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文檔簡介
杭州市2022屆高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)考生須知:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域(黑色邊框)內(nèi)作答,超出答題區(qū)域的作答無效!3.考試結(jié)束,只需上交答題卡.選擇題部分(共40分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合Axx10Bx1x6,則AB(),,6A.6,1B.,1D.C.1,1izz()2.若復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則1i12A.B.C.1D.222的充要條件是(),為兩個不同的平面,則∥3.設(shè)內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,B.垂直于同一平面A.,D.內(nèi)的任何直線都與平行C.平行于同一條直線cmcm之一圓弧,則該幾何體的體積(單位:3)4.某幾何體的三視圖(單位:)如圖所示,其中弧AB為四分是()111π11C.D.2π22A.B.2anSnS42aaa5.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若(),則7237A.12B.15C.18D.21杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第1頁共4頁sinxy6.函數(shù)|2x1的圖象大致為()|A.B.C.D.fxxx2fxfx20,則()127.已知函數(shù),且21xxx012xx0B.1A.2xx1012xx20D.1C.233sin170tan10,則實數(shù)的值為()8.若32343D.3A.3B.C.23xy22C:1ab09.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為FF,,過原點的直線l與橢圓C相交于M,Nab2122NF3MNFF12,1兩點(點M在第一象限).若,則橢圓C的離心率e的最大值為()MF316131A.B.61C.D.312210.已知ABC中,AB2BC4,AC23,點M在線段ACC上除A,的位置運動,現(xiàn)沿BM進NCNNB平面ABM;若恒成立,則實數(shù)的最大值為行翻折,使得線段AB上存在一點,滿足()3D.2A.1B.3C.2杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第2頁共4頁11.雙曲線C:-=1的離心率為______,漸近線方程為______.453xy0y12.若x,滿足約束條件,則xy有最________(填“大”或“小”)值為_________.2xy5a8,則13.已知x4x8aax1ax1ax1aaaa2______,______.01280135714.在是否接種疫苗的調(diào)查中調(diào)查了7人,7人中有4人未接種疫苗,3人接種了疫苗,從這7人中隨機抽取3人進行身體檢查,用X表示抽取的3人中未接種疫苗的人數(shù),則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為______;設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有接種疫苗的人,也有未接種疫苗的人”,則事件A發(fā)生的概率為______.15.在平面直角坐標系中,已知第一象限內(nèi)的點A在直線l:y2x上,B5,0AB,以為直徑的圓C與直線l的另一個交點為D.若ABCD,則圓C的半徑等于______.33CDBD.若sinBAD,則sinABC______.邊上,516.在RtABC△中,C90BC,點D在fx,y表示先關(guān)于17.對于二元函數(shù)fx,yminmaxfx,y,y求最大值,再關(guān)于x求最小值.已xyacbcmcbfm,n(m,nR,且m0,mcnarrababc知平面內(nèi)非零向量,,,滿足:2,記b,an0),則minmaxfm,n______.mn三、解答題:本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.ππx18.已知函數(shù)fxsinxcosx2sin2.632fx的單調(diào)遞增區(qū)間;(1)求函數(shù)(2)求使fx0成立的實數(shù)x的取值集合.19.在四棱錐PABCD中,△PAB為正三角形,四邊形ABCD為等腰梯形,M為棱AP的中點,且AB2AD2BC2CD4,DM3.(1)求證:DM//PBC平面;(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題aa0nnN20.已知數(shù)列滿足,.*naaka0a0.(1)若2且nn2n1nalg(?。┊攏成等差數(shù)列時,求k的值;a1a162aak2(ⅱ)當且,時,求及的通項公式.412n1aaaaa1a0a4,8SannS2020,,.