第七章平行線的證明單元測(cè)試（含解析）

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第七章平行線的證明（單元測(cè)試）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．下列命題是假命題的是（）

A．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

B．負(fù)數(shù)沒有立方根；

C．在同一平面內(nèi)，若，，則

D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

2．如圖，下列條件中不能判斷的是（）

A．B．C．D．

3．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角之比為1：3：5，則最小的角的度數(shù)為（）

A．20°B．30°C．40°D．60°

4．對(duì)于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（）

A．B．，

C．，D．，

5．如圖，，平分交于點(diǎn)E，若，則（）

A．B．

C．D．

6．在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)完全相同的三角板按如圖擺放（直角邊重合），可以畫出兩條互相平行的直線，這樣操作的依據(jù)是（）

A．兩直線平行，同位角相等B．同位角相等，兩直線平行

C．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

7．如圖，點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)是的延長線上一點(diǎn)，且，則下列判斷不一定成立的是（）

A．B．C．D．

8．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于()

A．40°B．60°C．80°D．140°

9．如圖，，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足為F，則∠ABE與∠EDC的數(shù)量關(guān)系是（）

A．∠EDC－∠ABE＝90°B．∠ABE＋∠EDC＝180°

C．∠ABE＝∠EDCD．∠ABE＋∠EDC＝90°

10．將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，得到下列結(jié)論：

①∠2=∠3；

②如果∠3=60°，則AC∥DE；

③如果BC∥AD，則∠2=45°；

④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．

其中正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上

11．下列命題中，是真命題的是．（填序號(hào)）

①對(duì)頂角相等；

②內(nèi)錯(cuò)角相等；

③三條直線兩兩相交，總有三個(gè)交點(diǎn)；

④若，，則．

12．如圖，寫出一個(gè)能判定AD∥BC的條件．

13．如圖，AB∥CD，CB平分∠ABD，若∠ABC＝40°，則∠D的度數(shù)為．

14．如圖所示，過點(diǎn)P畫直線a的平行線b的作法的依據(jù)是．

15．已知中，，是邊上的高，，則°．

16．某人在練車場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是．（填序號(hào)）

①第一次向左拐40°，第二次向右拐40°；②第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

③第一次向左拐70°，第二次向右拐110°；④第一次向左拐70°，第二次向左拐110°

17．如圖，已知AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，ABBC于B，過點(diǎn)B作BDAM于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分DBC，BE平分ABD，若FCBNCF180，BFC3DBE，則EBC的度數(shù)為．

18．如圖，在直角三角形ABC中，點(diǎn)P、Q分別是AC、BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MP、NQ分別平分∠APQ和∠BQP，交AB于點(diǎn)M、N，MR、NR又分別平分∠BMP和∠ANQ，兩條角平分線交于點(diǎn)R，則∠R＝°．

三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．如圖，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，求證：∠ACB＝∠DEB．

20．如圖，直線，被直線，所截，，直線分別交和于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線上，，求證：．

請(qǐng)?jiān)谙铝欣ㄌ?hào)中填上理由：

證明：因?yàn)椋ㄒ阎?，所以（_______）．

又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以，即?/p>

所以_______（同位角相等，兩直線平行），所以（_______）．

21．如圖，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC邊上的高，D為垂足，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，DF⊥AE，求∠ADF的度數(shù)．

22．如圖，已知點(diǎn)E在直線DC上，射線EF平分∠AED，過E點(diǎn)作EB⊥EF，G為射線EC上一點(diǎn)，連結(jié)BG，且．

（1）求證：；

（2）若，試判斷AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由．

23．如圖，在△ABC中，，，CF平分交AB于點(diǎn)E．

（1）求的度數(shù)：

（2）若于點(diǎn)D，．判斷△CFD的形狀，并說明理由．

24．如圖，點(diǎn)，分別在，上，，垂足為點(diǎn)已知，．

(1)求證：ABCD；

(2)若，，，求點(diǎn)到直線的距離．

25．如圖，在，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．

(1)若，，求，的度數(shù)；

(2)若，，請(qǐng)直接用含，的式子表示，．

26．如圖，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．

(1)如圖1，求證：AB∥CD；

(2)如圖2，點(diǎn)F為線段AC上一點(diǎn)，連接EF，求證：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；

(3)如圖3，在（2）的條件下，在射線AB上取點(diǎn)G，連接EG，使得∠GEF＝∠C，當(dāng)∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF時(shí)，求∠C的度數(shù)．

參考答案：

1．B

【分析】根據(jù)垂直公理、立方根的定義、平行線的判定進(jìn)行判斷即可．

【詳解】A、在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，為真命題；

B、負(fù)數(shù)有立方根，錯(cuò)誤，為假命題；

C、在同一平面內(nèi)，若，，則，正確，為真命題；

D、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確，為真命題；

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理、垂直公理、立方根的定義、平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用垂直公理、平行線的判定和性質(zhì)解決問題．

