第二章平面問題的基本理論

第二章平面問題的基本理論第1頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題一、平面應(yīng)力問題(planestress)1．幾何形狀特征物體在一個(gè)坐標(biāo)方向(例如z方向)上的幾何尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)坐標(biāo)方向的幾何尺寸，圖示的薄板，板厚就遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于板面x、y方向的尺寸。第2頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月2．承受荷裁特征在薄板的兩個(gè)側(cè)表面上無表面荷載，作用于薄板邊緣的表面力平行于板面，且沿厚度方向不發(fā)生變化，或雖沿厚度方向變化但對稱于乎板畫的中間平面，即合力與中平面重合。同時(shí)，體力亦平行于板面，且沿厚度方向不變。3．簡化分析根據(jù)問題的特征，經(jīng)過分析判斷可預(yù)先未知函數(shù)中一部分為零或接近于零，或與共他分雖相比，小到可以忽略不計(jì)的程度。第3頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)彈性薄板的厚度為h，因薄板兩側(cè)面無表面力作用，所以有而在薄板內(nèi)部，這三個(gè)應(yīng)力分量是不為零的。但是，由于板很薄且在所給荷載情形下，薄板不受彎曲作用，也不存在穩(wěn)定問題。所以可認(rèn)為板內(nèi)所有各點(diǎn)都有由剪應(yīng)力互等定理，得故平面應(yīng)力問題的非零應(yīng)力分量為第4頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)際工程中，可以簡化為平面應(yīng)力問題的例子是很多的。例如，高層建筑中的剪力墻、深梁、平面吊鉤(如圖2—3所示)以及平面鏈環(huán)、被圓孔或圓槽削弱的薄板等等，都可簡化為平面應(yīng)力問題。在實(shí)際應(yīng)用中，對于微度變厚度的薄板、帶有加強(qiáng)筋的薄板、平面剛架的節(jié)點(diǎn)區(qū)域等等，只要符合上述兩個(gè)條件，也往往核平面應(yīng)力問題用有限單元法作近似計(jì)算。第5頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月二平面應(yīng)變問題(planestrain)1．幾何形狀特征與平面應(yīng)力問題相底物體沿一個(gè)處標(biāo)軸(例如z軸)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)坐標(biāo)軸(x軸和y軸)方向的尺寸，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等截面柱體。2．承受荷載特征柱體的體積力和側(cè)表面所承受的表面力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨坐標(biāo)z變化,柱體的位移約束條件和力的支承條件沿z方向也是相同的。第6頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月3．簡化分析等截面柱體，例如擋土墻、隧道、重力壩和圓管等，如果受到垂直于z軸且不沿長度變化的荷載作用，就可以假定所有橫截面都處于相同的情況。為簡單起見，現(xiàn)在先假定兩端截面被限制在兩個(gè)固定的光沿剛性平而之間，因而z方向的位移被阻止了。由于兩端沒有軸向位移，且由于對稱，在中間截面也沒有軸向位移；因而可以假定每一個(gè)橫截面都同樣沒有軸向位移。每一個(gè)橫截面都同樣沒有向向位移。當(dāng)然，在長柱體的每一種情況下，荷裁必須不沿長度變化。第8頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所有橫截面的情況相同，所以只須考慮相隔—個(gè)單位長度的兩截面之間的薄板(即一片)就夠了。這時(shí)，位移分量u和v是x和y的函數(shù)，但與縱坐標(biāo)z無關(guān)，因?yàn)榭v向位移w為零，所以可得 。于是，六個(gè)應(yīng)變分量只剩下、和等三個(gè)應(yīng)變分量了，而且它們僅是x和y的函數(shù)。所以，凡符合下列兩個(gè)條件的應(yīng)變狀態(tài)，就稱為平面應(yīng)變狀態(tài)，所求的這種彈性力學(xué)問題稱平面應(yīng)變問題。第9頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2平衡微分方程(differentialequationsofequilibrium)基本思路過彈體內(nèi)任意一點(diǎn)P截取一微小的正平行六面體(單元體)，并把內(nèi)應(yīng)力連同體積力(外力)一起作用在該單元體上，考慮其平衡，列出其力的平衡條件，這樣就可導(dǎo)出內(nèi)應(yīng)力分量與體積力分量之間的微分關(guān)系式——平衡微分方程。第10頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月對圖示的六面體，各面上的應(yīng)力分布已經(jīng)給出，應(yīng)力分布被認(rèn)為作用于對應(yīng)的微分面的中心j，體力分量被認(rèn)為作用于微分體體積的中心上。第11頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月方程推導(dǎo)考慮任意一個(gè)單元體的平衡，則是保證整個(gè)物體平衡的必要和充分條件。因此，作用在單元體上的力應(yīng)當(dāng)滿足平面問題的三個(gè)平衡條件：整理以后，得Nevier方程(2-1)第12頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊除以dxdy,合并相同的項(xiàng)，得到這不過是再一次證明了曲應(yīng)力的互等性。可見，Navier方程中只有三個(gè)未知函數(shù)。(2-2)第13頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題，可以證明：當(dāng)知道了物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量

