2022-2023學(xué)年湖北省荊門市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省荊門市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)奇偶性定義逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域是R，顯然，且，函數(shù)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A不正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)椋瘮?shù)不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，B不正確；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)是奇函數(shù)，C不正確；對(duì)于D，函數(shù)定義域是R，，函數(shù)是偶函數(shù)，D正確.故選：D2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的條件列方程求解的值，再用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，得，，解得：或，所以或，得.故選：C3．總體由編號(hào)01，,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07 C．02 D．01【答案】D【詳解】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01，所以第5個(gè)個(gè)體是01，選D.【解析】此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.4．圓錐被一平面所截得到一個(gè)圓臺(tái)，若圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由所截圓臺(tái)的上下底面半徑的比例及母線長(zhǎng)，即可求得圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓錐側(cè)面積公式即可得到答案.【詳解】如圖所示：

圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，則，解得，所以圓錐母線長(zhǎng)為，所以該圓錐的側(cè)面積為故選：B.5．垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時(shí)間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過(guò)6個(gè)月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過(guò)12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過(guò)（

）（參考數(shù)據(jù)）A．20個(gè)月 B．40個(gè)月 C．28個(gè)月 D．32個(gè)月【答案】D【分析】根據(jù)題意先確定的值，令，求得時(shí)間t.【詳解】依題意，解得，故.令，得，即，則.即這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過(guò)32個(gè)月.故選：D.6．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，由方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，可設(shè)，結(jié)合函數(shù)圖象對(duì)稱性可得，以及的取值范圍，從而可得解.【詳解】∵函數(shù)，方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根∴作出函數(shù)和圖象，如圖所示：設(shè)，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性可得.令，得，所以，則的取值范圍為.故選：D.7．如圖是函數(shù)的部分圖象.現(xiàn)將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到奇函數(shù)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的圖象可得，進(jìn)而利用平移即可求解.【詳解】由圖象可知的周期為,又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，將其代入可得,所以，故，則，由于為奇函數(shù)，所以，故，由于，故當(dāng)取最小值，故選：A8．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝，O是的內(nèi)心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍.【詳解】在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則bcsinA＝(a＋b＋c)r，解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為＝.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、根據(jù)內(nèi)切圓半徑求三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．若是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】由平面向量的有關(guān)定義、性質(zhì)、數(shù)量積與向量間的關(guān)系逐一判斷即可得解．【詳解】對(duì)于A，若，則向量長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，不能得到，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，若，則，所以，得，故D選項(xiàng)正確.故選：CD10．跑步愛(ài)好者小亮為了參加“2021年重慶市第六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)半程馬拉松”比賽，從2020年1月開(kāi)始進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練.他根據(jù)某跑步軟件記錄的2020年1月至2020年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖.請(qǐng)根據(jù)該折線圖分析，下列結(jié)論正確的是（

）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月C．1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小D．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)【答案】BCD【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢(shì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由折線圖的變化趨勢(shì)可知：月跑步里程不是逐月增加的，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由折線圖知：月跑步里程最小值出現(xiàn)在2月，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由折線圖的變化趨勢(shì)可知：8月至11月波動(dòng)較大，因此1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：月跑步里程數(shù)按從小到大的順序排列對(duì)應(yīng)月份分別為：2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)為中位數(shù)，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．棱錐的體積為定值 B．截面的周長(zhǎng)的最小值為C．存在點(diǎn)，使得平面 D．與平面所成的角的最大角為【答案】ABD【分析】利用等體積法求出體積判斷A；作出正方體的截面，利用幾何法求出截面周長(zhǎng)判斷B；舉例判斷C；求出的最小值，再利用線面角的定義求解判斷D作答.【詳解】在正方體中，，

對(duì)于A，連接，由平面平面，得，又平面，則平面，而平面，于是平面，點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，棱錐的體積為定值，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面與平面的交線平行于，同理平面與平面的交線平行于，因此平面截正方體的截面為，連接，顯然，在正方形中，延長(zhǎng)于，使，連接交于，連接，如圖，顯然垂直平分，點(diǎn)是中點(diǎn)，

