不等式證明的基本方法專題

不等式和絕對值不等式一、不等式1不等式的基本性質(zhì)：、對稱性： a>b二bca傳遞性：a__b,b：>cna>c、 ab,c：二,a+c>b+c、a>b,c0,那么ac>bc;a>b, c：：0，那么acvbc、a>b>0, cd0那么，ac>bd、a>b>0,那么an>bn.（條件 nN,nF2 ）、a>b>0那么 （條件nN,n_2 ）2、基本不等式定理1如果a,b€R,那么a+b》2ab.當且僅當a=b時等號成立。定理2（基本不等式）如果a,b>0，那么當且僅當a=b時，等號成立。即兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均數(shù)。結(jié)論：已知x,y都是正數(shù)。（1）如果積xy是定值p,那么當x=y時，和x+y有最小值2p;（2）如果和x+y是定值s,那么當x=y時，積xy有最大值備24小結(jié)：理解并熟練掌握基本不等式及其應用， 特別要注意利用基本不等式求最值時， 一定要滿足"一正二定三相等"的條件。3、三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式定理3如果a,b,c?R，那么-_b—-3abc,當且僅當a=b=c時，等號成立。即：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均把基本不等式推廣到一般情形：對于n個正數(shù)ai,32^!,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即：當且僅當可=a2=|1|二an時，等號成立。、絕對值不等式1、絕對值三角不等式實數(shù)a的絕對值|a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標為 a的點A到原點的距離：任意兩個實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應點分別為 A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點間的距離。定理1如果a,b是實數(shù)，則|a+b|w|a|+|b|,當且僅當ab>0時，等號成立。(絕對值三角不等式)如果a,b是實數(shù)，那么 |a|-|b|w|a±b|<|a|+|b|定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|w|a-b|+|b-c| ,當且僅當(a-b)(b-c)>0時，等號成立。2、絕對值不等式的解法|ax+b|wc和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法：換元法：令t=ax+b,轉(zhuǎn)化為|t|wc和|t|>c型不等式，然后再求 x,得原不等式的解集。分段討論法：laxb_0丄axb：0|axb|_c(c0) 或?x+b蘭c i_(ax+b)蘭caxb_0丄axb：：0|axb|_c(c0) 或qx+bKc j-(ax+b)Kc不等式證明的基本方法知識點一：比較法比較法是證明不等式的最基本最常用的方法，可分為作差比較法和作商比較法。1作差比較法常用于多項式大小的比較，通過作差 一變形(分解因式、配方、拆、拼項等) .-判斷符號(判斷差與o的大小關(guān)系)一：得結(jié)論(確定被減式與減式的大小 .理論依據(jù)：一般步驟：第一步：作差；第二步：變形；常采用配方、因式分解等恒等變形手段；第三步：判斷差的符號；就是確定差是大于零，還是等于零，小于零 .如果差的符號無法確定，應根據(jù)題目的要求分類討論 .第四步：得出結(jié)論。注意：其中判斷差的符號是目的，變形是關(guān)鍵。2、作商比較法常用于單項式大小的比較，當兩式同為正時，通過作商 '變形(約分、化簡)?一：?判斷商與1的大小」?得結(jié)論(確定被除式與除式的大小)理論依據(jù)：ad a, a_<1呂 _=1臺若；-?.、：】M，則有①［ 一；■-」：②［ ■'」；③八 x-■'.基本步驟：第一步：判定要比較兩式子的符號第二步：作商第三步：變形；常采用約分、化簡等變形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商與1的大小關(guān)系無法確定，應根據(jù)題目的要求分類討論?第五步：得出結(jié)論。注意：作商比較法一般適合含“幕”、“指數(shù)”的式子比較大小。知識點二：分析法分析法是從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立，或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種方法?思維過程：“執(zhí)果索因”?證明格式：要證……，只需證……，只需證……，因為……成立，所以原不等式得證。