設(shè)的是前n項之和,求的最大,(2)若2nn2n1n3123值.21.如圖,設(shè)拋物線C:y22pxp0E:x1y4的焦點為F,圓2與y軸的正半軸的交點為A,2△AEF為等邊三角形.(1)求拋物線C的方程;1P,yy0400(2)設(shè)拋物線C上的點處的切線與圓E交于M,N兩點,問在圓E上是否存在點Q,QMQN使得直線,均為拋物線C的切線,若存在,求Q點坐標;若不存在,請說明理由.axb4.2f()x22.已知函數(shù)在x2時取到極大值e2ex(1)求實數(shù)a?b的值;1g()xmin()fxx,(0)x,若函數(shù)xm,nmin{m.,)n(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù)()()hxgxtx2為增函數(shù),求實數(shù)t的取值范圍.杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第4頁共4頁杭州市2022屆高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案1.AAxx1AB,最后求即可.x10【分析】解不等式,可化簡集合Axx1【詳解】由x10x1,,所以所以AB,6,故選:A2.B【分析】復(fù)數(shù)的分式運算,同乘共軛復(fù)數(shù),利用模長公式即可得到答案.1i11ziz,,i1ii2z【詳解】1i1i1i2222故選:B.3.D【分析】根據(jù)面面平行、相交的知識確定正確選項.【詳解】A選項,內(nèi)有無數(shù)條直線與平行,與可能相交,A選項錯誤.,項,垂直于同一平面,B選與可能相交,B選項錯誤.與可能相交,,項,平行于同一條直線,C選C選項錯誤.項,內(nèi)的任何直線都與平行,//D選則,D選項正確.故選:D4.B1【分析】由三視圖可知,幾何體的左邊是圓柱的,右邊是三棱柱,分別計算體積相加即可.41于左邊是圓柱的,其體積為1122,【詳解】由2441右邊是三棱柱,其體積為21121,該幾何體的體積為21;故選:B.5.C杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第1頁共4頁【分析】利用等差中項的性質(zhì)以及通項公式計算即可.S7a42,a6,即a3d6,得7【詳解】由等差中項的性質(zhì)441aaaada2da6d3a9d3a3d18,23711111故選:C.6.Dx1圖象關(guān)于直線對稱,排除AC,再結(jié)合特殊的函數(shù)值的正負或函數(shù)零點個數(shù)排除B,【分析】確定函數(shù)2得出正確結(jié)論.1x1對稱,ysinx的圖象也關(guān)2,由于y2x1的圖象關(guān)于直線x|x【詳解】函數(shù)定義域是2于直線x1對稱,因此f()x的圖象關(guān)于直線x1對稱,排除AC,22ysinxf()x個零點,因此x時,f()0x,排除B.個零點,且當有無數(shù)也有無數(shù)故選:D.【點睛】思路點睛:函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手:(1)從函數(shù)(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(4)從函數(shù)的特征點,排除不合要求的圖象.7.A【分析】首先確定函數(shù)的單調(diào)性,再構(gòu)造函數(shù)g()()xfx1g()x,研究函數(shù)的奇偶性,再依次判斷題中的不等式是否成立即可.yxx,y21在R調(diào)遞增,x【詳解】由函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)得:fxxx2所以在R調(diào)遞增,21x21x||x22121x,x令函數(shù)g()||xxxx||x212121xx21xx2112xg()x,則g()xx||xxx||x2121xx所以gxgx0,gx則函數(shù)為奇函數(shù),且在R調(diào)遞增,杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第2頁共4頁fxfx20gxgxxxxx0.故12121212故選:A.8.D【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將sin170sin18010sin10,再運用三角恒等變換公式求解.sin103sin103sin10cos103sin10cos10,,【詳解】依題意,cos1033sin10cos10cos103sin10,即則3sin202cos10sin30sin10cos302sin20,234332故,則2故選:D.9.D【分析】依題意作圖,分析圖中的幾何關(guān)系,應(yīng)用三角函數(shù)解方程即可.