn)速為600轉(zhuǎn)，B輪靜止．C為摩擦嚙合器．求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速，在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？解

系統(tǒng)所受合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒，即37ω為兩輪嚙合后的共同角速度，在嚙合過程中，摩擦力矩做功，機(jī)械能不守恒，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．損失的機(jī)械能為38圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)例1、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度

。已知棒長(zhǎng)為l,質(zhì)量為M.解:以f代表棒對(duì)子彈的阻力,對(duì)子彈有:子彈對(duì)棒的反作用力對(duì)棒的沖量矩為：因,由兩式得v0vmMv0vmM例3-4:如圖所示，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞過其一端的水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)將細(xì)棒拉到水平位置(OA′)后放手，細(xì)棒下擺到豎直位置(OA)時(shí)，與靜止放置在水平面A處的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離s后停止．設(shè)物體與水平面間的摩擦系數(shù)μ處處相同，求證解：分解為3個(gè)過程．(1)細(xì)棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰，此過程機(jī)械能守恒．以棒、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，以棒的質(zhì)心C在豎直位置時(shí)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有(2)細(xì)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過程角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒設(shè)碰撞后棒的角速度為ω′，物塊速度為v，則有(3)碰撞后物塊在水平面滑行，滿足動(dòng)能定理聯(lián)立各式，得證例3、一半徑為R、質(zhì)量為M

的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣，最初人和臺(tái)都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周(不計(jì)阻力)，相對(duì)于地面，人和臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度？R思考：1.臺(tái)為什么