模塊一大招5三角換元

模塊一大招5三角換元大招5三角換元三角換元法是眾多換元法中的一種，它以三角函數(shù)為“元”，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為易于應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)求解的問題，三角換元法在求解方程、不等式、解析幾何和函數(shù)最值等方面都有著廣泛的應(yīng)用.一般情況下，在運(yùn)用三角換元的題目中，往往在表達(dá)式的形式或字母的取值范圍等方面明顯反映出三角函數(shù)式的特征，這一點(diǎn)給三角換元法的應(yīng)用提供了線索.1.具體表現(xiàn)在該方法對于含有被開方式為二次式的二次根式問題能起到除去二次根式的作用，因?yàn)槎胃娇偸强梢赞D(zhuǎn)化為、或的形式，其中x為變量，k為非常數(shù).2.二元二次曲線(二元二次方程)或者多元變量的最值問題，也可以轉(zhuǎn)換成利用三角換元的方法進(jìn)行求解.例如：，等，均可以用三角換元來解決.3.核心公式：4.重要推論（類型四）：；【典例1】求函數(shù)的值域.【大招指引】遇到根號問題，通常我們都需要利用換元法就值域，但由于根號內(nèi)有平方，則需要利用含平方的換元形式，于是我們利用三角換元．解析：令，則原式=其中.，【題后反思】不少同學(xué)在做這類問題是，會想到換元，但會遇到以下幾個(gè)問題：（1）直接根式換元，然而式中仍然出現(xiàn)根式，換元失??；（2）利用三角換元時(shí)，沒有合理的設(shè)置角的范圍，導(dǎo)致去根號時(shí)出錯(cuò)；（3）對于三角函數(shù)求最值問題不熟練．【溫馨提醒】在利用三角換元時(shí)，一定要注意角度限制，因?yàn)閷τ谌呛瘮?shù)的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們在設(shè)置角度時(shí)要抓住2點(diǎn)：（1）設(shè)置的角度要使三角函數(shù)的范圍為[-1，1]，（2）根號要能直接開出來.就如本題來講，令，此時(shí)，于是.【舉一反三】1．求函數(shù)的值域.2．若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【典例2】已知，則的取值范圍

.【大招指引】此題出現(xiàn)三個(gè)向量的模長，可以根據(jù)模長的定義，對三個(gè)向量設(shè)向量坐標(biāo).那么就出現(xiàn)三角換元設(shè)法，利用含三角函數(shù)形式的函數(shù)求最值.解析：不妨令由題意知：化簡得：故．【題后反思】遇到平面向量模的范圍問題，通過考慮到用坐標(biāo)法，其中三角換元是最常見的一種方法，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的三角函數(shù)形式，再求最值．【舉一反三】3．若正的邊長為4，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【2023江蘇南通海安高級中學(xué)階段檢測】4．如圖，正方形的邊長為是正方形的內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值為4B．的最大值為C．的最大值為2D．的最大值為【典例3】【2023山東濰坊四縣高三下5月模擬改編】已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為_____________.【大招指引】本題求，其中P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，并且在圓C，從而可以利用三角換元的特點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(為參數(shù))，然后表示，在用同角三角函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解.【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(為參數(shù))，則，，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為34，【題后反思】（1）圓心為，半徑為的圓上的點(diǎn)可設(shè)為，（2）長軸為且短軸為的橢圓上的點(diǎn)可設(shè)為，其中，的幾何意義是：（橫橢圓為例）以為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與軸正半軸的夾角.【舉一反三】【2022遼寧省期末】5．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【2022福建省月考】6．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例4】已知實(shí)數(shù)滿足的最大值為.【大招指引】觀察本題形式，是平方和的類型，于是可以利用三角換元法，可令，再用三角形式表示x,y.【解析】由于，令，則原式【題后反思】1、本題由于，因而2、此處，可利用柯西不等式直接得到，也可用三角函數(shù)的輔助角公式.【舉一反三】7．若為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．8．實(shí)數(shù)滿足，且，當(dāng)時(shí)，則的范圍是.【2023安徽亳州一中高三最后一卷】9．已知平面向量、、滿足，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【2023湖南邵陽二中全真模擬】10．已知點(diǎn)在單位圓上，點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【2023山東泰安肥城高考適應(yīng)性】11．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【2023福建寧德質(zhì)檢】12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為圓上的任一點(diǎn)，.若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【2023貴州畢節(jié)診斷】13．等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O中，，且M為圓O上一點(diǎn)，的最大值為（