x、y

和

xy以后，作用于通過該點(diǎn)處與xy平面垂直并與x和y軸交成某一角度的任一平面上的應(yīng)力，都可以求得。第14頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月令P為受力的板中的一點(diǎn)，并假定應(yīng)力分量

x、y

和

xy是已知的。試取一個(gè)平行于z軸而距離P點(diǎn)很近的平面BC，于是。這個(gè)平面連同坐標(biāo)面一起，從板上分割出一個(gè)很小的三棱柱PBC。因因?yàn)閼?yīng)力在物體內(nèi)連續(xù)變化。所以當(dāng)分割的三棱校漸小時(shí)。作用于平面BC上的應(yīng)力將趨近于經(jīng)過P點(diǎn)并與它平行的平面上的應(yīng)力。n第15頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月令n為平面BC的法線方向．并用代表法線與x軸和y軸之間的夾角的余弦。于是，把三棱柱BC面的向積用A代表．則另外兩面的面積為Al和Am。用 及 代表BC面上的應(yīng)力分量，則由三棱柱的平衡方程得(2-3)第16頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月令

為法線n與x軸之間的夾角，于是有l(wèi)=cos

，m=sin

，并由方程(2-3)得平面BC上的正應(yīng)力分量和剪應(yīng)力分量(2-4)式(2-4)與材料力學(xué)的結(jié)果是完全相同的，只是使用的符號記法不一樣。同時(shí)教材中所給出的確定主應(yīng)力的方法也與材料力學(xué)中學(xué)習(xí)過的方法一樣。下面我們介紹一種更加簡便的記法——矩陣記法。第17頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月對平面應(yīng)力狀態(tài)，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以記為而法線n記為(l,m)T，這樣式(2-4)可以寫成此時(shí)，剪應(yīng)力卻不能給出普遍性的表達(dá)式，原因是這時(shí)的斜截面BC不能用正、負(fù)坐標(biāo)微面來規(guī)定其所謂的正方向，即便如此，對圖示情形,(2-5)第18頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月從而，有注意：我們將(

ij)稱為一點(diǎn)的應(yīng)力張量，它可以完全反映該點(diǎn)的應(yīng)力之分布情況。(

ij)n事實(shí)上就是斜面BC上的應(yīng)力按沿坐標(biāo)分量的記法，即某斜截面的剪應(yīng)力由于沒有規(guī)定相應(yīng)的切向正方向，所以經(jīng)常要視剪應(yīng)力的具體情況而定。(2-6)第19頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月主應(yīng)力、主方向的確定應(yīng)力張量也可以把它看成應(yīng)力矩陣。而對于矩陣，按線性代數(shù)理論，它存在特征矩陣和特征方程，即(2-7)(2-8)第20頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：特征方程的特征根就是該點(diǎn)的主應(yīng)力對于特征方程該方程的兩個(gè)特征根為(2-9)將每一個(gè)特征根

i代入下述方程組這是一個(gè)關(guān)于l,m的齊次線性方程組，該方程的基礎(chǔ)解系就是與主應(yīng)力

i對應(yīng)的特征方向(li,mi)T。(2-10)第21頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例以純剪切應(yīng)力狀態(tài)為例。顯然第22頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月將

1代入下列方程組其解為也就是說與

1對應(yīng)的方向?yàn)?1,1)，或者(-1,-1)。同樣可得與

2對應(yīng)的方向?yàn)?-1,1)，或(1,-1)。(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)第23頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-3幾何方程剛體位移經(jīng)過彈性休內(nèi)任意一點(diǎn)P，截取一微小的單位厚度的正六面體PACB，假定彈性體受力以后(形變與位移只發(fā)生在xy平面內(nèi))，六面體移動到新的位置 。這樣，可以看到兩種基本的幾何形變，即，一種是在x、y方向上原來直線長度PA、PB的變化，另一種是所給PA與PB夾角(直角)的變化。分別推導(dǎo)這兩種基本的幾何形變，就可以得到線形變和角形變的方程。這兩種方程的綜合就得到所謂平面問題的幾何方程。第24頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月在平面問題中，其形變和位移與應(yīng)力一樣，僅僅是x、y的函數(shù)，從而只需分析xoy平面內(nèi)形變與位移的關(guān)系。對于圖示的有限小六面體(棱邊長度分別為

x、

y，單位厚度

z=1)。當(dāng)彈性體變形時(shí)點(diǎn)P(x，y)移至P′(x+u，y+v)，其余的各角點(diǎn)也分別移至新的位置，如A(x+

x，y)移至A′(x+

x+u+

u，y+v+

v1)，如此等等。第25頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由于點(diǎn)A的位移與點(diǎn)P的位移不相等，假定變形后的梭邊P′A′比變形前的棱邊PA伸長了。由因可見，其水平投影的長度增加了(u+u)-u=

u，從而其水平投影的相劉伸長晝?yōu)?/p>

u／

x，這就是六面體在x方向的平均線應(yīng)變。同理，六面體在y方向的平均線應(yīng)變?yōu)?/p>

v／

y，當(dāng)該有限小六面體棱邊的長度

x、

y無限趨于零時(shí)，這兩個(gè)平均線應(yīng)變的極限便分別成為P(x，y)點(diǎn)處的線形變分量

x和

y第26頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣可很線段PA、PB的轉(zhuǎn)角分別為于是可得PA與PB之間的直角的改變(以減小時(shí)為正)，也就是剪應(yīng)變

xy為綜合得Cauchy方程(2-11)第27頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體位移由幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量則亦完全確定；反之，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。為了說明后一點(diǎn)，試令應(yīng)變分量等于零，即將上式代入幾何方程(3-1)，得(a)(b)第28頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月將前兩式分別對x及y積分，得其中f1、f2為任意函數(shù)。代(c)入(b)中的第三式，得(c)這一方程的左邊是y的函數(shù)而右邊是x的函數(shù)。因此，只能是兩邊都等于同一常數(shù)

，于是得(d)(e)第29頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月積分以后，得(f)式中u0、v0為任意常數(shù)。將式(f)代入式(c)，得位移分量(2-12)式(3-2)所示的位移，是“應(yīng)變?yōu)榱恪睍r(shí)的位移，也就是所謂“與應(yīng)變無關(guān)的位移”，因此必然是剛體位移。實(shí)際上，u0、v0分別為物體沿x軸及y軸方向的剛體平移，而

