高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點突破講與練 第9章 第2節(jié)　第1課時　系統(tǒng)知識 圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系 (含解析)

版權(quán)所有：中國好課堂第二節(jié)圓與方程[考綱要求]1．掌握確定圓的幾何要素．2．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．3．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系．4．能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系．5．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．6．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．第1課時系統(tǒng)知識——圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2．點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內(nèi)[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號，只有大于0時才表示圓．[謹(jǐn)記常用結(jié)論]eq\a\vs4\al(,若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：,1當(dāng)F＝0時，圓過原點.,2當(dāng)D＝0，E≠0時，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時，圓心在x軸上.,3當(dāng)D＝F＝0，E≠0時，圓與x軸相切于原點；E＝F＝0，D≠0時，圓與y軸相切于原點.,4當(dāng)D2＝E2＝4F時，圓與兩坐標(biāo)軸相切.,)eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P124A組T4])圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1，1)和B(1,3)，則圓C的方程為____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.eq\a\vs4\al([教材改編題])經(jīng)過點(1,0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點的圓的方程為________________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝13.eq\a\vs4\al([教材改編題])圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24.eq\a\vs4\al([易錯題])已知圓的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定點為A(1,2)，要使過定點A的圓的切線有兩條，則a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))5．若坐標(biāo)原點在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－eq\r(2)，eq\r(2))6．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________________．答案：x2＋y2－2x＝0直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點Δ＜0Δ＝0Δ＞0幾何觀點d＞rd＝rd＜r2．圓的切線(1)過圓上一點的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點M(x0，y0)的切線方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)過圓外一點的圓的切線過圓外一點M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.(3)切線長①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一點M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點弦長：利用等面積法，切線長a與半徑r的積的2倍等于點M與圓心的距離d與兩切點弦長b的積，即b＝eq\f(2ar,d).[提醒]過一點求圓的切線方程時，要先判斷點與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．3．圓的弦問題直線和圓相交，求被圓截得的弦長通常有兩種方法：(1)幾何法：因為半弦長eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.[謹(jǐn)記常用結(jié)論]過直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0.,eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([教材改編題])若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.eq\a\vs4\al([教材改編題])直線y＝ax＋1與圓x2＋y2－2x－3＝0的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．隨a的變化而變化解析：選B∵直線y＝ax＋1恒過定點(0,1)，又點(0,1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內(nèi)部，故直線與圓相交．3.eq\a\vs4\al([教材改編題])已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是________．解析：由題意知點M在圓外，則a2＋b2＞1，圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，故直線與圓相交．答案：相交4.eq\a\vs4\al([易錯題])過點(2,3)且與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線的方程為________________．解析：當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)圓的切線方程為y＝k(x－2)＋3，由圓心(1,0)到切線的距離為1，得k＝eq\f(4,3)，所以切線方程為4x－3y＋1＝0；當(dāng)切線的斜率不存在時，易知直線x＝2是圓的切線，所以所求的直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)為圓心，且與直線x－y＋3＝0相切的圓的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點，則|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圓心C(0，－1)，半徑r＝2.圓心C(0，－1)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及兩圓相切時，沒特別說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論．[謹(jǐn)記常用結(jié)論]圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時：1將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；2兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；3x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0表示過兩圓交點的圓系方程不包括C2.eq\a\vs4\al([小題練通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P133A組T9])圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的長為________．答案：2eq\r(2)2.eq\a\vs4\al([教材改編題])若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則實數(shù)a＝________.答案：±2eq\r(5)或03.eq\a\vs4\al([教材改編題])圓x2＋y2＝r2與圓(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，則半徑r＝________.解析：由題意，得2r＝eq\r(32＋－12)，所以r＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)4.eq\a\vs4\al([易錯題])若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：[1,121]5．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：選C圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故選C.6．與圓C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：選A兩圓分別化為標(biāo)準(zhǔn)形式為C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，則兩圓圓心距|C1C2|＝eq\r(7－32＋[1－－2]2)＝5，等于兩圓半徑差，故兩圓內(nèi)切．所以它們只有一條公切線．故選A.[課時跟蹤檢測]1．(2019·廣西陸川中學(xué)期末)圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置關(guān)系是()A．內(nèi)含 B．外離C．外切 D．