2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A．1 B． C． D．3．下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A． B． C． D．4．若，則的值為（）A．0 B． C．1 D．5．長(zhǎng)、寬、高分別為2，，的長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．如圖，在梯形中，，，，若，則（）A．9 B．10 C．11 D．127．雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)束的2022到2023賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3人，站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)，記函數(shù)構(gòu)成的集合．已知實(shí)數(shù)、，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．若，則C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知變量，之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說(shuō)法正確的是（）681012632A．變量，之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系B．C．可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，約為2.6D．由表格數(shù)據(jù)知，該經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)10．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（）A． B．，，使得C． D．11．已知，分別為隨機(jī)事件，的對(duì)立事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．若，獨(dú)立，則 D．若，互斥，則12．矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)翻轉(zhuǎn)成．若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，正確的命題是（）A．是定值B．點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)C．一定存在某個(gè)位置，使D．一定存在某個(gè)位置，使平面三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________．14．若雙曲線(xiàn)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________．15．已知甲、乙兩支隊(duì)伍中各有20人，甲隊(duì)中有個(gè)男生與個(gè)女生，乙隊(duì)伍中有個(gè)男生與個(gè)女生，若從甲、乙兩隊(duì)中各取1個(gè)人，表示所取的2個(gè)人中男生的個(gè)數(shù)，則當(dāng)方差取到最大值時(shí)，的值為_(kāi)_________．16．已知，滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，．已知，則函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________，這些零點(diǎn)的和為_(kāi)_________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿(mǎn)分10分）已知等差數(shù)列中，，且前10項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在直三棱柱中，，，，依次為，的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．19．（本小題滿(mǎn)分12分）一個(gè)盒子中裝有大量形狀、大小一樣但質(zhì)量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱(chēng)出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的質(zhì)量頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)與平均數(shù)；（2）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中質(zhì)量在內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列和均值．（以直方圖中的頻率作為概率）20．（本小題滿(mǎn)分12分）（1）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊．請(qǐng)用向量方法證明等式；（2）若三個(gè)正數(shù)，，滿(mǎn)足，證明：以，，為長(zhǎng)度的三邊可以構(gòu)成三角形．21．（本小題滿(mǎn)分12分）已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離；（2）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．22．（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)．（1）證明；（2）關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案一、二、選擇題題號(hào)123456789101112答案ABCBBDBDACDCDBCDABD2．B【解析】由題意，化簡(jiǎn)得，則，所以復(fù)數(shù)的虛部為．3．C【解析】當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋蔇錯(cuò)誤．4．B【解析】．5．B【解析】該長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，外接球的半徑為，，．6．D【解析】法一：因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，，，所以，化?jiǎn)得．故．法二：利用投影可以迅速求解法三：坐標(biāo)法8．D【解析】因?yàn)?，，設(shè)，則，，即有，所以，其他的選項(xiàng)都不對(duì)．9．ACD【解析】由得，所以，成負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；當(dāng)時(shí)，的預(yù)測(cè)值為2.6，故C正確；，故．故經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)過(guò)，故D正確；因?yàn)?，所以，，故B錯(cuò)誤．10．CD【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯(cuò)，C對(duì)．由基本不等式可得，所以，則，故B錯(cuò)，D對(duì)．11．BCD【解析】選項(xiàng)A中：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C中：，獨(dú)立，則，則，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D中：，互斥，則，根據(jù)條件概率公式，故選項(xiàng)D正確，故選BCD．12．ABD【解析】取中點(diǎn)，連接，，則，，平面平面，平面，平面，D正確；，定值，定值，根據(jù)余弦定理得，，所以是定值．A正確；點(diǎn)以為軸旋轉(zhuǎn)，B正確；當(dāng)矩形滿(mǎn)足時(shí)存在，其他情況不存在，C不正確．所以ABD正確．三、填空題13．14．【解析】，，即，，雙曲線(xiàn)方程為，漸近線(xiàn)方程為．15．10【解析】法一：的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取到最大值時(shí)，的值為10．法二：的可能取值為0，1，2，則，由對(duì)稱(chēng)性可知，由數(shù)學(xué)直觀想象可知當(dāng)取到最大值時(shí)，最大，所以的值為10．16．1326（第一空2分，第二空3分）【解析】函數(shù)和的周期為4，都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，分別畫(huà)出和的圖象，可得答案．四、解答題17．【解析】（1）由已知得解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2），所以．18．【解析】（1）因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，則，又，，，平面，所以平面，又平面，則．（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令可得．設(shè)與平面所成角為，所以，即與平面成角的正弦值為．19．【解析】（1）由題意，得，解得．由頻率分布直方圖可估計(jì)盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)為20克，50個(gè)樣本中小球質(zhì)量的平均數(shù)為（克）．故由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)盅子中小球質(zhì)量的平均數(shù)為24.6克．（2）由題意知，該盒子中小球質(zhì)量在內(nèi)的概率為，則．的可能取值為0，1，2，3，則，，，．的分布列為0123（或者）．20．【解析】（1）因?yàn)?，則，即．（2）因?yàn)椋?，即，則即所以，，為長(zhǎng)度的三邊可以構(gòu)成三角形．21．【解析】（1）拋物線(xiàn)方程為，點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為．（2）法一：如圖，設(shè)，．把代入得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，點(diǎn)的坐標(biāo)為．假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則．又是的中點(diǎn)，．由（1）知．軸，，又．，解得，即存在，使．法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，如圖，設(shè)，．把代入得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，代入，得，，解得，即存在，使．22．【解析】（1），由可得；由可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即．（2）