為物體繞z的的剛體轉(zhuǎn)動。下面根據(jù)平面運(yùn)動的原理加以證明。第30頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)三個(gè)常數(shù)中只有u0不為零時(shí)，由式(3-2)可見，物體中任意一點(diǎn)的位移分量是u=u0，v=0。這就是說物體的所有各點(diǎn)只沿x方向移動同樣的距離u0。由此可見，u0代表物體沿x方向的剛體平移。同樣可見，v0代表物體沿y方向剛體平移。當(dāng)只

不為零時(shí)，由式(3-2)可見，物體中任意一點(diǎn)的位移分量是第31頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月?lián)?，坐?biāo)為(x，y)的任意一點(diǎn)P沿著正y方向移動

x，并沿著負(fù)x方向移動

y，如圖示，而合成位移為式中r為P點(diǎn)至z軸的距離。令合成位移的方向與y軸的夾角為

，第32頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月則可見合成位移的方向與徑向線段OP垂直，也就是沿著切向。既然物體的所有各點(diǎn)移動的方向都是沿著切向，而且移動的距離等于徑向距離r乘以

，可見(注意位移是微小的)。代表物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動。既然物體在形變?yōu)榱銜r(shí)可以有剛體位移，可見，當(dāng)物體發(fā)生一定的形變時(shí)，由于約束條件的不同，它可能具有不同的剛體位移。因而它的位移并不是完全確定的，在平面問題中，常數(shù)u0、v0、

。的任意性就反映了位移的不確定性．而為了完全確定位移，就必須有三個(gè)適當(dāng)?shù)募s束條件來確定這三個(gè)常數(shù)。第33頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-5物理方程一維情況下的虎克定律

=E

。推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)，得到空間問題的物理方程其中E是彈性量，G是剪切彈性模量，為Poisson系數(shù)(2-13)(2-14)第34頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月1.在平面應(yīng)力問題中，

z=0，

yz=

zx=0，(2-15)由(2-13)的第三式知道第35頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月2.在平面應(yīng)變問題中，由于物體的所有各點(diǎn)都不沿z方向移動，即w=0，所以z方向的線段都沒有伸縮，即

z=0。于是由式(2-13)中的第三式得代入其它式子，注意到

yz=

zx=0，則有(2-16)——平面應(yīng)變問題的(Lamè形式)Hooke定律。第36頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣就得到了平面問題的基本方程組或第37頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：也可以將Hooke定律寫成用應(yīng)變表達(dá)的形式(Young-Poisson形式)另外，對于平面應(yīng)變的情形，只要將平面應(yīng)力時(shí)的物理方程中的彈性常數(shù)作如下變化，則可得到平面應(yīng)力時(shí)的物理方程，無論是Lamè形式還是Young-Poisson形式。第38頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由基本方程組知，平面問題的基本未知量的數(shù)目為8個(gè)，即另外，根據(jù)彈性力學(xué)的物理假定，彈性常數(shù)E，G，

有如下性質(zhì)：(一)不隨應(yīng)力或形變的大小而變；(二)不隨位置坐標(biāo)而變；(三)不隨方向而變?？梢姡匠痰臄?shù)目和未知量的數(shù)目是相同的，只要考慮相應(yīng)的邊界條件就可以求解。第39頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-5邊界條件Saint-Venant原理(Boundarycondition&Saint-Venant’sPrinciple)當(dāng)物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，其內(nèi)部各點(diǎn)的應(yīng)力分量應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程(2-1)，如果所考察的是位于物體表面上的點(diǎn)(即邊界點(diǎn))，顯然這些點(diǎn)的應(yīng)力分量(代表物體內(nèi)部作用于這些邊界點(diǎn)上的力)應(yīng)當(dāng)與作用在該點(diǎn)處的外力(表面力)相平衡，這種邊界點(diǎn)的平衡條件，稱為邊界條件(也稱為靜力邊界條件或應(yīng)力邊界條件)。第40頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月我們所取的微分體就是具有單位厚度的五面休(三角板狀)PAB，斜邊與邊界研重合，如圖所示。用n表示邊界面AB的外法線方向，則有由平衡條件

