多邊形的內(nèi)角和與外角和優(yōu)質(zhì)課市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

八年級(jí)數(shù)學(xué)·下新課標(biāo)[北師]第六章平行四邊形

學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋多邊形內(nèi)角和與外角和（第1課時(shí)）第1頁(yè)學(xué)習(xí)新知問(wèn)題思索3.下列圖中廣場(chǎng)中心邊緣是一個(gè)五邊形,你能設(shè)法求出它五個(gè)內(nèi)角和嗎?與同伴交流.1.前面我們研究了平行四邊形性質(zhì)和判定,上一節(jié)又研究了三角形中位線定理,現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們回想一下,三角形內(nèi)角和是多少度?2.四邊形內(nèi)角和呢?四邊形內(nèi)角和是怎么得到?第2頁(yè)多邊形內(nèi)角和1.三角形內(nèi)角和是多少度?你是怎么得出?①用量角器度量:分別測(cè)量出三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù),再求和.②拼角:將三角形兩個(gè)內(nèi)角裁剪下來(lái)與第三個(gè)角拼在一起,可組成一個(gè)平角.2.四邊形內(nèi)角和是多少?你又是怎樣得出?①度量;

②拼角;③將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形求內(nèi)角和.3.在四邊形內(nèi)角和探索過(guò)程中,用到了幾個(gè)方法,你認(rèn)為哪種方法好?請(qǐng)講述你理由.度量法:不準(zhǔn)確;拼角法:操作不方便;當(dāng)多邊形邊數(shù)n較大時(shí),度量法、拼角法都不可取.第三種方法:準(zhǔn)確、省事且有理論依據(jù).第3頁(yè)4.依據(jù)四邊形內(nèi)角和求法,你能否求出五邊形內(nèi)角和呢?方法1:如圖(1)所表示,連接AD,AC,五邊形內(nèi)角和為:3×180°=540°.方法2:如圖(2)所表示,連接AC,則五邊形內(nèi)角和為:360°+180°=540°.第4頁(yè)方法3:如圖(3)所表示,在AB上任取一點(diǎn)F,連接FC,FD,FE,則五邊形內(nèi)角和為:4×180°-180°=540°.方法4:如圖(4)所表示,在五邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,OD,OE,則五邊形內(nèi)角和為:5×180°-360°=540°.D第5頁(yè)方法5:如圖(5)所表示,在AB上任取一點(diǎn)F,連接FD,則五邊形內(nèi)角和為:2×360°-180°=540°.方法6:如圖(6)所表示,在五邊形外任取一點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,OD,OE,則五邊形內(nèi)角和為:4×180°-180°=540°.第6頁(yè)5.小組合作,完成下面表格.n邊形

圖形從一個(gè)頂點(diǎn)引出對(duì)角線條數(shù)分割成三角形個(gè)數(shù)多邊形內(nèi)角和

三角形(n=3)

四邊形(n=4)

五邊形(n=5)六邊形(n=6)……………n邊形0123n-31234n-2180°360°540°720°(n-2)180°6.從表格中你發(fā)覺(jué)了什么規(guī)律?n邊形內(nèi)角和等于(n-2)·180°.第7頁(yè)正多邊形(1)想一想:觀察圖中多邊形,它們邊、角有什么特點(diǎn)?正多邊形定義:在平面內(nèi),每個(gè)內(nèi)角都相等、每條邊也都相等多邊形叫做正多邊形.(2)議一議:①一個(gè)多邊形邊都相等,它內(nèi)角一定都相等嗎?②一個(gè)多邊形內(nèi)角都相等,它邊一定都相等嗎?(3)練一練:①正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形、正六邊形、正八邊形內(nèi)角分別是多少度?②正n邊形內(nèi)角是多少度?③一個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角是150°,求它邊數(shù).第8頁(yè)①正三角形內(nèi)角為=60°.正四邊形(正方形)內(nèi)角為=90°.正五邊形內(nèi)角為=108°.正六邊形內(nèi)角為=120°.正八邊形內(nèi)角為=135°.③=150°,解得n=12,所以這個(gè)多邊形邊數(shù)為12.②正n邊形內(nèi)角是.第9頁(yè)(4)議一議:剪掉一張長(zhǎng)方形紙片一個(gè)角后,紙片還剩幾個(gè)角?這個(gè)多邊形內(nèi)角和是多少度?與同伴交流.剪位置不一樣,剩下多邊形形狀也不一樣,多邊形內(nèi)角和也不一樣,需分類討論.①紙片剩下5個(gè)角時(shí),得到五邊形內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°.②紙片剩下4個(gè)角時(shí),得到四邊形內(nèi)角和為(4-2)×180°=360°.③紙片剩下3個(gè)角時(shí),得到三角形內(nèi)角和為180°.第10頁(yè)(教材例1)如圖所表示,在四邊形ABCD中,∠A+∠C=180°.∠B與∠D有怎樣關(guān)系?〔解析〕

本例是利用多邊形內(nèi)角和公式處理簡(jiǎn)單問(wèn)題.解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.這就是說(shuō),假如四邊形一組對(duì)角互補(bǔ),那么另一組對(duì)角也互補(bǔ).第11頁(yè)[知識(shí)拓展]

多邊形內(nèi)角和定理補(bǔ)充證法:證法一:在多邊形外取一點(diǎn)P,與多邊形各頂點(diǎn)相連接,這么點(diǎn)P與各頂點(diǎn)組成n個(gè)三角形.選擇適當(dāng)P點(diǎn),使得其中僅有兩個(gè)三角形在多邊形外部,如圖(1)所表示.則n邊形內(nèi)角和等于用n個(gè)三角形內(nèi)角和(n·180°)減去△PA4A5,△PA4A3兩個(gè)三角形內(nèi)角之和(360°),結(jié)果是(n-2)·180°.

第12頁(yè)證法二:假如沒(méi)有兩條邊相互平行,則過(guò)A3,A4,A5,…,An分別作A1A2平行線,如圖(2)所表示.則可得到(n-3)對(duì)同旁內(nèi)角,如圖中∠A1與∠1,∠A2與∠2,∠3與∠4等;還有兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角,如圖所表示∠6與∠5,∠7與∠8.所以,n邊形內(nèi)角和等于(n-3)對(duì)同旁內(nèi)角加上一個(gè)平角,即(n-2)·180°.

假如有兩條邊相互平行,不妨設(shè)AmAm+1∥A2A3,以A6A7∥A2A3為例畫(huà)圖,則過(guò)除A2,A3,A6,A7外各頂點(diǎn)分別作A2A3平行線,如圖(3)所表示.則圖中共有(n-2)對(duì)同旁內(nèi)角,如∠A2與∠1,∠2與∠A3,∠5與∠6等.也可得到n邊形內(nèi)角和為(n-2)·180°.第13頁(yè)檢測(cè)反饋1.一個(gè)多邊形內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形邊數(shù)是 (

)A.4 B.5 C.6 D.7解析:(n-2)·180°=720°,解得n=6.故選C.C2.若一個(gè)多邊形增加一條邊,那么它內(nèi)角和 (

)A.增加180° B.增加360°C.降低360° D.不變解析:(n-2+1)·180°-(n-2)·180°=180°.故選A.A3.一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1440°,則它是

邊形.

解析:(n-2)·180°=1440°,解得n=10.故填十.十第14頁(yè)解:設(shè)這五個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為13x°,11x°,9x°,7x°,5x°.∵五邊形內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,∴13x+11x+9x+7x+5x=540.解得x=12.