第十二章-二階電路的時域分析課件

重點(diǎn)用經(jīng)典法分析二階電路二階電路的零輸入響應(yīng)有幾種表現(xiàn)形式？特點(diǎn)？難點(diǎn)不同特征根的響應(yīng)討論9/13/20231重點(diǎn)用經(jīng)典法分析二階電路難點(diǎn)不同特征根的響應(yīng)討論8/1/1、二階齊次微分方程的通解形式特征根：特征方程為：通解:知識復(fù)習(xí)9/13/202321、二階齊次微分方程的通解形式特征根：特征方程為：通解:知當(dāng)特征方程有不同的實根p1、p2時:當(dāng)特征方程有相同的實根p時:當(dāng)特征方程有共軛的復(fù)根:9/13/20233當(dāng)特征方程有不同的實根p1、p2時:當(dāng)特征方程有相同的實2、歐拉公式

9/13/202342、歐拉公式8/1/20234問題的提出第一節(jié)RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)一階電路是單純的吸收或釋放能量的響應(yīng)二階電將將出現(xiàn)動態(tài)元件之間的能量交換例+--

++-左圖電路中，設(shè)開關(guān)S閉合前的瞬間，有t=0時開關(guān)閉合，分析電路中的暫態(tài)過程。RLC串聯(lián)電路的簡單物理過程分析9/13/20235問題的提出第一節(jié)RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)一階電路是單純1、建立關(guān)于uC的電路方程一、

響應(yīng)uC與iLuC與iL確定的步驟換路后的電路如右圖所示在圖示參考方向下，電路的KVL方程為式中+--

++-+--++-將上述關(guān)系以uC作為應(yīng)變量代入KVL方程，經(jīng)整理后得9/13/202361、建立關(guān)于uC的電路方程一、響應(yīng)uC與iLuC與iL確

這是一個常系數(shù)齊次線性二階微分方程。

其初始條件為2、確定特解

其次方程沒有特解，即uCP=0。9/13/20237這是一個常系數(shù)齊次線性二階微分方程。3、確定通解

其特征方程為

其特征根為

定義α稱為衰減常數(shù)

ω0為RLC串聯(lián)電路的諧振角頻率

于是

9/13/202383、確定通解其特征方程為其特征根為定義α

通解為

式中A1、A2是積分常數(shù)，由電路初始條件確定。

s1、s2僅決定于電路結(jié)構(gòu)與元件參數(shù)，它們是電路的固有頻率或自然頻率。注意

在二階電路中，沒有時間常數(shù)的概念。

α、ω0、s1、s2的單位都是1/s。9/13/20239通解為式中A1、A2是積分常數(shù)，由電路初始4、寫出全解5、確定常數(shù)A1、A2

將上式中令t=0+，代入初始條件，得

在t=0+處，對（12-5）式對t求導(dǎo)，代入初始條件，有9/13/2023104、寫出全解5、確定常數(shù)A1、A2將上式中令t=0+

聯(lián)立式（12-6）、（12-7）

得積分常數(shù)為注意

常數(shù)A1、A2不僅與電路初始狀態(tài)有關(guān)，而且，還與電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)。9/13/202311聯(lián)立式（12-6）、（12-7）得積分常數(shù)為

將積分常數(shù)代入uC的全解中，可得零輸入響應(yīng)uC為

電流為9/13/202312將積分常數(shù)代入uC的全解中，可得零輸入響應(yīng)uC為

上式中s1s2由得將上式代入到iL中，化簡后得注意

式（12-9）與式（12-11）指出，式中前一項是由電容器上的初始電壓U0引起的零輸入響應(yīng)，后一項是由電感器中的初始電流I0引起的零輸入響應(yīng)。初始電壓U0引起的零輸入響應(yīng)初始電流I0引起的零輸入響應(yīng)9/13/202313上式中s1s2由得將上式代入到iL中，化簡后得注意二、

