11-特殊值法教師版資料文檔

11--特殊值法——教師版遇見(jiàn)最美好的自己國(guó)學(xué)大師錢(qián)穆老先生曾游一座古剎，看到一個(gè)小沙彌在一棵歷經(jīng)百年風(fēng)霜的古松旁種一種觀賞植物“夾竹桃”。老先生由此感慨地說(shuō)：“以前，僧人種樹(shù)時(shí)，已經(jīng)想到寺院百年以后的愿景，而今，小沙彌在這里種花，他的眼光僅僅是想到明年哪！”我是數(shù)學(xué)小怪獸，希望通過(guò)這個(gè)小窗口把小小知識(shí)方法分享給更多的人，用每天的認(rèn)真與堅(jiān)持去幫助更多的孩子們，因?yàn)橄嘈虐褧r(shí)間浪費(fèi)在最美好的事物上然后就能遇見(jiàn)更好的自己。如果覺(jué)得文章能對(duì)你一點(diǎn)幫助，希望你能和我一起分享給身邊的朋友，幫助更多的朋友。——數(shù)學(xué)小怪獸特殊值法/Thespecialvaluemethod特殊值法，又叫特值法，數(shù)學(xué)中通過(guò)設(shè)題中某個(gè)未知量為特殊值，從而通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法。若問(wèn)題的選擇對(duì)象是針對(duì)一般情況給出的，則可選擇合適的特殊數(shù)、特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊圖形等對(duì)結(jié)論加以檢驗(yàn)，從而做出正確判斷．對(duì)于有情況討論的題目，可以代入相應(yīng)的特殊值，結(jié)合排除法進(jìn)行。這個(gè)特殊值必須滿足三個(gè)條件：首先，無(wú)論這個(gè)量的值是多少，對(duì)最終結(jié)果所要求的量的值沒(méi)有影響；其次，這個(gè)量應(yīng)該要跟最終結(jié)果所要求的量有相對(duì)緊密的聯(lián)系；最后，這個(gè)量在整個(gè)題干中給出的等量關(guān)系是一個(gè)不可或缺的量。例1.恒等式問(wèn)題解證畢例2.最值問(wèn)題解證畢例3.數(shù)列的錯(cuò)位相減問(wèn)題解第1步第2步第3步證畢讀書(shū)并不是苦難，而是學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)的過(guò)程。你只有經(jīng)歷了成長(zhǎng)，在矢志不渝地發(fā)奮學(xué)習(xí)后，生活才會(huì)為你打開(kāi)幸福的大門(mén)。人生本來(lái)就是一場(chǎng)修行，只不過(guò)每個(gè)人的苦不一樣而已。讀書(shū)是人生路上的經(jīng)歷，人生有經(jīng)歷才得以完整。

特殊值法你知道“特殊值法”嗎？特殊值法是數(shù)學(xué)常見(jiàn)解題技巧之一，又叫特值法，即通過(guò)設(shè)題中某個(gè)未知量為特殊值，從而通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法。下面舉幾個(gè)例子，大家體會(huì)一下特殊值法的妙處。1、如果-2＜x＜3，則︱x+2︱+︱x-3︱=

。特殊值法：將x=0代入，結(jié)果為5。2、如果a+1/a=2，則a2+1/a2=

。特殊值法：將a=1代入，結(jié)果為2。3、若m=2n+3，則m2-4mn+4n2=

。特殊值法：將n=0，m=3代入，結(jié)果為9。4、已知反比例函數(shù)y=6/x上有上三個(gè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜0＜x2＜x3，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是

。特殊值法：將x1=-1、x2=1、x3=2代入，得y1=-6、y2=6、y3=3，所以y1＜y3＜y25、某商品原價(jià)是100元，現(xiàn)有以下四種調(diào)價(jià)方案，其中0＜n＜m＜100，則調(diào)價(jià)后價(jià)格最高的方案是（