X=0，Y=0得(2-17)這就是平面問題的應(yīng)力邊界條件。第41頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)任討論兩種極端情況下的邊界條件。一種是在物體的邊界上全部給定面力，距S

表示。如圖示，這時(shí)應(yīng)力邊界條件即為式(2-17)。另一種是在物體的達(dá)界上全部給定位移，用Su表示，如圖示，這時(shí)，位移邊界條件為，(2-18)式中u、v是位移的邊界值，是待求的，而 在邊界上是坐標(biāo)x，y的函數(shù)，是已知的。第42頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)邊界垂直于某一坐標(biāo)軸時(shí)，應(yīng)力邊界條件的形式將得到大大的筒化：在垂直于x軸的邊界上，x值為常量，l＝±1，m=0，應(yīng)力邊界條件簡化為在垂直于y軸的邊界上，y值為常量，l=0，m=±1，應(yīng)力邊界條件簡化為可見，在這種特殊情況下，應(yīng)力分量的邊界值就等于對應(yīng)的面力分量(當(dāng)邊界的外法線沿坐標(biāo)軸正方向時(shí)，兩者的正負(fù)號相間；當(dāng)邊界的外法線沿坐標(biāo)軸負(fù)方向時(shí)，兩者的正負(fù)號相反)。第43頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：在垂直于x軸的邊界上，應(yīng)力邊界條件中并沒有

y，在垂直于y軸的邊界上，應(yīng)力邊界條件中并沒有

x。這就是說，平行于邊界的正應(yīng)力，它的邊界值與面力分量并不直接相關(guān)。第44頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月混合邊界條件圖示彈性體，部分位移被限制，故為位移邊界條件Su而另一部分邊界則是外力已知，故為應(yīng)力邊界條件S

兩者結(jié)合起來，即為混合邊界條件。第45頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例試寫出圖示平面問題的應(yīng)力邊界條件。n解：在y=0的邊界上，有亦y=xtan

邊界面上，表面力為零，外法線n的方向余弦為由式(2-17)得第46頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)有距形截面的豎柱，密度為

，應(yīng)力分量為試分別利用圖1a和b確定常數(shù)Cl及C2.圖1(a)第47頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月解：方法一由圖知，用靜力邊界條件確定常數(shù)，必須先求出支承反力。對于圖1a，求得支承反力為 ，如圖2示。其邊界條件為圖2(b)將式(a)代入上式，得方法二如果同時(shí)應(yīng)用平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，就不必求出支承反力而能直接定出常數(shù)。例如，由平衡微分方程(2-1)的第二式第48頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月即得再由圖1a上邊界，得所以對于圖1b，由平衡微分方程(2-1)第二式，得C1=

g，再由圖1b下邊界得導(dǎo)出第49頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月Saint-Venant’sPrinciple用彈件力學(xué)方法求解實(shí)際問題時(shí)，若嚴(yán)格按照表面力的真實(shí)分布情況給出邊界條件，這在數(shù)學(xué)上將變得異常復(fù)雜。由于這一原因，也出于在實(shí)際問題中往往對于局部區(qū)域上外力的分布方式很難明確，于是，人們研究了局部區(qū)域上力的作用方式對于彈性力學(xué)解答的影響問題，這一問題由圣維南明確提出：如果改變物體的某一局部(小部分)邊界面上作用的表面力的分布方式，但保持靜力上的等效(即主向量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同)，則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力改變甚小，可以忽略不計(jì)。這一敘述稱為圣維南原理。第50頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，右圖示a和b的端部，作用力滿足靜力等效條件，所以這兩個(gè)問題應(yīng)力分布的顯著差異發(fā)生在端部，遠(yuǎn)處可以用圖b的解答代替圖a的解答。我們知道，圖a問題的精確解答(包括端部條件的精確滿足)是十分困難的。而圖b問題的解答卻是十分容易得到的。所以我們在具體計(jì)算是用圖b的邊界條件代替圖a的邊界條件，并稱這樣的邊界條件為S-N邊界。第51頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月左圖a中的邊界也是很難滿足的，一般情況下，圖b的邊界卻很容易滿足，而且這兩種邊界是靜力等效的，所以我們認(rèn)為這兩種情況在遠(yuǎn)離邊界的區(qū)域的應(yīng)力分布是一樣的。第52頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月必須指出，在上述的梁中，如梁的長與高相當(dāng)或相近（深梁），這時(shí)聞靜力等效條件將產(chǎn)生顯著的誤差，所以，這時(shí)就不能采用靜力等效。第53頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月對于局部域受一平衡力系作用時(shí)，圣維南原理還可另述如下：