【詳解】依題意作下圖:由于MNFF12MN,FF,并且線段12MFNF互相平分,∴四邊形是矩形,12FMF其中212NFMF,1,2MFx2MF2ax,根據(jù)勾股定理:2MFMF2FF2,11,則設(shè)212x2ax4c22,整理得x22ax2b202,由于點M在第一象限,NFMF32MFMF3MFF6,12xaa22b2,1,由題意11MF1FF2,aa22b2c,12即2杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁共4頁2a2acc20e2e200<e31,,解得整理得2,231;即e的最大值為故選:D.10.ACNABC【分析】由題意可知當平面ABM時有兩個極限狀態(tài),第一是BM為的角平分線時,此時NB2M,第二是點與點NB1A重合時,此時,由此可得答案CNNB2ABCABM有兩個極限狀態(tài),第一是BM為的角平分線時,此時,【詳解】易知要滿足平面NB1,2,M第二是點與點NB1A重合時,此時;故則實數(shù)的最大值為1,故選:A.CN【點睛】關(guān)鍵點點睛:此題考查立體幾何中的動點問題,解題的關(guān)鍵是當平面ABM時有兩個極限狀NBNB態(tài),分別求出值,從而可得的范圍,進而可得結(jié)果,屬于中檔題311.①2②y5x2【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程以及幾何性質(zhì)即可求解.a4,b25,c2a2b29,【詳解】由題意可知2c3ea2,xy0或0,即為22525xy5yx;3,y5x.故答案為:2212.①?、?畫出可行域,根據(jù)線作出可行域如圖,【分析】性規(guī)劃求解即可.【詳解】杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第4頁共4頁yxz,zxy設(shè),則y3x解得x1,y3,即A(1,3)y2x5由yxzz132,過點A時,minz由圖可知,無最大值,當2故答案為:??;213.①②136a【分析】在等式中令x1可求得x0、aaaax2,將兩個等式作差可求得的的值,分別令01357值.8中,【詳解】在等式x4x8aax1ax1ax1x1a22令可得,00128aaaaaaaaa0,①令x0,可得012345678aaaaaaaaa2726,②令x2,可得01234578②①可得aaaa136.13572136故答案為:;.1214.①76②7EXPA和.【分析】分別求出,X0,1,2,3的概率,進一步求出所以X的取值{0,1,2,3},【詳解】由題意可知,隨機變量范圍為C1CC12PX0312PX1,43C33,35C35377C2C118C34C354PX2PX3343C3,,357711218412所以EX0123353535357.12186PAPX1PX2條件可得35357.由已知126.故答案為:;7715.10D的坐標,【分析】設(shè)出點A的坐標,寫出圓C的方程,聯(lián)立直線l與圓C的方程求出點再借助垂直關(guān)系列式計算作答.杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第5頁共4頁a5【詳解】依題意,設(shè)點A(,aa2),a0,則圓心C(,)a,2y2x因此,圓C的方程為(xa)(5)xy(y2)a0,由(xa)(5)xy(y2)a0x1y2或,解得xay2a,a3DC(,a2),BA(a5,2a),而ABCD,于是得D(1,2),2a3DCBA(a5)2(aa2)0,即a22a30,而a0,解得a3,則2則有點C(4,3),|CD|(41)2(32)210,10.所以圓C的半徑等于故答案為:10516.5【分析】根據(jù)題目所給的條件作圖,利用正弦定理以及勾股定理即可.【詳解】依題意作上圖,設(shè)DC=x,則BD=3x,設(shè)AC=y,根據(jù)勾股定理有:ADx2y2,AB4xy22,BDADAD,sinABCsinBADBDxyxy3xy2222由正弦定理:sinBADsinABC,3x55xyy2sinABC2在RtABC中,,,16xy224xy5x22x4x5225x解得y2x,sinABC5;5.5故答案為:17.2杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第6頁共4頁aOAbOBcOCOC【分析】記,,,構(gòu)建直角坐標系,根據(jù)向量幾何意義判斷所在直線的斜率,c,2Aa,0B0,bCc設(shè),,,結(jié)合函數(shù)的定義、數(shù)形結(jié)合思想研究相關(guān)向量的模長隨點的變化情況,進而求目標式的值.acbc【詳解】記,,,則aOAbOBcOCOCOB在上的投影恰為在上的投2aOCOA表示b1OC.影的兩倍,即射線的斜率為2c,2Aa,0B0,bCc設(shè),,,mcODnaOEmcbBD,mcnaED,,,則記mcbBDfmn,所以.mcnaEDmcbBDBDfm,nEDOA,,其中mcnaEDED0先讓m不變,n變化,即點D固定,點E變化,那么0BD的最小值.求ED接著再讓m變化,即點D變化,0c2bc02BD12b2242,當且僅當c4b時取得等號.2c因為ED0c22minmaxfm,n2.綜上,mn故答案為:2【點睛】關(guān)鍵點點睛:利用向量幾何意義,構(gòu)建直角坐標系結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為兩向量比值,討論動點位置變化對向量并設(shè)A、B、C的坐標,根據(jù)函數(shù)新定義、數(shù)形模長的模長的影響確定目標式的值.杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第7頁共4頁2π18.(1)2π,kπ2πkkZ,334π2πkx2π,kkZx(2)3π1,解不等6由兩角差的正弦和余弦公式及降冪公式化簡函數(shù)解析式為fx2sinx【分析】(1)式π2πkxππ2πkkZ,即可得答案;262π1sinx利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解不等式即可得答案.62(2)【小問1詳解】ππx解:因為fxsinxcosx2sin2632sinxcosπcossinxππxπx21cosx3sincos1xx26coscossinsin63331π,62sinxcosx12sinx1222π由π2πkxππ2πk,,kZ解得2πkxπ2πk,,kZ262332ππkfx的單調(diào)遞增區(qū)間為k2π,2πkZ,;所以33【小問2詳解】π1,解:由(1)知fx2sinx6π1sin,得,62fx0x由7π所以2πkxππ2πk,,kZ64π66所以2πkx2πk,,kZ34π所以x的取值集合為2πkx2π,kkZx3.杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第8頁共4頁313.1319.(1)證明見解析;(2)MNCN,證明DM//CN,再利用線面平行的判斷推理作答.【分析】(1)取PB中點為N,連結(jié),AQABCDO為原點建立空間直角坐標系DOMO,證明平面平面,以AB(2)取中點Q,中點,借助空間向量計算作答.1詳解【小問】在等腰梯形ABCD中,CD//AB,CD2,取MNCN,如圖PB中點N,連結(jié),,1MNAB2CDMN//AB//CD,且2MNCD,即四邊形為平行四邊形,因M為棱AP的中點,則則DM//CNCNPBCDMPBC平面,,而平面,DM//PBC所以平面.2詳解【小問】AQDQPQ,OD,OMCD//BQ,且CDBQ,,有AB取中點Q,中點O,連結(jié),BCDQ四邊形是平行四邊形DQBCADAQ2OD3,則有,且ODAB,,則OM1PQ3,OMAB,且,△PAB正中,OM//PQPQAB,PQ23,而,因此2而OMODO,OM,ODDOM平面,則平面,DOMABìABCDABDOM平面,有平面ABCD平面,由DM3,得DOM60,在平面DOM內(nèi)作OzODDOMABCDOD,平面平面,即有OzABCD平面,以O(shè)為原點,射線OB,OD,Oz分x,y,z軸非負半軸建立空間直角坐標系別為,如圖,杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第9頁共4頁33M(0,,),1P(,3,C3(2,),3,0),B(3,0,0)A(1,0,0),則,22AP(2,3,3),2,PB(3,3),CB(1,3,0)PBCnx,,yz,設(shè)平面的法向量為,有PBn2x3y3z0n3,3,1y3,令,得AP與平面所成角為,PBC則,設(shè)直線CBnx3y0APnsincos,APn則31313,APn313PBC.AP與平面所成角的正弦值為13所以直線1)(?。?,(ⅰ?。?,2n12;(14505.2)3k1a22an20.(ak性質(zhì)即可求的值;2公可得n1是首項為,【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義以及等差中項的由題anaa比為2的等比數(shù)列,進而可得數(shù)列再利用累乘法即可求n1的通項,an的通項公式;nSaaaa14424利用分組求和可得2020504,結(jié)合aa2aa[4,8],,(2)12342433求出利用基本不等式求aaaa最大值,即可求出S的最大值2020.1234【小問1詳解】alg成等差數(shù)因為n列,(?。?lgalgalga,n2所以n1naaaaaka20,又n2nn2所以2n1nn1k1所以;aa2aa0,2(ⅱ)因為nn2n1n杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第10頁共4頁aa2a,aa2a所以13222,3248aaa162a2,所以,2所以32214aaa2a22n1,又由,an2因為an1n1a2所以n1是首項為,公比為2的等比數(shù)列,ana22n1,n1所以anan122,aaaaan2n12n2012所以23aan112n12n12;an∴所以【小問2詳解】11aaaa由aa可得aa,22n2n4nn2n1n3n1n3111aaaaaan2n422所以nn2,4n2n41a4anana4a,即n4n0,所以因為,n4aa1aaa1a0,,,因為13224122aaaa0即aa2a,3所aaaaaaaaaaaa1020205920172620183711aaaa20204812504a14424a14424a14424504504123a144245044504,1aaaa14424324aa2aa[4,8],,33因為24aa024a02a04,因為,所以,所以aa2aa22aaa22a,可得2,3所以242434杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第11頁共4頁aaaa1a22a,所以123433令y1a22ata2,22,設(shè)3,33yt222t1t2t2,22,對稱軸為,是開口向上的拋物線,在單調(diào)遞增,t22所以時取得最大值,22222211,2aaaa3最大值為4故1214141145051505Saaaa144243504最大值為.