）A

先漲m％，再降n％B先漲n％，再降m％特殊值法：將n=20、m=80代入，則A100(1+80％)(1-20％)=144B100(1+20％)(1-80％)=24C100(1+40％)(1-40％)=84D100(1+50％)(1-50％)=75故選A6、若-1＜a＜b＜0，則下列式子1/a＜1/b

、a2＜ab、a/b＜1

、

a+b＜ab，正確的有（

）個(gè)。特殊值法：將a=-0.2、b=-0.1代入，只有最后一個(gè)式子正確。9、一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)的余角大

°。特殊值法：設(shè)這個(gè)角為60°，則補(bǔ)角、余角分別是120°、30°，結(jié)果為90°。10、如下圖，BO、CO是△ABC的平分線，∠A=80°，則∠A=

°。特殊值法：因?yàn)椤螧+∠C=100°,不妨設(shè)∠ABC=∠ACB=50°，則∠OBC=∠OCB=25°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠O=130°。

特殊值法在解題過(guò)程中常常能起到“四兩撥千斤”的作用，但也不可亂用，它有以下“三原則”。

(1)特別注意：確定這個(gè)特殊值符合題目要求，不影響所求結(jié)果。在具體應(yīng)用時(shí)，可以找兩三（組）特殊值分別代入，然后觀察結(jié)果是否符合一致。(2)數(shù)據(jù)要簡(jiǎn)單，應(yīng)便于快速，準(zhǔn)確計(jì)算，可盡量使計(jì)算結(jié)果為整數(shù)。(3)結(jié)合其他方法靈活使用。

下面這道題有一定難度，屬于“猜想證明”類(lèi)的題目，直接證明比較難，我們先利用特殊值法先求結(jié)果，得到思路后再證明。（２０１８年中考題改編）如圖，已知∠ＭＯＮ＝１２０°，點(diǎn)Ａ、Ｂ分別在ＯＭ、ＯＮ上，且ＯＡ＝ＯＢ＝ａ，將射線ＯＭ繞點(diǎn)Ｏ逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ＯＭ＇，旋轉(zhuǎn)角為α（０°＜α＜１２０°且α≠６０°），作點(diǎn)Ａ關(guān)于直線ＯＭ＇的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Ｃ，畫(huà)直線ＢＣ交ＯＭ＇于點(diǎn)Ｄ，連接ＡＣ、ＡＤ。

小芳和小芮同學(xué)認(rèn)真觀察圖形后，得出了不同的結(jié)論。小芳：∠ＡＣＤ的大小隨著α的變化而變化小芮：∠ＡＣＤ的大小是一個(gè)定值，與α無(wú)關(guān)同學(xué)們，你認(rèn)為誰(shuí)的結(jié)論對(duì)呢？解析：如下圖，連接OC，則OA=OB=OC=a我們先用α的兩個(gè)特殊值（３０°、４０°），求得∠ＡＣＤ都等于６０°。故猜想∠ＡＣＤ的大小是６０°，與α無(wú)關(guān)。思路提示：由題意OA=OB=OC=a，在等腰△OAC中求出∠ACO，在在等腰△OBC中求出∠BCO,再利用∠ACD=180°-∠ACO-∠BCO求出∠ACD即可。

以上思路提示是常規(guī)做法。因?yàn)镺A=OB=OC=a，所以我們還可以構(gòu)造輔助圓來(lái)詳細(xì)證明一下。當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)如圖，以O(shè)為圓心，以a為半徑作圓，則點(diǎn)A、B、C都在圓上，延長(zhǎng)AO交圓于點(diǎn)E，連接BE∵四邊形BEAC是圓O的內(nèi)接四邊形∴∠ACD=∠E又∵∠E=1/2∠AOB=60°∴∠ACD=∠E=60°（構(gòu)造輔助圓后，證法較為簡(jiǎn)便，但用到“圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角，同弧上的圓周角等于圓心角的一半”，對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高。）

當(dāng)6０°＜α＜１２０°如下圖，按照以上證法