）A．2 B．6 C．8 D．10【2023廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)一模】14．已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時(shí)橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．15．實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是.【2022遼寧省聯(lián)考】16．黃金分割比被譽(yù)為“人間最巧的比例”.離心率的橢圓被稱為“優(yōu)美橢圓”，在平面直角坐標(biāo)系中的“優(yōu)美橢圓”C：（）的左右頂點(diǎn)分別為A，B，“優(yōu)美橢圓”C上動(dòng)點(diǎn)P（異于橢圓的左右頂點(diǎn)），設(shè)直線，的斜率分別為，，則.17．（1）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則的最大值是；（2）對于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)，滿足，且使最大時(shí)，的最小值為．18．（1）求函數(shù)的最大值和最小值；（2）求函數(shù)的值域；（3）求函數(shù)的值域；（4）已知，求的最值．參考答案：1．【分析】可化為，令，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】可化為，令，則，，，∴,故函數(shù)的值域?yàn)?2．【分析】由可得原不等式等價(jià)于，兩邊平方，利用均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以不等式可化為，設(shè)，，則，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，所以，故答案為：3．D【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由題意設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)求最值即可.【詳解】由題知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，由題意設(shè)，則，，，，，可得.故選：D4．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求向量的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷AC，由向量相等求，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求，的最值.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，內(nèi)切圓的方程為，可設(shè)，則，，所以，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)取等號，所以的最大值為4，A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最大值為，C錯(cuò)誤，由，可得，得，，，，當(dāng)，即時(shí)，所以所以的最大值為，B正確，當(dāng)，即時(shí)，所以所以的最大值為，D正確，故選：C.5．B【分析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．6．D【分析】先求出點(diǎn)到圓心的距離的最小值，然后減去圓的半徑可得答案【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，得，圓的圓心，半徑為，則，令，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：D7．【詳解】因?yàn)?，令則，所以.8．【分析】令可將問題轉(zhuǎn)化為：已知，且求的范圍”，【詳解】令由可得.則.令，則由得∴

∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，,，∴故的范圍是.故答案為：9．A【分析】由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得，設(shè)，可得出，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?、、滿足，，，則，所以，，即，即，即，令，則，上述兩個(gè)等式相加可得，則.故選：A.10．C【分析】設(shè)，求的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求，通過三角恒等變換，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其范圍.【詳解】設(shè)，所以，，所以所以，故選：C.11．B【分析】利用數(shù)量積定義可得的夾角為，不妨設(shè)，，即可得，再利用輔助角公式可得，即可求得其最小值.【詳解】設(shè)的夾角為，，，，，，又，不妨設(shè)，，，所以，即，，由，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值．故選：B12．C【分析】通過圓的三角換元，利用向量的加減運(yùn)算及向量相等的條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題即得結(jié)果.【詳解】由已知可設(shè)，則，又，因?yàn)?，所?即,所以,其中，當(dāng)時(shí)，有最大值為.故選：C.13．B【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】以圓O的圓心O為原點(diǎn)，射線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接，如圖，因?yàn)椋瑒t，而圓O的方程為，設(shè)點(diǎn)，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以的最大值為6.故選：B14．C【分析】用橢圓的性質(zhì)直接對原式進(jìn)行減少變量處理，得到，看成以為變量的函數(shù)的最值問題，可利用換元法求解.【詳解】，因?yàn)椤啵O(shè)，則∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)離心率.故選：C15．【分析】由題可得，故由三角換元可得答案.【詳解】.故令，.則原式，故.故答案為：.16．；【解析】設(shè)，，，，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，，，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)橢圓的離心率求斜率關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.17．【分析】第（1）問，方法1：由題可得，后用三角換元可解決問題.方法2：由題可得，令，，代入上式得，后由三角換元可得答案；方法3：由題可得，令，則，據(jù)此可得答案；第（2）問，若將變形為，則，后由最大可得或，即可得答案.【詳解】（1）方法1：將代入得．整理得，令．則．的最大值為．方法2：將代入得．令，，代入上式得．由橢圓的參數(shù)方程．的最大值為．方法3：由得．令．代入得．當(dāng)時(shí)，得．即，解得即．的最大值為．（2）由得．令，則，則，其中為銳角，且.要使最大，則.若，則時(shí)，此時(shí)，則．若，則，此時(shí)，則.綜上：的最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角換元是一種處理含有平方關(guān)系函數(shù)值域的有力工具，使用時(shí)常配合輔助角公式，將相關(guān)函數(shù)值域轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域.18．（1）最大值為2，最小值為1；（2）；（3）；（4）最大值為3，最小值【分析】（1）利用三角換元法，令，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用三角換元法，令，，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）解法一：利用三角換元法，設(shè)，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求解；解法二：由解法一得，則為與點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得結(jié)果；（4）令，，則，