解析幾何(第四版)(完整課件)5

第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數(shù)量乘向量§1.4向量的線性關(guān)系與分解§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數(shù)量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向§1.9三向量的混合積

定義1.9.1給定空間的三個向量,如果先作前兩個向量的向量積,再作所得向量與第三個向量的數(shù)量積,最后得到的這個數(shù)叫做三向量的混合積,記做或或.

注:§1.9三向量的混合積定義1.9.1給定空間的三個混合積的性質(zhì)

定理1.9.1三個不共面的向量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積,并且當(dāng)構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù);當(dāng)構(gòu)成左手系時,混合積是負(fù)數(shù),也就是有.當(dāng)是右手系時;當(dāng)是左手系時.混合積的性質(zhì)定理1.9.1三個不共面的向量的混證明:由于不共面,將其歸結(jié)到共同始點,以為棱作平行六面體,則以為邊的平行四邊形的面積,高,則.由于其中.證明:由于不共面,當(dāng)成右手系時,,所以.當(dāng)成左手系時,,這時所以當(dāng)成右手系時,

定理1.9.2共面證明:當(dāng)共線,即或時,結(jié)論顯然成立.下證非上述情況也成立.若共面,由,得若,則.又,,所以共面.定理1.9.2共面

定理1.9.3輪換混合積的三個因子,并不改變它的值,對調(diào)任何兩個因子經(jīng)改變積的符號,即證明:當(dāng)共面時,結(jié)論顯然成立.當(dāng)不共面時,輪換或?qū)φ{(diào)因子,混合積的絕對值都等于以為棱的平行六面體的體積.定理1.9.3輪換混合積的三個因子,并不改變它的值,當(dāng)輪換時,不會把右手系變?yōu)樽笫窒?也不會把左手系變?yōu)橛沂窒?因而混合積不變;當(dāng)對調(diào)任意兩因子的位置時,將右手系變?yōu)樽笫窒祷驅(qū)⒆笫窒底優(yōu)橛沂窒?所以混合積要改變符號.

推論證:當(dāng)輪換時,不會把右手系變?yōu)樽笫窒?也不會把左手系變?yōu)橛沂窒?例1設(shè)滿足,試證共面.證明:由,得即而所以,所以共面.例1設(shè)滿足,混合積的坐標(biāo)運算

定理1.9.4若,則證明:由定理1.8.6有混合積的坐標(biāo)運算定理1.9.4若

注:由定理1.9.2,即得共面此即為定理1.5.5結(jié)論.注:由定理1.9.2,即得共面此即為定理1.

例2已知四面體的頂點坐標(biāo),求它的體積.解:由初等幾何可知,四面體的體積等于以為棱的平行六面體的體積的,則而,例2已知四面體的頂點坐標(biāo)則從而則

例3設(shè)不共面,求對的分解式.解:因為不共面,由定理1.4.3有上式兩邊與作數(shù)量積,則有而,則.又不共面,