如果物體一小部分邊界表面承受的表面力是一平衡力系，即主矢量和主矩都為零，這個(gè)平衡表面力所產(chǎn)生的影響只限在局部，即只在受力附近產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而在遠(yuǎn)離受力位置，應(yīng)力就迅速衰減甚至消失。最顯著的例證，就是用鉗子夾鋼絲或鐵絲，在加力點(diǎn)(鉗口)附近發(fā)生很大的應(yīng)力乃至剪斷，但是，只要離鉗口不甚遠(yuǎn)，應(yīng)力就已很小甚至沒有，那里的全屬不保有任何受力的痕跡。第54頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-7按位移求解平面問題按位移求解，就是以位移分量為基本來知函數(shù)，求解平面問題的基本微分方程。一旦求得了位移分量，即可通過幾何方程(2-11)求得應(yīng)變分量，通過物理方程(2-13)求得應(yīng)力分量。為此，首先要導(dǎo)出按位移求解平面問題時(shí)所需用的基本方程(微分方程)和邊界條件。這需將用應(yīng)力分量表示的平衡微分方程(2-1)變換為用位移分量表示的平銜微分方程，同時(shí)，應(yīng)力邊界條件也將作相應(yīng)的變換。第55頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月建立以位移為基本變量的基本方程組（以平面應(yīng)力問題為例）1.將Hooke定律表達(dá)為位移相關(guān)的形式(2-19)第56頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月將Cauchy方程(2-11)代入(2-19)得(2-20)第57頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月再將式(2-20)代入平衡微分方程(2-1)，簡化后，即得(2-21)這是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)所用的基本微分方程，也就是所謂拉梅(Lamè)方程在平面應(yīng)力問題中的簡化形式。實(shí)質(zhì)上，它就是用位移表示的平衡微分方程，這也就是方程(2-21)的力學(xué)意義?！?Lamè)方程第58頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，將式(2-20)代入應(yīng)力邊界條件(2-17)，簡化以后，得(2-22)這是用位移表示的應(yīng)力邊界條件，也就是按位移求解平面應(yīng)力問題時(shí)所用的靜力邊界條件。位移邊界條件仍然如式(2-l8)所示，即(2-18)至于導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的Lamè方程，只需將上述(2-21)和(2-22)式作與物理方程相同的彈性常數(shù)變換即可。第59頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：對于按位移法求解平面問題，其基本方程是(2-21)，這是兩個(gè)方程組成的偏微分方程組，再加上應(yīng)力邊界條件(2-22)和位移邊界條件(2-18)。其特點(diǎn)是，未知量數(shù)目只有兩個(gè)，即位移函數(shù)u和v。這組方程很容易用于作有限元數(shù)值計(jì)算。第60頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-8按應(yīng)力求解平面問題相容方程按應(yīng)力求解平面問題，就是以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，求解平面問題的基本微分方程。由于平衡微分方程(2-1)本身就是用應(yīng)力分量表示的，應(yīng)當(dāng)保留。于是，只需從三個(gè)幾何方程中消去位移分量，得出應(yīng)變分量之間的一個(gè)關(guān)系式，可將物理方程式代入這個(gè)關(guān)系式，使它只包含應(yīng)力分量即可。若求得的三個(gè)應(yīng)力分量表達(dá)式，是物體的真正的應(yīng)力場，即可通過物理方程(2-15)或(2-16)求得應(yīng)變分量，從而通過幾何方程(2-11)就可求得單值、連續(xù)的位移分量表達(dá)式。第61頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月(2-11)考慮將Cauchy方程第一式對y求二階導(dǎo)數(shù)，第二式對x求二階導(dǎo)數(shù)相加得(2-23)即上式稱為彈性體變形相容方程(CompatibilityEquations)，也稱S-N恒等式。它是保證彈性體變形連續(xù)的條件。第62頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月對于平面應(yīng)力問題，將物理方程(2-15)代入式(2-23)，得(2-24)利用平衡微分方程可以簡化上式，使它只包含正應(yīng)力而不包含剪應(yīng)力。為此，將平衡微分方程(2-1)寫成將前一方程對x求導(dǎo)，后一方程對y求導(dǎo)，然后相加，得第63頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月代入式(2-24)，得即(2-25)——平面應(yīng)力時(shí)的應(yīng)力相容方程可見，按應(yīng)力求解時(shí)得到的是一個(gè)關(guān)于(

