2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市高一年級(jí)下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故選：B2．在銳角三角形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】解：在銳角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.故選：A.3．已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）.A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷A、B、C，由線面垂直、面面平行的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】A：，，則或，錯(cuò)誤；B：，，則或，錯(cuò)誤；C：，，則相交或平行，錯(cuò)誤；D：，，則，又，故，正確.故選：D4．甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2【答案】C【分析】利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式、對立事件的概率計(jì)算公式直接求解.【詳解】甲?乙兩人獨(dú)立地破譯某個(gè)密碼，甲譯出密碼的概率為0.4，乙譯出密碼的概率為0.5.則密碼被破譯的概率為:.故選：C.5．已知，，，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用和差角正弦公式及商數(shù)關(guān)系可得、、，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷大小.【詳解】，，，所以.故選：B6．在中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件，將用表示出來，從而可求出的值【詳解】因?yàn)?，所以為上靠近點(diǎn)的三等份點(diǎn)，所以,因?yàn)?，所以，所以，故選：A7．在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)芻童的幾何性可知外接球的球心在四棱臺(tái)上下底面中心連線上，設(shè)球心為O，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑即可求其表面積．【詳解】如圖，連接AC、BD、、，設(shè)AC∩BD＝M，∩＝N，連接MN．∵棱臺(tái)側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，如圖當(dāng)球心在線段MN延長線上時(shí)，易得，MC＝2，，，MN＝1，由得，，即，故OC＝，∴外接球表面積為．如圖當(dāng)球心在線段MN上時(shí)，由得，，即舍去，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用芻童的幾何性確定外接球的球心是解題的關(guān)鍵.8．函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)都有，且對任意的，不等式恒成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析得到函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再轉(zhuǎn)化為，得，恒成立，再分兩種情況，得到的范圍.【詳解】由題得函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則對任意的，不等式恒成立，則不等式，恒成立，則，恒成立，得，得，恒成立，則且，或且，恒成立，即當(dāng)時(shí)，且，或且，又當(dāng)，有，，得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生分析能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，綜合能力強(qiáng)，難度大.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．命題“”的否定是“”B．若，則“”是“”的必要不充分條件C．若事件滿足，則是對立事件D．若事件滿足，則事件相互獨(dú)立【答案】BD【分析】利用全稱量詞命題的否定判斷A；利用必要不充分條件的論證判斷B；利用對立事件的定義判斷C；利用獨(dú)立事件定義判斷D.【詳解】對于A，命題“”的否定是“”，A錯(cuò)；對于B，由，可得，所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；對于C，若事件不互斥，但恰好，滿足，但不對立，C錯(cuò)；對于D，滿足獨(dú)立事件的判斷公式，D正確.故選：BD10．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若，則C．恒成立D．若，則【答案】ABD【分析】分析不同情況下的各量之間的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，，∴恒成立，C正確；D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，D錯(cuò)誤.故選：ABD.11．已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，以下結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，，，則該三角形有兩解C．若，則一定為等腰三角形D．若，則一定為鈍角三角形【答案】AD【分析】對A，根據(jù)正弦定理判斷即可；對B，根據(jù)正弦定理求解判斷即可；對C，根據(jù)正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的取值判斷即可；對D，根據(jù)正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理判斷即可【詳解】對A，由三角形的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，又由正弦定理，故，故A正確；對B，由正弦定理，故，故，因?yàn)椋?，故該三角形只?解，故B錯(cuò)誤；對C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以為等腰或者直角三角形，故C錯(cuò)誤；對D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定為鈍角三角形，故D正確；故選：AD12．已知正方體的棱長為1，為棱（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．B．二面角的大小為C．點(diǎn)到平面距離的取值范圍是D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)幾何體為正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)后利用數(shù)量積可判斷A的正誤，求出平面的法向量和平面的法向量可利用數(shù)量積計(jì)算夾角的余弦值后可判斷B的正誤，利用點(diǎn)到平面的距離的公式計(jì)算后可判斷C的正誤，最后利用直線和平面的法向量計(jì)算線面角的正弦值后可判斷D的正誤.【詳解】

