保定市博野中學(xué)高一下學(xué)期月月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年河北省保定市博野中學(xué)高一（下)5月月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)()①若a＞|b|，則a2＞b2②若a＞b，c＞d,則a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，則ac＞bd④若a＞b＞o，則＞．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．點P(x,y）在直線x+y﹣4=0上,O是原點,則｜OP|的最小值是（）A． B．2 C． D．23．如圖，△A’B'C’是△ABC用“斜二測畫法"畫出的直觀圖,其中O'B'=O’C'=1，O'A'=，那么△ABC是一個（)A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形4．直線l1，l2是分別經(jīng)過A（1,1），B（0,﹣1)兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1,l2間的距離最大時，直線l1的方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+2y+3=0 D．x﹣y+3=05．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題是真命題的是（）A．若m∥α,m∥β，則α∥β B．若m∥α，α∥β，則m∥βC．若m?α，m⊥β，則α⊥β D．若m?α，α⊥β，則m⊥β6．下列命題正確的是（)A．兩兩相交的三條直線可確定一個平面B．兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行C．過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行D．和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線7．如圖，直線y=ax﹣的圖象可能是（）A． B． C． D．8．直線（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0過定點(）A．（1,﹣3） B．(4，3） C．（3，1） D．（2，3）9．某幾何體的三視圖如圖所示（在右邊的網(wǎng)格線中,每個小正方形的邊長為1）,則該幾何體的表面積為（）A．48 B．54 C．60 D．6410．已知三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=，BC=，AC=2,則此三棱錐的外接球的體積為（）A．π B．π C．π D．π11．點（4，0)關(guān)于直線5x+4y+21=0的對稱點是(）A．(﹣6，8） B．(﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）12．如圖所示，在著名的漢諾塔問題中有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上：①每次只能移動一個金屬片;②在每次移動過程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為f(n)，則f(6）=（）A．31 B．33 C．63 D．65二、填空題：本題共4小題,每小題5分．13．如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截,剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b,那么圓柱被截后剩下部分的體積是．14．將直線y=x+﹣1繞它上面一點（1，)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，則所得直線的方程為．15．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a，b,c，cosC=，且acosB+bcosA=2，則△ABC面積的最大值為．16．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中（如圖），已知點P在直線BC1上運動．則下列四個命題：①三棱錐A﹣D1BC的體積不變；②直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不變;④M是平面A1B1C1D1內(nèi)到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線AD1其中正確命題的編號是．（寫出所有正確命題的編號）三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知A（1，﹣1），B(2,2），C（3，0）,求點D的坐標(biāo)，使直線CD⊥AB,且CB∥AD．18．已知{an｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn}滿足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求{bn}的前n項和．19．已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c,且2acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面積．20．如圖,在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形,AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求證：平面PCD⊥平面PAD；（2）在側(cè)棱PC上是否存在點E，使得BE∥平面PAD,若存在,確定點E位置；若不存在，說明理由．21．如圖1，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ADC=90°,BA=BC，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得P點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上,如圖2所示，點E、F分別為棱PC、CD的中點．（Ⅰ）求證:平面OEF∥平面APD；（Ⅱ）若AD=3，CD=4，AB=5，求四棱錐E﹣CFO的體積．22．在四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DBA=60°，∠SAD=30°，，BA=BS=4．(Ⅰ）證明：BD⊥平面SAD;（Ⅱ）求直線SB與平面ABCD所成角的正弦值．

2016-2017學(xué)年河北省保定市博野中學(xué)高一（下)5月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)(）①若a＞｜b｜，則a2＞b2②若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d,則ac＞bd④若a＞b＞o，則＞．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】直接由不等式的可乘積性判斷①；舉例說明②③④錯誤．【解答】解:①若a＞｜b｜,則a2＞b2，①正確；②若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d錯誤,如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b,c＞d，則ac＞bd錯誤,如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×(﹣3）；④若a＞b＞o，則，當(dāng)c＞0時，＜,④錯誤．∴正確命題的個數(shù)只有1個．故選：C．2．點P（x，y)在直線x+y﹣4=0上，O是原點，則|OP|的最小值是（）A． B．2 C． D．2【考點】IT：點到直線的距離公式．【分析】過O作已知直線的垂線，垂足為P，此時|OP|最小,所以｜OP｜最小即為原點到直線的距離，利用點到直線的距離公式求出即可．【解答】解：由題意可知：過O作已知直線的垂線，垂足為P,此時｜OP|最小，則原點(0，0）到直線x+y﹣4=0的距離d==2，即｜OP|的最小值為2．故選B．3．