粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述_第1頁
粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述_第2頁
粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述_第3頁
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粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述在什么情況下使用經(jīng)典描述,什么情況下使用量子描述?如何來判別呢?20世紀(jì)當(dāng)不少物理學(xué)家為光的波粒二象性感到困惑時(shí),德國物理學(xué)家德布羅意于1924年提出一個(gè)假說,認(rèn)為一切微觀粒子都具有波粒二象性,并把標(biāo)志波動(dòng)性質(zhì)的量3和k通過一個(gè)普適常數(shù)用標(biāo)志粒子性質(zhì)的&和p聯(lián)系起來。&=bw p=hk h=h/2n普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù),它的量綱是[時(shí)間]?[能量]=[長度]?[動(dòng)量]=[角動(dòng)量]這樣一個(gè)物理量通常成為作用量,因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個(gè)作用量子成為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。當(dāng)一個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)相比擬的數(shù)值時(shí),這個(gè)物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之,如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個(gè)具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時(shí),這個(gè)系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。在量子力學(xué)中,微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于離子的自由度數(shù)。微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng),這一點(diǎn)我們可以作如下解釋:繼德布羅意之后,1927年,海森堡在研究粒子和波動(dòng)的二象性時(shí),得到一個(gè)重要的結(jié)果:微觀粒子不可能同時(shí)具有確定的動(dòng)量和坐標(biāo)。即用4q表示粒子坐標(biāo)的不確定值和4p表示粒子動(dòng)量不確定值,在量子力學(xué)所容許的最精確的描述,4q與4p的乘積滿足4q4曠h稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系或?qū)懗葾tAE?h它揭示:量子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動(dòng)量,因此這生動(dòng)地說明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是軌道運(yùn)動(dòng),是微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動(dòng)量來描述的,而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。值得指出的是:在經(jīng)典力學(xué)的理論中,粒子可以同時(shí)具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量,這并不是在實(shí)際上我們可以任意的精確度做到這一點(diǎn),而是說在經(jīng)典的理論中,原則上不允許對(duì)這種精確度有任何限制。特別地在經(jīng)典范圍內(nèi),波動(dòng)量很小,以致于探測(cè)不到。因此認(rèn)為物質(zhì)有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量,這并不與測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系發(fā)生矛盾。具體事例空間中一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的粒子,假設(shè)此粒子限制在一個(gè)邊長為L的方盒子中運(yùn)動(dòng)。在量子力學(xué)中粒子的運(yùn)動(dòng)滿足薛定譚方程:-2mv2必)=M)其中二XI+二XI+yj+zk)上式可變成為:2屮(r)=P-屮(r)解為屮6)=cexp—p-r

2m 2m 力上式可變成為:根據(jù)周期性邊界條件,在點(diǎn)A(J2,yZ和A‘C-l/2,y,z) (r)的自己i(L )i(L )cexp——p+p+pzhl2xyz丿應(yīng)相同。即:i(1)=cexp-pL+p+pzh12x y z丿expf衲l]=1得p=l力x丿2方兀L同理可得:p=—n和p=2兀nyLyzLz以上的式子表示,動(dòng)量只能取分立的值。p2 2力2兀2n2:£ =x= xnx 2m m L2總能量:£= C2±n2±n2)mL2xyz以上的式子表示,能量是分立的。這里nx,ny,nz即為量子數(shù),量子態(tài)即由這些量子數(shù)來描述,對(duì)于一確定的能量&,nx,ny,nz可取不同的值,因此,對(duì)于一確定的能量來說,系統(tǒng)有許多量子態(tài)。經(jīng)典粒子的動(dòng)量和能量是連續(xù)的,而在量子情形中,動(dòng)量和能量是分立的,這是局域在有理空間范圍的量子粒子的特性。一維的情況:2h一維的情況:2hnp=nxLx2力2兀2£= n2mL2 x相鄰兩個(gè)能級(jí)的間距為:A£=£相鄰兩個(gè)能級(jí)的間距為:A£=£-£n+1x=Lh2兀2(2n+1)mL2 x顯然,若S8時(shí),△&T0,即能量此時(shí)是連續(xù)的。粒子的狀態(tài)與g空間體積元的對(duì)應(yīng)關(guān)系在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所討論的某些問題中,普朗克常數(shù)與有關(guān)的物理量相比是一個(gè)較小的量,這時(shí),可以利用半經(jīng)典近似認(rèn)為粒子是沿著滿足量子化條件的那些軌道做軌道運(yùn)動(dòng)的。這些量子化軌道與量子描述中的量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可知,坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)取確定的值,所以量子態(tài)不能用g空間的一點(diǎn)來描述,而應(yīng)用一個(gè)體積元,稱為相格。相格的大小為血自由度為r的粒子,相格大小為:Aq…AqAp…Ap二hr1 r1 r如果將g空間劃分為若干個(gè)體積元△31(1=1,2…),則在體積元△31中粒子可能的狀態(tài)數(shù)為431/h 。例如:三維自由粒子的一個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)于g空間中體積為h的一個(gè)體積元,以V表示容器的體積,在體積V內(nèi),三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為:Vdpxd匕h3一般常用動(dòng)量空間中的球極坐標(biāo)p,,申,來描寫自由粒子的動(dòng)量p,B,卩與p、p、p的關(guān)系為:p=psin0cosp;p=psin0sinp;p=pcos0xyz x y z用球極坐標(biāo),動(dòng)量空間的體積元為: p2sin0dpd0dp在體積V內(nèi),動(dòng)量在p到p+dp,e到0+de,申到卩+dp,自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為Vp2sin0dpd0dph3在體積V內(nèi),動(dòng)量絕對(duì)值在p到p+dp的范圍內(nèi),自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為:Vp2dpJ2dp卜sin0d0 4nVp2dp00=h3 h3以能量形式表示,即E=p/2m ,因此在V內(nèi),在E到E

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