電路不同參數(shù)值時暫態(tài)過程分析

在RLC串聯(lián)電路中，由于元件參數(shù)的不同，電路的暫態(tài)過程有三種不同的性狀。9/13/202314二、電路不同參數(shù)值時暫態(tài)過程分析在RLC串聯(lián)電路為了簡化分析，設(shè)式（12-9）中I0=0。得9/13/202315為了簡化分析，設(shè)式（12-9）中I0=0。得8/1/2023這表明，在任一時刻t，有uC>0，電容器始終處于放電狀態(tài)，暫態(tài)過程是非周期性放電。電路為過阻尼。9/13/202316這表明，在任一時刻t，有uC>0，電容器始終處于放電狀由得在tm處，iL有一極值。令上式在t=tm處的一階導(dǎo)數(shù)為零，得上式，在s1-s2≠0時，有得9/13/202317由得在tm處，iL有一極值。令上式在t=tm處的一由得在tm’處，uL有一極值。令上式在t=tm’處的一階導(dǎo)數(shù)為零，得得9/13/202318由得在tm’處，uL有一極值。令上式在t=tm’處9/13/2023198/1/202319

式中的兩個常數(shù)A1，A2由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定。則有9/13/202320式中的兩個常數(shù)A1，A2由初始條件iL(0+可得代入初始條件于是有9/13/202321可得代入初始條件于是有8/1/202321當(dāng)將uC與iL波形都畫出來時，可以看出放電過程仍然是非周期性的，暫態(tài)過程處于臨界狀態(tài)。電路為臨界阻尼。定義為臨界電阻9/13/202322當(dāng)將uC與iL波形都畫出來時，可以看出放電過程仍然是

為RLC串聯(lián)電路的衰減震蕩角頻率。對此定義9/13/202323為RLC串聯(lián)電路的衰減震蕩角頻率。對此定義8/1/202這樣電路的固有頻率可以寫成s1與s2為一共軛復(fù)數(shù)。則有代入初始條件可得代入uC(t)可得9/13/202324這樣電路的固有頻率可以寫成s1與s2為一共軛復(fù)數(shù)。則有代入初

將上式α與ωd看成右圖所示直角三角形的兩條直角邊，利用則上式可以化成9/13/202325將上式α與ωd看成右圖所示直角三角形的兩條直角邊，利將上式對t求導(dǎo)，可得式中初相9/13/202326將上式對t求導(dǎo)，可得式中初相8/1/202326上二式表明9/13/202327上二式表明8/1/202327為了簡化振蕩過程，設(shè)I0=0，得由此畫出的uC與iL波形如右上圖所示。在圖示波形中：（1）iL過零點(diǎn)的時刻由得即9/13/202328為了簡化振蕩過程，設(shè)I0=0，得由此畫出的u（2）iL過極值的時刻由得即引用右上圖中的關(guān)系后，有即9/13/202329（2）iL過極值的時刻由得即引用右上圖中的關(guān)系后，有即8/1由此得iL過極值的時刻為（3）uC過零點(diǎn)的時刻由得即（4）uC達(dá)極值的時刻即是iL過零點(diǎn)的時刻9/13/202330由此得iL過極值的時刻為（3）uC過零點(diǎn)的時刻由得即（4）u9/13/2023318/1/202331當(dāng)α=0，即R=0，由得即固有頻率為一對共軛虛數(shù)。由給出9/13/202332當(dāng)α=0，即R=0，由得即固有頻率為一對共軛虛數(shù)。由給出8/這樣，由式（12-22）與式（12-23）得9/13/202333這樣，由式（12-22）與式（12-23）得8/1/2023上二式表明uC、iL的振幅為定值，即電路中的暫態(tài)過程是等幅振蕩，也即無阻尼振蕩。下圖為I0=0與uC（0+）=U0時的uC、iL波形。以上分析表明，RLC串聯(lián)零輸入電路暫態(tài)過程的特征取決于固有頻率s1與s2，即當(dāng)s1與s2分別為實數(shù)、復(fù)數(shù)與純虛數(shù)時，電路相應(yīng)的暫態(tài)過程就是非周期性放電、衰減振蕩與等幅振蕩。9/13/202334上二式表明uC、iL的振幅為定值，即電路中的暫態(tài)過程例12-1在圖12-6a電路中，L=1H，C=1/4F，uC(0-)=1V，電感器為零初始。T=0時開關(guān)S閉合，試就下列情況，計算電容電壓uC,并畫出uC波形：(1)R=5Ω；(2)R=4Ω；(3)R=2Ω；(4)R=0。+-解(1)R=5Ω臨界電阻為電路的暫態(tài)過程屬于過阻尼。衰減常數(shù)為9/13/202335例12-1在圖12-6a電路中，L=1H，C=1