如圖，△A'B’C'是△ABC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，其中O’B'=O'C'=1，O’A'=，那么△ABC是一個（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形【考點】LD：斜二測法畫直觀圖．【分析】根據(jù)“斜二測畫法”的畫圖法則，結(jié)合已知，可得△ABC中,BO=CO=1，AO=,結(jié)合勾股定理，求出△ABC的三邊長，可得△ABC的形狀．【解答】解：由已知中△ABC的直觀圖中O’B’=O’C’=1，O’A’=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC為等邊三角形，故選：A．4．直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1，1）,B（0，﹣1）兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+2y+3=0 D．x﹣y+3=0【考點】IU：兩條平行直線間的距離．【分析】由題意可得，l1，l2間的距離最大時，AB和這兩條直線都垂直．利用斜率計算公式及其相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．【解答】解：由題意可得,l1，l2間的距離最大時,AB和這兩條直線都垂直．由于AB的率為=2，故直線l1的斜率為﹣，故它的方程是y﹣1=﹣（x﹣1)，化簡為x+2y﹣3=0，故選:A．5．設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，下列命題是真命題的是（）A．若m∥α,m∥β，則α∥β B．若m∥α，α∥β，則m∥βC．若m?α，m⊥β，則α⊥β D．若m?α，α⊥β,則m⊥β【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】在A中，α與β相交或平行；在B中，m∥β或m?β；在C中,由面面垂直的判定定理得α⊥β;在D中，m⊥與β相交、平行或m?β．【解答】解：由m，n是兩條不同的直線,α，β是兩個不同的平面，知：在A中,若m∥α，m∥β，則α與β相交或平行，故A錯誤；在B中，若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，故B錯誤；在C中，若m?α，m⊥β,則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確;在D中，若m?α，α⊥β，則m⊥與β相交、平行或m?β，故D錯誤．故選：C．6．下列命題正確的是（）A．兩兩相交的三條直線可確定一個平面B．兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行C．過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行D．和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線【考點】LJ：平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】根據(jù)空間中的直線與平面的位置關(guān)系以及平面的基本性質(zhì)，對選項中的命題判斷正誤即可．【解答】解：對于A，兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面，故A錯誤；對于B,兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面平行或相交，故B錯誤;對于C，過平面外一點的直線一定在平面外,且直線與這個平面相交或平行，故C正確；對于D，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或共面直線，故D錯誤．故選:C．7．如圖,直線y=ax﹣的圖象可能是（）A． B． C． D．【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】利用一次函數(shù)的斜率和截距異號及其意義即可得出．【解答】解：方程直線的可以看作一次函數(shù)，其斜率a和截距異號,只有A符合,其斜率和截距都為負(fù)．故選:A．8．直線（2m+1）x+(m+1）y﹣7m﹣4=0過定點（)A．(1，﹣3） B．（4，3) C．（3，1） D．（2,3）【考點】IP：恒過定點的直線．【分析】直線方程整理后，列出關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出直線過的定點．【解答】解：直線方程整理得:2mx+x+my+y﹣7m﹣4=0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，∴，解得：，則直線過定點（3，1），故選：C．9．某幾何體的三視圖如圖所示（在右邊的網(wǎng)格線中，每個小正方形的邊長為1)，則該幾何體的表面積為（）A．48 B．54 C．60 D．64【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是底面為矩形的四棱錐，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算它的表面積即可．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是底面為矩形的四棱錐，如圖所示；根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算它的表面積為S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故選:C．10．已知三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,且AB=,BC=,AC=2，則此三棱錐的外接球的體積為（）A．π B．π C．π D．π【考點】LF:棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】求出PA=1，PC=，PB=2，以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P﹣ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑,結(jié)合球的體積公式,可算出三棱錐P﹣ABC外接球的體積．【解答】解：∵AB=，BC=,AC=2，∴PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖則長方體的外接球同時也是三棱錐P﹣ABC外接球．∵長方體的對角線長為=2,∴球直徑為2，半徑R=，因此，三棱錐P﹣ABC外接球的體積是πR3=π×（)3=π故選：B．11．點（4，0）關(guān)于直線5x+4y+21=0的對稱點是（）A．（﹣6,8） B．（﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）【考點】IQ：與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程．【分析】設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，利用對稱點的連線被對稱軸垂直平分,建立方程組,即可求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，b),則∴a=﹣6，b=﹣8∴M(﹣6,﹣8），故選D．12．如圖所示，在著名的漢諾塔問題中有三根針和套在一根針上的若干金屬片,按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上:①每次只能移動一個金屬片;②在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為f（n），則f（6）=（）A．31 B．33 C．63 D．65【考點】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【分析】根據(jù)移動方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數(shù)目減1的移動次數(shù)都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱,再用同樣的次數(shù)從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可．