2．B

【分析】由題意根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．

【詳解】解：A、∠2=∠6可以判定a，b平行，不符合題意；

B、∠1=∠4，不能判定a，b平行，符合題意；

C、∠4+∠6=180°，可以判斷a、b平行，不符合題意；

D、∠3+∠5=180°，可以判定a，b平行，不符合題意．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，注意掌握同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

3．A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．

【詳解】三角形的最小的角＝×180°＝20°，

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是記住三角形的內(nèi)角和為180°．

4．A

【分析】判斷命題是假命題，結(jié)論錯(cuò)誤即可，由此即可求解．

【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，但，

∴命題“如果，那么”是假命題，

故選：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，掌握命題真假的判定方法是理解命題的條件與結(jié)論的關(guān)系，即掌握相關(guān)定理，命題的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5．B

【分析】先根據(jù)平角的定義及角平分線的性質(zhì)求得∠EAC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．

【詳解】∵∠1＝64°

∴∠BAC＝180°－64°＝116°

∵AE平分∠BAC

∴∠EAC＝∠BAC＝58°

∵AC∥BD

∴∠2＝180°－∠EAC＝122°

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查平角的定義，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角的平分線把角分成相等的兩個(gè)小角，且都等于大角的一半．

6．D

【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行直接得到答案．

【詳解】解：如圖，

由題意得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角的定義及平行線的判定定理．

7．C

【分析】先根據(jù)平行線的判定得到ADBG，ABDC，再利用平行線的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、∠B＝∠DCG，ABDC（同位角相等，兩直線平行），故錯(cuò)誤；

B、，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故錯(cuò)誤；

C、無法判斷，不一定成立，故正確；

D、ABDC，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），故錯(cuò)誤；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn)．

8．C

【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得從而解題．

【詳解】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得

．

又，，

，

∴，

故選：C

【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了平角的定義、折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．

9．A

【分析】過F點(diǎn)作FGAB，可得FGCD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BFG=∠ABF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠DFG+∠CDF=180°，再根據(jù)垂直的定義和角平分線的定義即可解答．

【詳解】解：過F點(diǎn)作FGAB，

∵ABCD，

∴FGCD，

∴∠BFG=∠ABF，∠DFG+∠CDF=180°，

∵BF⊥DE，

∴∠BFD=90°，

∵BF平分∠ABE，

∴∠ABE=2∠ABF，

∴∠BFG+∠DFG+∠CDF=∠ABF+180°，

∴90°+∠CDE=∠ABE+180°，

即∠EDC-∠ABE=90°．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，作輔助線，利用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．

10．C

【分析】①由題知：∠DAE=∠2+∠3=90°，但∠2=∠3無法得證；

②欲證AC∥DE，需證∠1=∠E，即證∠1=60°；

③欲求∠2，可求∠3；

④欲證∠4=∠C，可證AC∥DE，即證∠1=∠E=60°．

【詳解】解：①由題知：∠DAE=∠2+∠3=90°，但∠2=∠3無法得證，

故①不正確；

②由題意知：∠E=60°，∠CAB=∠1+∠2=90°，∠EAD=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3=60°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，故②正確；

③由題意知：∠B=45°，∠EAD=∠2+∠3=90°，

∵BC∥AD，

∴∠B=∠3=45°，

∴∠2=45°，故③正確；

④∵∠CAD=∠EAD+∠1=150°，∠EAD=90°，∠E=60°，

∴∠1=60°，

∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠C=∠4，故④正確；

綜上：正確的有②③④，共3個(gè)．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．

11．①④##④①

【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)兩條直線相交的定義可判斷③；根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可判斷④，據(jù)此可作出判斷．

【詳解】解：①對(duì)頂角相等，正確，是真命題，符合題意；

②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

③三條直線兩兩相交，總有三個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

④若，，則，正確，是真命題，符合題意，

正確的有①④．

故答案為：①④．

【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題真假，涉及對(duì)頂角相等、平行線的性質(zhì)、直線相交的交點(diǎn)問題，解答的關(guān)鍵是在判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，需要熟知涉及到的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，并對(duì)每一個(gè)命題作出正確的判斷．

12．∠A=∠CBE

【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．

【詳解】解：∠A=∠CBE，

∵∠A=∠CBE，

∴AD∥BC，

故答案為：∠A=∠CBE（答案不唯一）．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．

13．100°

【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)即可求出∠D的度數(shù)．

【詳解】解：∵CB平分∠ABD，∠ABC＝40°，

∴∠ABD＝2∠ABC＝80°，

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠D＝180°，

∴∠D＝180°﹣80°＝100°，

則∠D的度數(shù)為100°．

故答案為：100°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

14．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定方法解決問題即可．

【詳解】解：由作圖可知，

，

（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行），

故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖，平行線的判定等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．