x+y)微分方程與平衡微分方程聯(lián)立求解。對于平面應(yīng)變問題，只要對彈性常數(shù)作變換即可。第64頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月特別地，當(dāng)體力為零或常數(shù)時(shí)，得這是一個(gè)關(guān)于(

x+y)的調(diào)和方程，而在數(shù)學(xué)上，調(diào)和方程已經(jīng)得到了滿意的解答，這使按應(yīng)力解析求解彈性平面問題稱為可能。(——請同學(xué)們參閱高等數(shù)學(xué)中關(guān)于調(diào)和函數(shù)和調(diào)和方程的性質(zhì))(2-26)但是由于位移邊界條件無法用應(yīng)力分量來表示，所以對于位移邊值問題和混合邊值問題，一般都不可能按應(yīng)力求解而得出精確解答?！@是按應(yīng)力解法的局限性第65頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月需要提出，相容方程(2-25)是經(jīng)過對幾何方程和平衡微分方程求導(dǎo)得到的，這就可能帶進(jìn)一些新的多值解，這些解答不滿足原來的幾何方程和平衡微分方程。因此，按應(yīng)力求解彈性力學(xué)平面問題的提法為：在給定邊界條件下求解平衡微分方程(2-1)與相容方程(2-25)組成的偏微分方程組。同時(shí)，按應(yīng)力求解時(shí)，還要進(jìn)一步分析能否得到應(yīng)力的單值解答。經(jīng)分析證明，對單連體情況，即只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體確實(shí)可得到單值解，但對多連體，必須附加位移單值條件才能得到應(yīng)力、形變的單位解。第66頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-9常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)常體力情況下平面應(yīng)力問題的基本方程為(2-27)這是一個(gè)偏微分方程組，下面我們針對這種特殊形式的偏微分方程組，利用數(shù)學(xué)知識來確定該方程的通解和特解。注意，這里所說的特解是在假定體力為常數(shù)時(shí)的特解，并沒有計(jì)及邊界條件，也就是說是特解中是存在積分常數(shù)的。第67頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由平衡微分方程可見，其特解是與體力X、Y有關(guān)的?？捎糜^察法得到。例如，下面三組應(yīng)力分量部可作為平衡方程的特解?，F(xiàn)在，求解齊次方程的通解第68頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由第一式根據(jù)高等數(shù)學(xué)的全微分理論知，存在函數(shù)A(x,y)，使得由第二式則必存在函數(shù)B(x,y)，使得(a)(b)第69頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(a)和(b)第二式則必存在函數(shù)

