人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （三角形的內(nèi)角）三角形課件教學(xué)

第十一章

三角形三角形的內(nèi)角

教學(xué)目標(biāo)2.會(huì)運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算.（難點(diǎn)）1.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.（重點(diǎn)）3.了解直角三角形兩個(gè)銳角的關(guān)系.（重點(diǎn)）4.掌握直角三角形的判定.（難點(diǎn)）5.會(huì)運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對(duì)，我有一個(gè)鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.一天，三類三角形通過對(duì)自身的特點(diǎn)，講出了自己對(duì)三角形內(nèi)角和的理解，請(qǐng)同學(xué)們作為小判官給它們?cè)u(píng)判一下吧.情境引入新課導(dǎo)入我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀、大小無關(guān)，所以它們的說法都是錯(cuò)誤的.思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？新課導(dǎo)入三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.觀測(cè)的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識(shí)來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？探究：在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.一、三角形的內(nèi)角和定理的證明新知探究驗(yàn)證結(jié)論三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點(diǎn)A作l∥BC，∴∠B=∠1.(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12新知探究證法2：延長(zhǎng)BC到D，過點(diǎn)C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12新知探究CBAEDF證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同學(xué)們還有其他的方法嗎？新知探究思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.CAB12345lACB12345lP6mCBA12新知探究知識(shí)要點(diǎn)在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線新知探究例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.二、三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用新知探究【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，

求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.新知探究例2如圖，在△ABC中，D在BC的延長(zhǎng)線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.新知探究基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.總結(jié)歸納4新知探究例3

在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.新知探究【變式題】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．解析：根據(jù)已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE，即可求得∠DCE的度數(shù)．比例關(guān)系可考慮用方程思想求角度.新知探究解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.新知探究②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是_________三角形.

練一練：①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,則∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°新知探究北.AD北.CB.東E例4如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度？三角形的內(nèi)角和定理也常常用在實(shí)際問題中.新知探究解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.北.AD北.CB.東E新知探究【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數(shù).解：如圖，由題意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．DE新知探究問題1：如下圖所示是我們常用的三角板,兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°問題引導(dǎo)三、直角三角形的兩個(gè)銳角互余新知探究問題2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？在Rt△ABC中，因?yàn)椤螩=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A

+∠B+∠C=90°,即∠A

+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？新知探究ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．應(yīng)用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A

+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以寫成Rt△ABC．總結(jié)歸納新知探究方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如圖

，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠D有什么關(guān)系？圖典例精析┐┐新知探究解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如圖

，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與

∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.圖與圖有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？┐新知探究例2

如圖，∠C=∠D=90°,AD，BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.新知探究解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.【變式題】如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A與∠BFC又有什么關(guān)系？為什么？┐┐新知探究思考：通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D總結(jié)歸納┐┐┐新知探究問題：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.四、有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形BCA新知探究ABC應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

總結(jié)歸納新知探究典例精析例3

如圖，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：是.理由：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.新知探究例4

如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.課堂小結(jié)三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于180°直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形課堂小測(cè)1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=30x=50課堂小測(cè)2.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°課堂小測(cè)3.如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．課堂小測(cè)4.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度數(shù).解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.課堂小測(cè)5.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．拓展課堂小測(cè)6.如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，剪去一部分后得到一個(gè)三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是________.90°7.如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C，若∠BOD=38°，則∠A=___.52°第1題圖第2題圖直角三角形8.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，則這個(gè)三角形是____________.課堂小測(cè)9.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，與∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC11.2.2三角形的外角第十一章三角形PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學(xué)（初中）（八年級(jí)上）

前言學(xué)習(xí)目標(biāo)1、認(rèn)識(shí)三角形的外角。2、三角形外角的兩個(gè)基本性質(zhì)。3、能利用三角形外角性質(zhì)解決實(shí)際問題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1、探索證明三角形內(nèi)角和定理的不同方法。2、利用三角形內(nèi)角和定理簡(jiǎn)單計(jì)算和證明。難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用。ABC問題2：若把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD．這個(gè)角還是三角形的內(nèi)角嗎？問題1：如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角是什么？它們有什么關(guān)系？ABC內(nèi)角和為180°D不是概念理解概念：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．ABCD概念理解ABC問題：每個(gè)頂點(diǎn)處有_____個(gè)外角，它們是______角。備注：研究有關(guān)外角的問題時(shí)，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角。擴(kuò)展外角三角形外角∠ACD與內(nèi)角有什么關(guān)系？相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角ACBD探究BDAC∵∠ACD=180°－∠ACB又∠A+∠B=180°－∠ACB∴∠ACD=∠A+∠B證法1：證法2：過C點(diǎn)作CE∥AB∴∠ACE=∠A,

∴∠ACD=∠ACE+∠ECD推論：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和E探究三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系：1、三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角

；2、三角形的一個(gè)外角

與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；3、三角形的一個(gè)外角

任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。等于大于互補(bǔ)歸納總結(jié)65432A1例1：如圖，∠4,∠5,∠6是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解法1：∵∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2，∴∠4+∠5+∠6=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠1+∠2)=2(∠1+∠2+∠3)．=2×180°=360°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）課堂測(cè)試65432A1例1：如圖，∠4,∠5,∠6是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解法2：∵∠4+∠1=180°，∠5+∠2=180°，∠6+∠3=180°，∴∠4+∠5+∠6+∠1+∠2+∠3=540°．

∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠4+∠5+∠6=540°－180°=360°.（三角形的一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)）課堂測(cè)試?yán)?：如圖，∠4,∠5,∠6是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？D64132CAB1785解法3：過A作AD∥BC，∴∠5＝∠7，∠6＝∠8.∴

∠4＋∠5＋∠6＝∠4＋∠7＋∠8（兩直線平行，同位角相等）三角形的外角和等于360°.課堂測(cè)試1.三角形的外角和是指三角形所有外角和2