相交解析：選D圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝9，兩圓的圓心距為eq\r(2＋12＋2＋42)＝3eq\r(5)，兩圓的半徑為r1＝5，r2＝3，滿足r1＋r2＝8＞3eq\r(5)＞2＝r1－r2，故兩圓相交．故選D.2．(2019·閩侯第八中學(xué)期末)若圓Ω過點(0，－1)，(0,5)，且被直線x－y＝0截得的弦長為2eq\r(7)，則圓Ω的方程為()A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16解析：選A由于圓過點(0，－1)，(0,5)，故圓心在直線y＝2上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,2)，由弦長公式得eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(a2＋5－22－7)，解得a＝0或a＝－4.故圓心為(0,2)，半徑為3或圓心為(－4,2)，半徑為5，故選A.3．(2019·北京海淀期末)已知直線x－y＋m＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，且△OAB為正三角形，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(6),2)或－eq\f(\r(6),2)解析：選D由題意得圓O：x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r＝1.因為△OAB為正三角形，則圓心O到直線x－y＋m＝0的距離為eq\f(\r(3),2)r＝eq\f(\r(3),2)，即d＝eq\f(|m|,\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝eq\f(\r(6),2)或m＝－eq\f(\r(6),2)，故選D.4．(2019·南寧、梧州聯(lián)考)直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則直線的傾斜角為()A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B.－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)解析：選A由題知，圓心(2,3)，半徑為2，所以圓心到直線的距離為d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1.即d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝1，所以k＝±eq\f(\r(3),3)，由k＝tanα，得α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).故選A.5．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))2＋(y－1)2＝1解析：選A由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)(a＞0)，又由圓與直線4x－3y＝0相切可得eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.6．(2019·西安聯(lián)考)直線y－1＝k(x－3)被圓(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦長等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D.eq\r(5)解析：選C圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的圓心C(2,2)，半徑為2，直線y－1＝k(x－3)，∴此直線恒過定點P(3,1)，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時，圓心C(2,2)與定點P(3,1)的連線垂直于弦，弦心距為eq\r(2－32＋2－12)＝eq\r(2)，所截得的最短弦長為2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2)，故選C.7．(2019·山西晉中模擬)半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x＝0和x＋y＝2eq\r(2)均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4D．(x－2eq\r(2))2＋(y＋2eq\r(2))2＝4解析：選C設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，－a)(a＞0)，則圓心到直線x＋y＝2eq\r(2)的距離d＝eq\f(|2－a－2\r(2)|,\r(2))＝2，∴a＝2，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故選C.8．(2018·唐山二模)圓E經(jīng)過A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)三點，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)解析：選C根據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a＞0)，半徑為r，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－22＝r2，,a2＋0＋12＝r2，,a2＋0－12＝r2，))解得a＝eq\f(3,4)，r2＝eq\f(25,16)，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).故選C.9．(2018·合肥二模)已知圓C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O為坐標(biāo)原點，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：選C因為圓C的圓心的坐標(biāo)C(6,8)，所以O(shè)C的中點坐標(biāo)為E(3,4)，所求圓的半徑|OE|＝eq\r(32＋42)＝5，故以O(shè)C為直徑的圓的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.故選C.10．(2018·荊州二模)圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是()A．2 B．－2C．1 D．－1解析：選B∵圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，∴直線y＝kx＋3過圓心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故選B.11．(2019·廈門質(zhì)檢)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋eq\r(2))2＝4 D．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝4解析：選A由題意得，圓C的半徑為eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，圓心坐標(biāo)為(1，eq\r(2))，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2，故選A.12．(2019·孝義一模)已知P為直線x＋y－2＝0上的點，過點P作圓O：x2＋y2＝1的切線，切點為M，N，若∠MPN＝90°，則這樣的點P有()A．0個 B．1個C．2個 D．無數(shù)個解析：選B連接OM，ON，則OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四邊形OMPN為正方形，∵圓O的半徑為1，∴|OP|＝eq\r(2)，∵原點(圓心)O到直線x＋y－2＝0的距離為eq\r(2)，∴符合條件的點P只有一個，故選B.13．(2019·北京東城聯(lián)考)直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則“k＝1”是“|AB|＝eq\r(2)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，則|AB|＝2eq\r(1－d2)＝2eq\r(1－\f(1,1＋k2))＝2eq\r(\f(k2,1＋k2))，當(dāng)k＝1時，|AB|＝2eq\r(\f(1,2))＝eq\r(2)，即充分性成立；若|AB|＝eq\r(2)，則2eq\r(\f(k2,1＋k2))＝eq\r(2)，即k2＝1，解得k＝1或k＝－1，即必要性不成立，故“k＝1”是“|AB|＝eq\r(2)”的充分不必要條件，故選A.14．已知圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1與x軸切于A點，與y軸切于B點，設(shè)劣弧eq\x\to(AB)的中點為M，則過點M的圓C的切線方程是________________．解析：因為圓C與兩軸相切，且M是劣弧eq\x\to(AB)的中點，所以直線CM是第二、四象限的角平分線，所以斜率為－1，所以過M的切線的斜率為1.因為圓心到原點的距離為eq\r(2)，所以|OM|＝eq\r(2)－1，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1，1－\f(\r(2),2)))，所以切線方程為y－1＋eq\f(\r(2),2)＝x－eq\f(\r(2),2)＋1，整理得x－y＋2－eq\r(2)＝0.答案：x－y＋2－eq\r(2)＝015．(2018·棗莊二模)已知圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，且圓心在直線y＝－x＋2上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．解析：∵圓M的圓心在y＝－x＋2上，∴設(shè)圓心為(a,2－a)，∵圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，∴圓心到直線x－y＝0的距離等于圓心到直線x－y＋4＝0的距離，即eq\f(|2a－2|,\r(2))＝eq\f(|2a＋2|,\r(2))，解得a＝0，∴圓心坐標(biāo)為(0,2)，圓M的半徑為eq\f(|2a－2|,\r(2))＝eq\r(2)，∴圓M的標(biāo)