(x,y)，使得這樣(2-28)第70頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月式(2-28)就是(2-27)齊方程的通解。將通解(2-28)與任一組特解疊加，即得微分方程(2-27)的全解。比如不論

是什么樣的函數(shù)，式(2-29)表示的應(yīng)力分量總能滿足平衡微分方程(2-1)。函數(shù)

稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)(Stressfunction)，是Airy首先引用的。有時(shí)也稱為Airy應(yīng)力函數(shù)。(2-29)第71頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月(2-30)展開得——用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式(2-30)在數(shù)學(xué)上稱為雙調(diào)和方程，而滿足雙調(diào)和方程的函數(shù)叫做雙調(diào)和函數(shù)。由此可見，彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力函數(shù)

(x，y)是一個(gè)雙調(diào)和函數(shù)。綜合以上分析得出，在常體力時(shí)只要引入一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，求解平面問題時(shí)需用的三個(gè)方程最后歸納為一個(gè)方程。從而，原來需要求解的三個(gè)未知函數(shù)(

x

y

xy)的問題就轉(zhuǎn)化為只需求解一個(gè)未知函數(shù)，這就使問題的求解大為簡化。第72頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月如果體力討以不計(jì)，則X=Y=0，公式(2-29)就轉(zhuǎn)化為(2-31)于是在求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，如果體力是常量，就只需由微分方程(2-30)求解應(yīng)力函數(shù)

，然后用式(2-29)或(2-31)求出應(yīng)力分量。但這些應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)力邊界條件，在多連體中，與這些應(yīng)力分量相應(yīng)的位移分量還向當(dāng)滿足位移單值條件。第73頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例圖示懸臂梁，ox軸平分梁高h(yuǎn)，試根據(jù)材料力學(xué)中

x的表達(dá)式，用平衡微分方程導(dǎo)出

xy和

y的表達(dá)式。解：過P點(diǎn)橫截面上的彎矩為則由平衡微分方程第74頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月得由梁的邊界條件則再由平衡微分方程，得最后得得根據(jù)邊界條件第75頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例圖示薄板條有一齒形ABC，板條在y方向受均勻拉力的作用。試證明在齒的尖端A處無應(yīng)力存在。證明因圖示受力板條可視為平面應(yīng)力問題，且齒面AB與AC均為自由邊界，無面力作用。設(shè)A點(diǎn)的外法線方向余弦為(l,m)所以A點(diǎn)應(yīng)滿足邊界條件ABCn由于(l,m)是任意的，該方程組成立的條件是系數(shù)矩陣為零，即A處無應(yīng)力存在。第76頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月附錄全微分方程如果方程的左邊恰是某一函數(shù)

(x，y)的全微分，即(a)則方程(a)稱為全微分方程(或叫恰當(dāng)微分方程)，這時(shí)方程(a)可寫成(b)(c)因而，它的通解為式中C是任意常數(shù)。(d)第77頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地說方程(a)是否為全微分方程并不是一眼就能看出的，而是要通過某一條件來判別的。這里，我們假定函數(shù)A(x,y)和B(x,y)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。如果介程(a)是全微分方程，即有函數(shù)

(x,y)使得則(e)將式(e)中第一式兩邊對x求偏導(dǎo)，第二式兩邊對y求偏導(dǎo)數(shù)，得第78頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月由得式(f)就是使方程(a)成為全微分方程的必要條件。(f)事實(shí)上，式(f)也是充要條件，其充分性證明從略。第79頁，課件共91頁，創(chuàng)作于2023年2月例1圖示為被兩個(gè)固定的光滑剛性平面所挾持的彈性薄板，板厚為t，坐標(biāo)面xoy與平分板厚的中面重合。在薄板周邊作用有沿板厚均勻分布的，自相平衡的壓力q，試證明該問題也