杭州市七校高二下期中考試數(shù)學(xué)試題及答案(新課標(biāo)人教版)

2015學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)七校聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(▲)A（—2，0）B（0，—2）C（2，0）D（0，2）2、已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(▲)A．B．C．D．3、橢圓的焦距是(▲)A．4B．2eq\r(2)C．8 D．與m有關(guān)4、下列有關(guān)命題的說法正確的是(▲)A．命題“若”的否命題為：“若”；B．“”是“”的必要不充分條件；C．命題“若，則”的逆否命題為假命題；D．命題“若，則不全為零”的否命題為真命題.5、設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于不同的兩點(diǎn)、．若△為正三角形，則該雙曲線的離心率為(▲)A．B．C．D．6、不等式成立的一個(gè)必要而不充分條件是(▲)A．B． C．D．7、正方體中，是棱的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值(▲)A．B．C．D．8、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(▲)A. B. C. D.（第8題）（第9題）9、如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是(▲)A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．直線10、過M(－2,0)的直線m與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為(▲)A．－eq\f(1,2)B．－2C.eq\f(1,2) D．2二、填空題（本題共7小題，每小題4分，共28分）11、命題“存在實(shí)數(shù)，使QUOTE”的否定是.12、已知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則點(diǎn)P滿足的方程為.13、是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，則的面積等于．14、已知橢圓C：，斜率為1的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為.15、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為.16、已知向量，，且，則=.17、拋物線上兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，且，則等于三、解答題（本題共5小題，共52分）18、(本題滿分8分)已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線，求雙曲線方程．19、(本題滿分10分)設(shè)命題“對(duì)任意的”，命題“存在，使”。如果命題為真，命題為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍。20、(本題滿分10分)已知，求實(shí)數(shù)m的值，使得（1）（2）21、（本題滿分10分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F(1,0)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)。求拋物線C的方程；（2）若,求證直線AB過定點(diǎn)。22、（本題滿分14分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．(1)證明：BE⊥DC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

2015學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)七校聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）題號(hào)12345678910答案CACDBABDBA二、填空題（本題共7小題，每小題4分，共28分）11、對(duì)任意的，都有12、13、14、15、16、317、1三、解答題（本題共5小題，共52分）18、(本題滿分8分)解：由橢圓．…………2＇設(shè)雙曲線方程為，…………………3＇由漸近線為，則又……………5＇得……………7＇故所求雙曲線方程為……………8＇19、(本題滿分10分)解：P：對(duì)任意的恒成立，令………2＇…………………3＇……………5＇………………7＇…………………8＇或…………………9＇………………10＇20、（本題滿分10分）解：（1）………………2＇……4＇……6＇………………………7＇（2）………………9＇…………10＇21、（本題滿分10分）解：（1）依題意知，………………4＇，……………5＇由，則…………………6＇，………7＇……………………8＇……………9＇……………10＇22、解：方法一：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1，1，1)．(1)證明：向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故＝0，所以BE⊥DC.………………4＇(2)向量＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面PBD的法向量，則不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)為平面PBD的一個(gè)法向量．于是有＝＝eq\f(2,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).………8＇(3)向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0)．由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)＝λeq\o(CP,\s\up6(→))，0≤λ≤1.故＝＋＝＋λeq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，即＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2))).設(shè)n1＝(x，y，z)為平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)為平面FAB的一個(gè)法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，則cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(－3,\r(10)×1)＝－eq\f(3\r(10),10).易知二面角F-AB-P是銳角，所以其余弦值為eq\f(3\r(10),10).……14＇方法二：(1)證明：如圖所示，取PD中點(diǎn)M，連接EM，AM.由于E，M分別為PC，PD的中點(diǎn)，故EM∥DC，且EM＝eq\f(1,2)DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四邊形ABEM為平行四邊形，所以BE∥AM.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，從而CD⊥平面PAD.因?yàn)锳M?平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.…………4＇(2)連接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因?yàn)锳D＝AP，M為PD的中點(diǎn)，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直線BE在平面PBD內(nèi)的射影為直線BM.而BE⊥EM，可得∠EBM為銳角，故∠EBM為直線BE與平面PBD所成的角．依題意，有PD＝2eq\r(2)，而M為PD中點(diǎn)，可得AM＝eq\r(2)，進(jìn)而BE＝eq\r(2).故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(1,\r(2))，因此sin∠EBM＝eq\f(\r(3),3)，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).…………8＇(3)如圖所示，在△PAC中，過點(diǎn)F作FH∥PA交AC于點(diǎn)H.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，從而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD內(nèi)，可得CH＝3HA，從而CF＝3FP.在平面PDC內(nèi)，作FG∥DC交PD于點(diǎn)G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥A