理論力學(xué) 拉格朗日方程

第十七章拉格朗日方程1理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

本章在達(dá)朗伯原理和虛位移原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉格朗日第二類方程（簡稱拉格朗日方程）。動力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程是研究動力學(xué)問題的有力手段，在解決非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題時，顯得十分簡捷、規(guī)范。2理論力學(xué)拉格朗日方程§17–1動力學(xué)普遍方程

§17–2拉格朗日第二類方程

§17–3拉格朗日第二類方程的積分第十七章拉格朗日方程3理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，第i個質(zhì)點

若質(zhì)點系受有理想約束，將作為主動力處理，則：解析式：§17-1動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程。4理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

例1

三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑動，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別為M和m，斜面傾角為

。試求三棱柱A的加速度。

解：研究兩三棱柱組成的系統(tǒng)。該系統(tǒng)受理想約束，具有兩個自由度。

在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各質(zhì)點在任一瞬時受到的主動力與慣性力在任意虛位移上所作的虛功之和為零。5理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)由動力學(xué)普遍方程：

系統(tǒng)為二自由度，取互不相關(guān)的為獨立虛位移，且，所以解得：6理論力學(xué)拉格朗日方程動力學(xué)§17-2拉格朗日第二類方程

設(shè)質(zhì)點系有n個質(zhì)點，受s個完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束，自由度

k=3n-s

。下面推導(dǎo)以廣義坐標(biāo)表示的動力學(xué)普遍方程的形式。質(zhì)點。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為，則稱為廣義速度。7理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)代入質(zhì)點系動力學(xué)普遍方程，得：8理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)稱 為廣義力

廣義慣性力9理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)廣義慣性力可改變?yōu)橛觅|(zhì)點系的動能表示,因此為簡化計算,需要用到以下兩個關(guān)系式：下面來推導(dǎo)這兩個關(guān)系式：第一式只須將(b)式兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)即可得到。10理論力學(xué)拉格朗日方程

第二式可比較(a)式先對ql求偏導(dǎo)數(shù)再對t求導(dǎo)數(shù)與(b)式對ql求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)論得出。動力學(xué)拉格朗日第二類動力學(xué)方程，簡稱拉格朗日方程。11理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)如果作用于質(zhì)點系的力是有勢力，則廣義力可用質(zhì)點系的勢能來表達(dá)。而拉氏方程為：引入拉格朗日函數(shù)：L=T-U

則：保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。12理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

應(yīng)用拉氏方程解題的步驟：

1.判定質(zhì)點系的自由度k，選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意：不能遺漏獨立的坐標(biāo)，也不能有多余的（不獨立）坐標(biāo)。

2.計算質(zhì)點系的動能T，表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

3.計算廣義力，計算公式為：或

若主動力為有勢力，須將勢能U表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

4.建立拉氏方程并加以整理，得出k個二階常微分方程。

5.求出上述一組微分方程的積分。13理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

[例1]

水平面內(nèi)運動的行星齒輪機(jī)構(gòu)。均質(zhì)桿OA：重P，可繞O點轉(zhuǎn)動；均質(zhì)小齒輪：重Q，半徑r

，沿半徑為R的固定大齒輪滾動。系統(tǒng)初始靜止，系桿OA位于圖示OA0位置。系桿OA受大小不變力偶M作用后，求系桿OA的運動方程。

所受約束皆為完整、理想、定常的，可取OA桿轉(zhuǎn)角

為廣義坐標(biāo)。解：圖示機(jī)構(gòu)只有一個自由度14理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)15理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)代入拉氏方程：積分，得：故：代入初始條件，t=0時，得16理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)[例2]

與剛度為k的彈簧相連的滑塊A，質(zhì)量為m1,可在光滑水平面上滑動?；瑝KA上又連一單擺，擺長l，擺錘質(zhì)量為m2，試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。解：將彈簧力計入主動力，則系統(tǒng)成為具有完整、理想約束的二自由度系統(tǒng)。保守系統(tǒng)。取x,

為廣義坐標(biāo)，x軸

原點位于彈簧自然長度位置，

逆時針轉(zhuǎn)向為正。17理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)系統(tǒng)動能：18理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

系統(tǒng)勢能：（以彈簧原長為彈性勢能零點，滑塊A所在平面為重力勢能零點）拉格朗日函數(shù)：19理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)代入：并適當(dāng)化簡得：20理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程。上式為系統(tǒng)在平衡位置(x=0,

=0)附近微幅運動的微分方程。

若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運動，此時

<<1o,cos

1,sin

，略去二階以上無窮小量，則21理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)§17-3拉格朗日第二類方程的積分

對于保守系統(tǒng)，可以得到拉格朗日方程的某些統(tǒng)一形式的首次積分，從而使得保守系統(tǒng)動力學(xué)問題的求解過程進(jìn)一步簡化。保守系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分包括：能量積分、循環(huán)積分。一、能量積分設(shè)系統(tǒng)所受的主動力是有勢力，且拉格朗日函數(shù)L=T-U中不顯含t，則22理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)廣義能量積分。

保守系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)不顯含時間t時，保守系統(tǒng)的廣義能量守恒?？梢宰C明，當(dāng)系統(tǒng)約束為定常時，上式為=023理論力學(xué)拉格朗日方程系統(tǒng)的廣義能量積分式就是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒方程式。

動力學(xué)二、循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標(biāo)qr

,則該坐標(biāo)稱為保守系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)或可遺坐標(biāo)。當(dāng)為系統(tǒng)的循環(huán)坐標(biāo)時，必有于是拉氏方程成為24理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

積分得：循環(huán)積分因L=T-U，而U中不顯含，故上式可寫成Pr稱為廣義動量，因此循環(huán)積分也可稱為系統(tǒng)的廣義動量積分。保守系統(tǒng)對應(yīng)于循環(huán)坐標(biāo)的廣義動量守恒。一個系統(tǒng)的能量積分只可能有一個；而循環(huán)積分可能不止一個，有幾個循環(huán)坐標(biāo)，便有幾個相應(yīng)的循環(huán)積分。能量積分和循環(huán)積分都是由保守系統(tǒng)拉格朗日方程積分一次得到的，它們都是比拉格朗日方程低一階的微分方程。25理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

[例3]楔形體重P，斜面傾角

，置于光滑水平面上。均質(zhì)圓柱體重Q，半徑為

r

，在楔形體的斜面上只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，且圓柱體位于斜面最高點。試求：(1)系統(tǒng)的運動微分方程；(2)楔形體的加速度；(3)系統(tǒng)的能量積分與循環(huán)積分。解：研究楔形體與圓柱體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)受理想、完整、定常約束，具有兩個自由度。取廣義坐標(biāo)為x,s

；各坐標(biāo)原點均在初始位置。26理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)系統(tǒng)的動能：系統(tǒng)的勢能：取水平面為重力勢能零點。拉格朗日函數(shù)：27理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)代入保守系統(tǒng)拉氏方程，并適當(dāng)化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。（d）解得楔形體的加速度為拉格朗日函數(shù)L中不顯含t

，故系統(tǒng)存在能量積分。28理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)當(dāng)t=0時，，x=

s=0,代入上式中，得

29理論力學(xué)拉格朗日方程

動力學(xué)

由于拉格朗日函數(shù)L中不顯含廣義坐標(biāo)x，故

x

為系統(tǒng)循環(huán)坐標(biāo)，故有循環(huán)積分：t=0時