諧振角頻率為+-電路的固有頻率為電容電壓由得9/13/202336諧振角頻率為+電路的固有頻率為電容電壓由得8/1/2+-(2)R=4Ω臨界電阻為電路屬于臨界阻尼。電容電壓由得9/13/202337+(2)R=4Ω臨界電阻為電路屬于臨界阻尼。電容電壓由得8/+-(3)R=2Ω臨界電阻為電路屬于欠阻尼。衰減常數(shù)為諧振頻率由給出。衰減振蕩角頻率由得9/13/202338+(3)R=2Ω臨界電阻為電路屬于欠阻尼。衰減常數(shù)為諧振頻率電路的固有頻率由式（12-21）得由式（12-24）得電容電壓由得9/13/202339電路的固有頻率由式（12-21）得由式（12-24）得電容電+-(4)R=0R=0時，電路為無阻尼振蕩。電容電壓由式（12-28）得上述四種情況的uC波形如右圖所示。

9/13/202340+(4)R=0R=0時，電路為無阻尼振蕩。電容電壓由式（12第二節(jié)GCL并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

GCL并聯(lián)電路如上圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出KCL方程

+-+-9/13/202341第二節(jié)GCL并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)GCL并代入電容，電阻和電感的VCR方程得到微分方程這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。其特征方程為由此求解得到特征根9/13/202342代入電容，電阻和電感的VCR方程當(dāng)電路元件參數(shù)G,L,C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1.時，s1,s2為兩個不相等的實根。2.時，s1,s2為兩個相等的實根。3.時，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。當(dāng)兩個特征根為不相等的實數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個特征根為相等的實數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個特征根為共軛復(fù)數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。9/13/202343當(dāng)電路元件參數(shù)G,L,C的量值不同時，特征根由上分析可知，GCL并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)是RLC串聯(lián)電路零輸入響應(yīng)的對偶。其對偶特性如下+-+-+--

++-uC與iL有關(guān)聯(lián)方向！uC與iL有關(guān)聯(lián)方向！9/13/202344由上分析可知，GCL并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)是RLC串聯(lián)例1：判斷如圖所示電路，是過阻尼情況還是欠阻尼情況。解：由KVL可知由KCL知則i(t)RLuS(t)9/13/202345例1：判斷如圖所示電路，是過阻尼情況還是欠解：由KVL可知由而將式(2)和式(3)代入式(1)得電路的二階微分方程其特征方程為9/13/202346而將式(2)和式(3)代入式(1)得電路的二階微分方程其特征特征根為因，電路為過阻尼情況。9/13/202347特征根為因，電路為過阻尼情況。8例電路如圖所示，已知G=3S，L=0.25H,C=0.5F,

iS(t)=

(t)A。求t>0時電感電流和電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。解：根據(jù)G，L，C的量值，計算出固有頻率

+-+-9/13/202348例電路如圖所示，已知G=3S，L=0.25H,C=利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程求得常數(shù)K1=-2，K2=1。最后得到電感電流和電容電壓這是兩個不相等的實根，電感電流的表達(dá)式為9/13/202349利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流+-+-9/13/202350++8/1/202350+-+-9/13/202351++8/1/202351例圖示RLC并聯(lián)電路中，已知G=0.1S，L=1H，C=1F，

iS(t)=

(t)A。求t>0時，電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)。解：首先計算固有頻率其響應(yīng)為+-+-9/13/202352例圖示RLC并聯(lián)電路中，已知G=0.1S，L=1H，利用零初始條件，得到由此可得最后得到電感電流為9/13/202353利用零初始條件，得到由此可用計算機(jī)程序DNAP畫出的電感電流波形如下所示。衰減系數(shù)為0.05的電感電流的波形9/13/202354用計算機(jī)程序DNAP畫出的電感電流波形如下所u4(t)=ε(t)*[(1.00)*exp(-.500E-01t)]cos(.999t-90.0