15．80或40##40或80

【分析】分為兩種情況，畫出圖形，求出的度數(shù)，即可得出答案．

【詳解】解：分為兩種情況：①如圖1，

為邊上的高，

，

，

，

，

；

②如圖2，

為邊上的高，

，

，

，

，

．

故答案為：80或40．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于．

16．④

【分析】作出圖形，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出即可得解．

【詳解】解：①、第一次向左拐，第二次向右拐，行駛方向相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②、第一次向左拐，第二次向右拐，行駛路線相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③、第一次向左拐，第二次向右拐，行駛路線相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④、如圖，第一次向左拐，，第二次向左拐，，

所以，，所以，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反．

故答案是：④．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

17．105°##105度

【分析】先過點(diǎn)作，根據(jù)同角的余角相等，得出，根據(jù)角平分線的定義，得出，再設(shè)，，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，最后解方程組即可得到，進(jìn)而得出．

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，

，

，

即，

又，

，

，

平分，平分，

，，

，

設(shè)，，

則，，，，

，

，，

，

中，由，

可得，①

由，

可得，②

由①②聯(lián)立方程組，

解得，

，

．

故答案為：105°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．

18．67.5°

【分析】直接根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、三角形的內(nèi)角和即可求解．

【詳解】解：∵是直角三角形

∴

∵M(jìn)P、NQ分別平分∠APQ和∠BQP

∴

∴

∵M(jìn)R、NR又分別平分∠BMP和∠ANQ

∴

∴

故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的外角性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、三角形的內(nèi)角和，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

19．見解析

【分析】利用鄰補(bǔ)角定義得到∠2與∠BDC互補(bǔ)，再由∠1與∠2互補(bǔ)，利用同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到EF與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠DEF＝∠A，等量代換得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到DE與AC平行，利用兩直線平行同位角相等即可得證．

【詳解】證明：∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，

∴∠1＝∠BDC，

∴EF∥AB，

∴∠DEF＝∠BDE，

∵∠DEF＝∠A，

∴∠BDE＝∠A，

∴DE∥AC，

∴∠ACB＝∠DEB．

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

20．兩直線平行，同位角相等；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

【分析】要證明與互補(bǔ)，需證明，可通過同位角與（或與相等來實(shí)現(xiàn)．

【詳解】證明：因?yàn)椋ㄒ阎?/p>

所以兩直線平行，同位角相等）．

又因?yàn)椋ㄒ阎?/p>

所以，

即，

所以（同位角相等，兩直線平行），

所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

故答案為：兩直線平行，同位角相等；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判定．

21．72°

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)計(jì)算即可；

【詳解】∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．

∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，

∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．

∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合角平分線的性質(zhì)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

22．（1）證明見解析；（2）AB∥EF，理由見解析．

【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系和平角的定義可得∠DEF+∠BEG=90°，又∠EBG+∠BEG=90°結(jié)論可證；

（2）由（1）和角平分線的定義可得∠A=∠AEF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證明．

【詳解】證明：（1）∵EB⊥EF，

∴∠FEB=90°，

∴∠DEF+∠BEG=180°-90°=90°，又∠EBG+∠BEG=90°，

∴∠DEF=∠EBG；

（2）AB∥EF，理由如下：

∵EF平分∠AED，

∴∠AEF=∠DEF=，

∵∠EBG=∠A，∠DEF=∠EBG，

∴∠A=∠AEF，

∴AB∥EF．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理，同角（或等角）的余角相等，角平分線的有關(guān)證明．能根據(jù)同角（或等角）的余角相等完成角度之間的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．

23．（1）；（2）是直角三角形，理由見解析．

【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到的度數(shù)．

（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角三角形的性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)．

【詳解】解：（1）中，，，

，

又平分，

，

即；

（2）是直角三角形，

理由：于點(diǎn)D，，

，

又，

，

又，

，

是直角三角形．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是求出各個(gè)角的度數(shù)．

24．(1)見解析

(2)

【分析】（1）應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解即可得出答案；

（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)等面積法可得，代入計(jì)算即可得出的值，即可得出答案．

【詳解】（1）證明：因?yàn)橐阎?/p>

所以CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），

因?yàn)橐阎?/p>

所以垂直的性質(zhì)，

所以垂直的定義，

又因?yàn)槠浇堑亩x．

即，

又因?yàn)椋?/p>

所以同角的余角相等，

所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；

（2）解：因?yàn)?，且，，?/p>

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為．

所以，

所以，

即，

所以點(diǎn)到直線的距離為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離，熟練應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．

25．(1)；

(2)，，

【分析】（1）根據(jù)已知條件易求，再利用直角三角形的性質(zhì)可求解，的度數(shù)，由角平分線的定義可求解的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解的度數(shù)；

（2）類比（1）的推理方式可求解．

【詳解】（1）解：，，

，