適用題型：當所證的不等式的結(jié)論與所給條件間聯(lián)系不明確， 常常采用分析法證明不等式。知識點三：綜合法綜合法是從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、 已知的定義及定理，逐步推導，從而最后導出要證明的命題。思維過程：“執(zhí)因索果”適用題型：當所證的不等式的條件形式或不等式兩端的形式與不等式的性質(zhì)、 定理有直接聯(lián)系時，常常采用綜合法證明不等式 ?知識點四：反證法反證法首先假設要證明的命題是不正確的，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、 定義及明顯成立的事實等矛盾的結(jié)論，以此說明假設的結(jié)論不成立，從而原來的結(jié)論正確。適用題型：適合證明“存在性問題、唯一性問題” ，帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)學問題?理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假。注意：反證法解題的實質(zhì)是否定結(jié)論導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確。在否定結(jié)論時，其反面要找對、找全?知識點五：放縮法放縮法是指在證明不等式時，有時需要將所需證明的不等式的值適當?shù)姆糯?（或縮?。?，以此來簡化不等式，達到證明的目的。理論依據(jù)：不等式的傳遞性：a>b,b>c-'a>c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。注意：應用放縮法時，放大（縮?。┮欢ㄒm當。規(guī)律方法指導1、不等式證明的常用方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法，換元法等。2、 反證法的證明步驟：否定結(jié)論：假設命題的結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面成立；推出矛盾：由結(jié)論反面成立出發(fā)，通過一系列正確的推理，導出矛盾；否定假設：由正確的推導導出了矛盾，說明假設不成立；肯定結(jié)論：原命題正確。3、 放縮法的常用技巧：在恒等式中舍掉或者加進一些項；在分式中放大或縮小分子或分母；111

<飛€ 例如：-h..1-應用函數(shù)的單調(diào)性、有界性等性質(zhì)進行放縮；例如：f(x)為增函數(shù)，則f(x-1)<f(x)<f(x+1)應用基本不等式進行放縮。例如：若；二」，則有.C「二Iz=」若匸二二二.，則有■■■■'.1：'■. ；JO這兩個結(jié)論是實現(xiàn)“累差法”、“累商法”、“降幕”等轉(zhuǎn)化的重要手段經(jīng)典例題透析類型一：比較法證明不等式1、用作差比較法證明下列不等式：一；f丨「二U：'；.；/；二丨f-■二】l二(a,b均為正數(shù)，且b)思路點撥：(1)中不等號兩邊是關(guān)于a,b,c的多項式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2,b2,ab這樣的結(jié)構(gòu)，考慮配方來說明符號； (2)中作差后重新分組進行因式分解。證明：([)_』-「-「.\:'■.<■1=|(2tj3+2b2+2?-2ab一 —2處)當且僅當a=b=c時等號成立,2 a(當且僅當a=b=c取等號)(2)(衛(wèi)+們-(刊+血2)

(2)=(?p%)+(護-血2)二?-3)(f-護)=(a+b)(a-b) 222.22=ax+by-ax-by-2abxy2 2 2 2=a(1-a)x+b(1-b)y-2abxy=abx+aby-2abxy 222.22=ax+by-ax-by-2abxy2 2 2 2=a(1-a)x+b(1-b)y-2abxy=abx+aby-2abxy=ab(x-y)2>0■/a>0,b>0,b,2???a+b>0,(a-b)>0,—li總結(jié)升華：作差，變形（分解因式、配方等），判斷差的符號，這是作差比較法證明不等式的常用方法。舉一反三:【變式i】證明下列不等式：22a+b+2>2(a+b)222a+b+c+3>2(a+b+c)a2+b2>ab+a+b-1【答案】(a2+b2+2)-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2>022a+b+2>2(a+b)證法同(1)2222222222(a+b)-2(ab+a+b-1)=(a-2ab+b)+(a-2a+1)+(b-2b+1)=(a-b)+(a-1)+(b-1)>02(a2+b2)>2(ab+a+b-1)，即a2+b2>ab+a+b-1【變式2】已知a,b€_：,x,y€丄'，且a+b=1，求證：ax2+by2>(ax+by)2【答案】2222、用作商比較法證明下列不等式:2、用作商比較法證明下列不等式:d)■■d)■■/+護 /—血+護（逢—0）2+0& （逢―6）2丄j~5 1=' = = +1??? 