由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，對于A：，故即，故A正確.對于B：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.故，而二面角為銳二面角，故其余弦值為，不為，故二面角的平面角不是，故B錯(cuò)誤.對于C：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.而，故到平面的距離為，故C正確.對于D：設(shè)直線與平面所成的角為.因?yàn)槠矫?，故為平面的法向量，而，故，而，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：空間中位置關(guān)系的判斷、角的計(jì)算或范圍的判斷，可結(jié)合幾何體的規(guī)則性建立合適空間直角坐標(biāo)系，通過向量的共線、向量的數(shù)量積等來判斷位置關(guān)系，通過平面的法向量、直線的法向量等來處理相關(guān)角的計(jì)算或范圍問題.三、填空題13．若，則的最小值為．【答案】【分析】利用基本不等式求得最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：14．若，則.【答案】/－0.28【分析】利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式可求值.【詳解】，故答案為：.15．一組數(shù)據(jù)由6個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由4改為1，另一個(gè)數(shù)由6改為9，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為．【答案】5【分析】先計(jì)算均值，再根據(jù)方差的定義求解.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)為，均值為，不妨設(shè)，，方差為；由題意，新數(shù)據(jù)為，顯然新數(shù)據(jù)的均值與原數(shù)據(jù)的均值相等，其方差為；即新數(shù)據(jù)的方差比原數(shù)據(jù)的方差增加了5；故答案為：5.16．已知平面向量，，，滿足，，，，且對任意的實(shí)數(shù)，均有，則的最小值為.【答案】【分析】作，，建立平面直角坐標(biāo)系，作，作，由條件確定點(diǎn)的軌跡，由此確定即的最小值.【詳解】如圖作，，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為作，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，所以點(diǎn)在直線上，因?yàn)?，又點(diǎn)在圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上一動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去圓的半徑，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于等于，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線且點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于建立平面直角坐標(biāo)系，利用條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及性質(zhì)確定點(diǎn)的軌跡，由此結(jié)合直線與圓的性質(zhì)求解.四、解答題17．已知向量，，若，，與的夾角為．(1)求；(2)當(dāng)為何值時(shí)，向量與向量互相垂直？【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可求得，，，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出的值，開方即可得出答案；（2）由已知可得，展開代入已知，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，，，所以，，所以，.（2）由已知可得，即，所以有，解得.18．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識(shí)競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；(2)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(3)現(xiàn)在按分層抽樣的方法在和兩組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競賽的交流會(huì)，求兩人都在的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接平均數(shù)求法解決即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中位數(shù)求法解決即可；（3）根據(jù)分層抽樣得在分組中抽取的人數(shù)為人，在分組中抽取的人數(shù)為2人，有古典概型概率求法解決即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（2）因?yàn)槌煽冊诘念l率為，成績在的頻率為，所以中位數(shù)為（3）在和兩組中的人數(shù)分別為和人，所以在分組中抽取的人數(shù)為人，記為，在分組中抽取的人數(shù)為2人，記為，所以這5人中隨機(jī)抽取2人的情況有共10種，其中兩人得分都在的情況有1種，所以兩人得分都在的概率為.19．如圖，在四棱錐中，平面是的中點(diǎn).

(1)證明：面(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證即可；（2）由得，由平面得，所以平面，從而得證；（3），所以平面，根據(jù)求解．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，∵,,∴,∴為平行四邊形，則，∵面，面，∴面.

（2）因?yàn)?，所以，由平面平面，所以，又由，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即平面平?（3）由（1）可得，且平面，平面，所以平面，所以，因?yàn)槠矫?，可得，又由，所以，所以，即三棱錐的體積為.20．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）分析可得，，，求出角的取值范圍，由正弦定理可得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：由結(jié)合正弦定理可得：，則，因?yàn)?、，則，所以，，可得，故.（2）解：由可得，所以，，所以，，故，

在中，，，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?，則，所以，.所以，的取值范圍是.21．如圖，在三棱臺(tái)中，，平面，平面平面.(1)求證：；(2)若，的面積為4，求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而得，由已知條件可得，由線面垂直的判斷定理可得平面，從而即可證；（2）以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，所以①，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以②，易知與相交③,由①②③可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，，由?）可知平面，平面，所以，所以以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系：因?yàn)?，所以，，又因?yàn)榈拿娣e為4，即，解得，所以，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，所以，取，設(shè)平面的法向量為，則有，即，所以，取，設(shè)二面角的大小為，為銳角，則有.22．已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若，，，不等式對任意恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值；（2）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，令，，則對恒成立，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，驗(yàn)證對能否恒成立，綜合可得出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，所以，，解得.（2）由（1）可得，，任取、，且，