所以3202024【點睛】方法點睛:數(shù)列求和的方法n的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù),那么an{}(1)倒序相加法:如果一個數(shù)列n求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法(2)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的,那么這個n數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求;(3)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差,在求和時,中間的一些項可相互抵消,從而求得其和;(4)分組轉(zhuǎn)化法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減;afn1n類n(5)并項求和法:一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和,形如n型,可采用兩項合并求解.118,滿足QM,均為拋物線Q,5521.(1)y24x(2)存在圓上一點QNC的切線,理由見解析【分析】(1)由等邊三角形及拋物線的幾何性質(zhì),得OFOEp1,即可求出拋物線方程;2l:x1y11,記t=,0(2)先求出P點坐標及切線MN242Mx,yNx,yMN,過點M,N作拋物線C的兩條切線(異于直線)交于點Q,,2設(shè)1121l:xxtyyl:xxtyyQM,QN,2并設(shè)切線11221xxtyy直線1t,t與拋物線C相切,則切線有兩條,對,1應(yīng)設(shè)過點M的0xt2x方程,消得到方程,即可利用韋達定理得到1t2x,同理可得,通過聯(lián)立該直線與拋物線的122杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第12頁共4頁yy1l:xx2xyyl:xx2xyyQMx2xx214xx,QN,消y得,則可聯(lián)立,12xxQ121122221y2xx,2y4x1代入lxQ將、,可得Q11QM12xxxxlMN,的值可由聯(lián)立與圓方程,通過韋達定理求得,故求出定點Q,最后把Q代入圓方程驗證1212即可【小問1詳解】OFOEp1,所以p2,所以拋物線為等邊三角形,所以由題,易知點E1,0AEF,又2C:y24x.【小問2詳解】2設(shè)Mx,yNx,y2,過點M,N作拋物線C的兩條切線(異于直線MN)交于點Q,并設(shè)切線,111l:xxtyyl:xxtyyQM,QN,21122當x11,代入拋物線可得,,4y1P,10即411,與拋物線P,14y1kxxC:y24x聯(lián)立消去得:設(shè)過拋物線C上點的切線方程為44410yy,由0解得,k22kk故該切線方程為y2x1,即l:x1y1MN1,記t=,24220xxtyy11y24xy4ty4ty4x0,,得2與拋物線C相切,代入拋物線方程設(shè)過點M的直線1116t216tyx0,即t2ytx0,1111杭州市高三年級第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案第13頁共4頁tt1tx,tt1ty,由韋達定理得2121011011t2xy1,故2y4x1,同理可得,t2x,2所以2111112所以切線l:xx2xyyl:xx2xyy,2,QM111QN22yy聯(lián)立兩式消去y可得,x2xxQ14xx,①122xx21214x12y代入l1,代入2y4x1y2xx得11yQ,②可得22QMQ12聯(lián)立l:x1y1與圓E可得,5x24x011,244MNxx4,xx11.20所以51212分別代入①、②可得x,y8,1155QQx121185224,即切線y1QM,QN的交點Q在圓E上,2Q5Q118,,滿足QQM,QN均為拋物線C的切線.所以存在圓上一點55【點睛】直線與曲線相切,通常聯(lián)立方程,利用0即可求解;當切線有兩條時,0的方程會有兩個解,此時可利用韋達定理進一步分析求解。1(,).2eb0;(2)22.(1)a1,3f(2)04在x2時取得極大值e2【分析】(1)因為f()x4可得答案.,所以f(2)e21x,0xx,0F()x的單調(diào)性,得出g()x的表達式g()xx2(2)設(shè)F()()()xfxx1x,討論函數(shù),x,xx.0exh()xh()x從而得到的解析式,再根據(jù)為增函數(shù),求出參數(shù)的范圍.
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