亠亠 一工 上 …（皿沁5.1???a,b為不等正數(shù)，?八 ，?一苦總結(jié)升華：當不等號兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時，常用這種方法，目的是約分化簡.作商比較法的基本步驟：判定式子的符號并作商一^變形一^判定商式大于i或等于i或小于i—結(jié)論。舉一反三：【變式1】已知a>2，b>2，求證：a+b<ab【答案】?/a>2,b>2a+b1 1——=-+-<1abab也成1即a+b<aboab【變式2】已知a,b均為正實數(shù)，求證：aabb>abba【答案】???a>0,b>0,?aabb與abba均為正，分類討論可知（分a>b>0,a=b>0,0<a<b）(2)叫1b ，當且僅當a=b等號成立,?-aabb>abba.類型二：綜合法證明不等式03、a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc證明：法一：由b2+c2>2bc,a>0,得a(b2+c2)>2abc,同理b(c2+a2)>2abc,c(a2+b2)>2abcta,b,c不全相等，二上述三個等號不同時成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：?/a,b,c是不全相等的正數(shù)，二a(b2+c2),b(c2+a2),c(a2+b2)均為正數(shù)，由三個數(shù)的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)王3銅好+/)%□/)<3+護)>3^/a(2bc)b(2ca)c(2ab)不等式成立.總結(jié)升華：綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等式成立。舉一反三:【變式1】a,b,m€R+，且a<b,求證：八：一宀.【答案】■/0<a<b,m>0,.am<bm,.am+ab<bm+ab,即a(b+m)<b(a+m),a—< ?/b+m>0,???「：—".【變式2】求證Ig9?lg11<1.【答案】?/Ig9>0,Ig11>0,叮,???Ig9?Ig11<1.a+- 工34、若a>b>0,求證：！』隔思路點撥：不等號左邊是一個各項皆正的“和的形式” ，但左側(cè)是兩項而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“3”?因此啟發(fā)我們將左側(cè)拆成3項的和利用平均值定理?1.,1a+ =S-E）+&+ 證明：」" 心:工a>b>0,?a-b>0,b>0,(a(aa>b>0,?a-b>0,b>0,(a(a-i)4-6+1(a-b)b>33(a-b)b1(a-b)ba+ >3 a-b~b -：i （當且僅當 上-,即a=2,b=1的等號成立）舉一反三：（x+y+z）（-+丄+1）王9【變式】x,y,z€R+,求證： '」證明：?/x,y,z€r+,...孟+》+注3莎>0,類型三：分析法證明不等式商類型三：分析法證明不等式商5、已知a,b>0,且2c>a+b,求證:7c-ab<a<c+JJ-曲庇證明:<a<c+只需證：-Jj-ab<a-c證明:<a<c+只需證：-Jj-ab<a-c<yc2-ab要證即證：^ ^ ,a2-2ac+c2<c2-ab，即證a2+ab<2ac,■/a>0,只需證a+b<2c???已知上式成立，.??原不等式成立?？偨Y(jié)升華：1?分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使之成立的條件，把證不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的問題，若能肯定這些條件都成立，就可斷定原不等式成立。2?分析法在不等式證明中占有重要地位，是解決數(shù)學問題的一種重要思想方法?；舅悸罚簣?zhí)果索因格式：要證……，只需證……，只需證……，因為……成立，所以原不等式得證。舉一反三：【變式1】求證：a3+b3>a2b+ab2(a,b均為正數(shù)，且a*b)【答案】要證a3+b3>a2b+ab2，即證(a+b)(a2+b2-ab)>ab(a+b)?/a?/a,b€丄.,/?a+b>0只需證a2+b2-ab>ab,只需證a2+b2>2ab只需證(a-b)2>0,?/(a-b)2>0顯然成立所以原不等式成立。aa+m— 【變式2】a,b,m€R+，且a<b,求證：八-iV.【答案】■/b>0且b+m>0,a:.，-.j-'- ■■■'.I.：I —小…；八』一?“一三-?：J,.??収和址成立【變式3】求證:【答案】要證'二上，只需證二二i二|,只需證「；「」-「，只需證7：口，而一■m顯然成立，所以原不等式得證?！咀兪?】若a>1,b>1,c>1,ab=10求證：logac+logbc》4lgc