因此截面的周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)檎襟w的對(duì)角面是矩形，不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令與平面所成的角為，，由選項(xiàng)A知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又為銳角，因此，D正確.故選：ABD12．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．B．C．是滿足條件的一個(gè)函數(shù)D．若當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，則的解集是【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得的周期為4，結(jié)合周期即可判斷ABC,結(jié)合對(duì)稱性以及單調(diào)性，由周期即可求解D.【詳解】由題可得關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以的周期為，，故A正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)的周期為，定義在R上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由題可知函數(shù)在上遞增，且，又關(guān)于直線對(duì)稱，在上遞減，且，所以時(shí)，，又周期為4，故的解集是，D正確，故選：ACD三、填空題13．兩個(gè)粒子從同一發(fā)射源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，則在上的投影向量為.【答案】【分析】在上的投影向量為，計(jì)算得到答案.【詳解】在上的投影向量為：，故答案為：.四、雙空題14．某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為；由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時(shí)，980小時(shí)，1030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為．【答案】小時(shí)【分析】第一空按照比例抽樣即可，第二空按照頻率與每個(gè)廠平均壽命乘積的和表示.【詳解】第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為100×50%=50；該產(chǎn)品的平均使用壽命為1020×0.5+980×0.2+1030×0.3=1015(小時(shí))．故答案為：50；1015小時(shí).五、填空題15．在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角.【答案】【分析】先根據(jù)正弦定理求出，再由條件確定為鈍角，為銳角，然后求出，再利用即可求得角.【詳解】設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，由正弦定理，，，，即為鈍角，為銳角，，，.故答案為：.16．已知四棱錐中的外接球的體積為，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)在球的表面上運(yùn)動(dòng)，則四棱錐體積的最大值為【答案】【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，且，由于，得到，再計(jì)算體積的最大值得到答案.【詳解】，故，將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，可知外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，且，由于，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，要使得四棱錐的體積最大，只需點(diǎn)為平面的中心與球心所在的直線與球的交點(diǎn)，又，故體積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查組合體與球，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.六、解答題17．在中，，，，是邊上一點(diǎn)，，設(shè)，．（1）試用，表示；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得結(jié)果；（2）將和分別用，表示，再結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵是邊上一點(diǎn)，，∴，又∵，，，∴．（2）∵，，，∴，.18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，的最大值為1，最小值為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由，求的值域，列方程組求實(shí)數(shù)的值；（2）求出函數(shù)的解析式，利用整體代入法求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)，有，則，因?yàn)?，所以?解得.（2），由，得.因?yàn)椋』?，?故函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為或.19．為了解我市參加2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的學(xué)生的考試成績(jī)，現(xiàn)從中選取60名同學(xué)，將其成績(jī)（百分制，均為正整數(shù)）分成，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如下圖），回答下列問(wèn)題.

(1)求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)本次考試成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(3)根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，排名靠前的的同學(xué)可以獲獎(jiǎng)，請(qǐng)估計(jì)獲獎(jiǎng)的同學(xué)至少需要多少分？該估計(jì)值是第_____百分位數(shù).【答案】(1)0.25；頻率分布直方圖見(jiàn)解析(2)眾數(shù)75和85；平均數(shù)70.5(3)88分；90【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合頻率和為1分析運(yùn)算；（2）根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)的概念運(yùn)算求解；（3）根據(jù)題意結(jié)合百分位數(shù)的定義理解運(yùn)算.【詳解】（1）由題意可得：，得分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，頻率分布直方圖如下：

（2）因?yàn)楦鹘M的頻率依次為，則的頻率相同且最大，所以眾數(shù)為和，平均分為.（3）因?yàn)榈念l率，兩組的頻率，設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)至少需要分，則，解得，所以得獲獎(jiǎng)的同學(xué)至少需要88分，根據(jù)百分位數(shù)的定義可知：該估計(jì)值是第90百分位數(shù).20．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將沿BD折起，使，連接AE、AC、DE，得到三棱錐．(1)求證：平面平面BCD；(2)若，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明平面，得到，再證明平面，得到證明.（2）分別為的中點(diǎn)，證明為二面角的平面角，設(shè)，根據(jù)等面積法得到，計(jì)算體積得到答案.【詳解】（1），，，故平面，平面，故，，，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.（2）如圖所示：分別為的中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，故，平面，故平面，平面，故.分別為中點(diǎn)，故，，故，，故平面，故為二面角的平面角，即，設(shè)，則，，，，，，根據(jù)的等面積法：，解得..21．拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn).”已知在中，以為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為.若角的對(duì)邊分別為，且

(1)求；(2)若，求的面積最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角及三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)即可得到，再由輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求得；（2）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值，再次利用基本不等式及三角形的面積公式可求得的面積最大值.【詳解】（1）由正弦定理得因?yàn)橐驗(yàn)榧磩t或因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，（2）由余弦定理得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取的中點(diǎn)G，同