粒子運(yùn)動狀態(tài)的量子描述

粒子運(yùn)動狀態(tài)的量子描述在什么情況下使用經(jīng)典描述，什么情況下使用量子描述？如何來判別呢？20世紀(jì)當(dāng)不少物理學(xué)家為光的波粒二象性感到困惑時，德國物理學(xué)家德布羅意于1924年提出一個假說，認(rèn)為一切微觀粒子都具有波粒二象性，并把標(biāo)志波動性質(zhì)的量3和k通過一個普適常數(shù)用標(biāo)志粒子性質(zhì)的&和p聯(lián)系起來。&=bw p=hk h=h/2n普朗克常數(shù)是物理中的基本常數(shù)，它的量綱是［時間］?［能量］=［長度］?［動量］=［角動量］這樣一個物理量通常成為作用量，因而普朗克常數(shù)也稱為基本的作用量子。這個作用量子成為判別采用經(jīng)典描述或量子描述的判據(jù)。當(dāng)一個物質(zhì)系統(tǒng)的任何具有作用量綱的物理量具有與普朗克常數(shù)相比擬的數(shù)值時，這個物質(zhì)系統(tǒng)就是量子系統(tǒng)。反之，如果物質(zhì)系統(tǒng)的每一個具有作用量綱的物理量用普朗克常數(shù)來量度都非常大時，這個系統(tǒng)就可以用經(jīng)典力學(xué)來研究。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)稱為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)來表征。這組量子數(shù)的數(shù)目等于離子的自由度數(shù)。微觀粒子的運(yùn)動不是軌道運(yùn)動，這一點(diǎn)我們可以作如下解釋：繼德布羅意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波動的二象性時，得到一個重要的結(jié)果：微觀粒子不可能同時具有確定的動量和坐標(biāo)。即用4q表示粒子坐標(biāo)的不確定值和4p表示粒子動量不確定值，在量子力學(xué)所容許的最精確的描述，4q與4p的乘積滿足4q4曠h稱為測不準(zhǔn)關(guān)系或?qū)懗葾tAE?h它揭示：量子在客觀上不能同時具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動量，因此這生動地說明微觀粒子的運(yùn)動不是軌道運(yùn)動，是微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)不是用坐標(biāo)和動量來描述的，而是用波函數(shù)或量子數(shù)來描述的。值得指出的是：在經(jīng)典力學(xué)的理論中，粒子可以同時具有確定的坐標(biāo)和動量，這并不是在實(shí)際上我們可以任意的精確度做到這一點(diǎn)，而是說在經(jīng)典的理論中，原則上不允許對這種精確度有任何限制。特別地在經(jīng)典范圍內(nèi)，波動量很小，以致于探測不到。因此認(rèn)為物質(zhì)有確定的坐標(biāo)和動量，這并不與測不準(zhǔn)關(guān)系發(fā)生矛盾。具體事例空間中一個自由運(yùn)動的粒子，假設(shè)此粒子限制在一個邊長為L的方盒子中運(yùn)動。在量子力學(xué)中粒子的運(yùn)動滿足薛定譚方程：-2mv2必）=M）其中二XI+二XI+yj+zk)上式可變成為：2屮(r)=P-屮(r)解為屮6)=cexp—p-r

2m 2m 力上式可變成為：根據(jù)周期性邊界條件，在點(diǎn)A(J2,yZ和A‘C-l/2,y,z) (r)的自己i(L )i(L )cexp——p+p+pzhl2xyz丿應(yīng)相同。即：i(1)=cexp-pL+p+pzh12x y z丿expf衲l]=1得p=l力x丿2方兀L同理可得：p=—n和p=2兀nyLyzLz以上的式子表示，動量只能取分立的值。p2 2力2兀2n2:￡ =x= xnx 2m m L2總能量：￡= C2±n2±n2)mL2xyz以上的式子表示，能量是分立的。這里nx，ny，nz即為量子數(shù)，量子態(tài)即由這些量子數(shù)來描述，對于一確定的能量&，nx，ny，nz可取不同的值，因此，對于一確定的能量來說，系統(tǒng)有許多量子態(tài)。經(jīng)典粒子的動量和能量是連續(xù)的，而在量子情形中，動量和能量是分立的，這是局域在有理空間范圍的量子粒子的特性。一維的情況：2h一維的情況：2hnp=nxLx2力2兀2￡= n2mL2 x相鄰兩個能級的間距為：A￡=￡相鄰兩個能級的間距為：A￡=￡-￡n+1x=Lh2兀2(2n+1)mL2 x顯然，若S8時，△&T0，即能量此時是連續(xù)的。粒子的狀態(tài)與g空間體積元的對應(yīng)關(guān)系在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)所討論的某些問題中，普朗克常數(shù)與有關(guān)的物理量相比是一個較小的量，這時，可以利用半經(jīng)典近似認(rèn)為粒子是沿著滿足量子化條件的那些軌道做軌道運(yùn)動的。這些量子化軌道與量子描述中的量子狀態(tài)相對應(yīng)。由測不準(zhǔn)關(guān)系可知，坐標(biāo)和動量不能同時取確定的值，所以量子態(tài)不能用g空間的一點(diǎn)來描述，而應(yīng)用一個體積元，稱為相格。相格的大小為血自由度為r的粒子，相格大小為：Aq…AqAp…Ap二hr1 r1 r如果將g空間劃分為若干個體積元△31（1=1,2…），則在體積元△31中粒子可能的狀態(tài)數(shù)為431/h 。例如：三維自由粒子的一個狀態(tài)對應(yīng)于g空間中體積為h的一個體積元，以V表示容器的體積，在體積V內(nèi)，三維自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：Vdpxd匕h3一般常用動量空間中的球極坐標(biāo)p，，申，來描寫自由粒子的動量p，B，卩與p、p、p的關(guān)系為：p=psin0cosp；p=psin0sinp；p=pcos0xyz x y z用球極坐標(biāo)，動量空間的體積元為： p2sin0dpd0dp在體積V內(nèi)，動量在p到p+dp，e到0+de，申到卩+dp，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為Vp2sin0dpd0dph3在體積V內(nèi)，動量絕對值在p到p+dp的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：Vp2dpJ2dp卜sin0d0 4nVp2dp00=h3 h3以能量形式表示，即E=p/2m ，因此在V內(nèi)，在E到E