【答案】要證lOgaC+lOgbO4lgC，只需證L二>4只需證2.1101(l-lga)lga=_?(lga■一)<-,.一]_,——5——>4...:.斗宀成立所以原不等式成立1 I【變式5】設x>0,y>0,xmy，求證：證明：要證仗T)y+y爭，只需證(xJV)a<(x3V)3只需證■'只需證二?「L■-/"因x>0,y>0,x工y,所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立所以曲)噸W類型四：反證法證明不等式商6、已知a,b,c€(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一個不大于可以考思路點撥：此題目若直接證，從何處入手？對于這樣正面情況較為復雜的問題，慮使用反證法。可以考Q-fl)6>—,(l-4)c>—,0fcc)a>—TOC\o"1-5"\h\z證明：假設原結(jié)論不成立，即 ? -I ,(1-逢)占(1一3上(1一亡)&>—則三式相乘有: 二……①門/I> fl-a)+^a10<(1-a)a<[-——-——]二一又?/0<a,b,c<1,??? 一(\-b)b<—7(1-少<-同理有：： -,

(l-df)dt'(l-i)J'(l-c)c<—以上三式相乘得 f.'-,這與①矛盾，???假設錯誤，原結(jié)論成立。總結(jié)升華：反證法的基本思路是：“假設一一矛盾一一肯定”，采用反證法證明不等式時，從與結(jié)論相反的假設出發(fā)， 推出矛盾的過程中， 每一步推理都必須是正確的。 由于本題題目的結(jié)論是：三個數(shù)中“至少有一個不大于 2”，情況比較復雜，會出現(xiàn)多個由異向不等式組成的不等式組，一一證明十分繁雜， 而對結(jié)論的否定是三個數(shù) “都大于7”，結(jié)構(gòu)簡單明了,為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。舉一反三：【變式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0【答案】假設aw0若a<0,Tabc>0,?bc<0又由a+b+c>0，則b+c>-a>0?ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，與題設矛盾若a=0，則與abc>0矛盾，?必有a>0同理可證：b>0,c>0類型五：放縮法證明不等式痣7、若a,b,c,d~R+,求證:7、若a,b,c,d~R+,求證:b c H a+b+db+1+ac+d+b1<―-<1d+a+d<2得i思路點撥：記中間4個分式之和的值為m,顯然，通過通分求出m的值再與1、2比大小是困難的，可考慮運用放縮法把異分母化成同分母。abedm 1- + + 證明：記一.■. [?一一..I.■ ■. .■一「一■/a,b,c,d-R+,TOC\o"1-5"\h\za b c d.m> 4 + + 二1一.?一.I.■一.?一一一.一 】「一.‘L‘一abc d _m< + + H 2a+ba+bc+d d+c:1<m<2，即原式成立?？偨Y(jié)升華：證后半部分，還可用“糖水公式” ，即J-'■ ■■—'+d+'■進行放縮。常用的放縮技巧主要有：f(x)為增函數(shù)，則f(x-1)<f(x)<f(x+1)；1_€丄< 1分式放縮如—li廠'、■-根式放縮如咕―：丨：…「舉一反三：11111+-7十7?+…+飛【變式1】求證：:!'； :.【答案】1111—7空 = __nn(n-1)n-1n【變式2】當n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1【答案】???n>2,???logn(n-1)>0,logn(n+1)>02_「呃(/-衛(wèi)衛(wèi)_L2JL2J=1?n>2時,logn(n-1)logn(n+1)<1類型六：其他證明不等式的方法懇1.構(gòu)造函數(shù)法8、已知a>2,b>2，求證：a+b<ab盅證明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b,T1-b<0,??f(a)是減函數(shù)當a>2時，f(a)<f(2)=2-b<0二a+b<ab

總結(jié)升華：不等式證明方法很靈活。分析不等式的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，使問題變得非常簡單。舉一反三：【變式】已知a>3，求證：?a一 -【答案】yfz)= i—=令 ■. (x>0).???f(x)在x€[0,+8)上是遞減函數(shù)，??? f(a-1)<f(a-3).類型六：一題多證商13、若a>0,b>0,求證:思路點撥：由于a>0,b>0,所以求證的不等式兩邊的值都大于零，本題用作差法，作商法和綜合法，分析法給出證明。證明：證法一：