【解答】解:設(shè)f（n）是把n個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數(shù)n=1時，f（1）=1；n=2時，小盤→2柱，大盤→3柱，小柱從2柱→3柱，完成，即h(2）=3=22﹣1；n=3時，小盤→3柱,中盤→2柱,小柱從3柱→2柱，［用h(2)種方法把中、小兩盤移到2柱，大盤3柱；再用h(2）種方法把中、小兩盤從2柱3柱，完成]，f(3）=f（2)×f（2）+1=3×2+1=7=23﹣1，f（4）=f（3)×f（3）+1=7×2+1=15=24﹣1，…以此類推，h(n)=h（n﹣1）×h(n﹣1）+1=2n﹣1，∴f(6）=26﹣1=63．故選:C．二、填空題:本題共4小題，每小題5分．13．如圖,已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是πr2（a+b)．【考點】NF:平面與圓柱面的截線；LE:棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【分析】用補形法：兩個相同的幾何體，倒立一個，對應(yīng)合縫,恰好形成一個圓柱體．求出總體積的一半即可．【解答】解：取兩個相同的幾何體，倒立一個,對應(yīng)合縫，恰好形成一個圓柱體．所求幾何體的體積：=故答案為：14．將直線y=x+﹣1繞它上面一點（1，)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°，則所得直線的方程為x﹣y=0．【考點】IG：直線的一般式方程．【分析】由直線y=x+﹣1算出直線的傾斜角，再由旋轉(zhuǎn)角度得到所求直線的傾斜角，然后用點斜式寫出方程【解答】解：直線y=x+﹣1的斜率為1,故傾斜角為45°,旋轉(zhuǎn)后的直線的傾斜角為60°，斜率為,故所求直線方程為y﹣=（x﹣1)，即x﹣y=0．故答案為x﹣y=015．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，則△ABC面積的最大值為．【考點】HR：余弦定理;HP:正弦定理．【分析】利用余弦定理分別表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化簡后即可求出c的值,然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值,利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面積的最大值．【解答】（本題滿分為12分）解：∵acosB+bcosA=2,∴a×+b×=2，∴c=2，…∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab,∴ab≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立)…由cosC=，得sinC=，…∴S△ABC=absinC≤××=,故△ABC的面積最大值為．故答案為:．…16．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中(如圖），已知點P在直線BC1上運動．則下列四個命題：①三棱錐A﹣D1BC的體積不變；②直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變;③二面角P﹣AD1﹣C的大小不變;④M是平面A1B1C1D1內(nèi)到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線AD1其中正確命題的編號是①③④．（寫出所有正確命題的編號）【考點】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】利用體積公式判斷①,利用向量計算夾角判斷②，根據(jù)二面角的定義判斷③,利用全等判斷④．【解答】解：對于①,顯然三棱錐A﹣D1BC體積與P點位置無關(guān)，故①正確；對于②，以D1為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，則=(1,1，﹣1）為平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1,﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1與平面ACD1所成的角不相等，即當(dāng)p在直線BC1上運動時，AP平面ACD1所成的角會發(fā)生變化，故②錯誤；對于③,當(dāng)P位置變化時，平面PAD1的位置不發(fā)生變化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不變，故③正確；對于④，設(shè)Q為直線A1D1上任意一點,則Rt△QDD1≌Rt△QC1D1,∴QD=QC1,∴M的軌跡為直線AD1，故④正確．故答案為：①③④．三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知A（1，﹣1）,B（2，2），C（3，0），求點D的坐標(biāo)，使直線CD⊥AB，且CB∥AD．【考點】I8：兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系．【分析】此題求D的坐標(biāo)，需要建立其橫縱坐標(biāo)的方程，由題設(shè)條件知直線CD⊥AB，且CB∥AD，將此位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，即可求出點D的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)點D的坐標(biāo)為（x,y）,由已知得，直線AB的斜率KAB=3，直線CD的斜率KCD=，直線CB的斜率KCB=﹣2，直線AD的斜率KAD=．由CD⊥AB，且CB∥AD，得，所以點D的坐標(biāo)是（0，1)18．已知｛an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝滿足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求｛an｝的通項公式；（Ⅱ)求｛bn｝的前n項和．【考點】8H:數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）令n=1,可得a1=2,結(jié)合｛an}是公差為3的等差數(shù)列,可得{an}的通項公式；（Ⅱ）由（1）可得：數(shù)列{bn｝是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得：｛bn｝的前n項和．【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．當(dāng)n=1時,a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵｛an}是公差為3的等差數(shù)列，∴an=3n﹣1，(Ⅱ)由(I）知：(3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．即3bn+1=bn．即數(shù)列｛bn｝是以1為首項,以為公比的等比數(shù)列,∴{bn｝的前n項和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣．19．已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ)求A;（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面積．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】(Ⅰ）根據(jù)正弦定理和以及兩角和正弦公式即可得到cosA=，問題得以解決，（Ⅱ）根據(jù)正弦定理和余弦定理可得bc的值，即可求出三角形的面積．【解答】解：（Ⅰ）因為2acosA=ccosB+bcosC，則由正弦定理得：2sinA?cosA=sinCcosB+sinBcosC，所以2sinA?cosA=sin（B+C）=sinA，又0＜A＜π，所以sinA≠0，從而2cosA=1,cosA=，故A=；（Ⅱ）由A=知sinA=，而△ABC的外接圓半徑為1，故由正弦定理可得a=2sinA=，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得bc=b2+c2﹣a2=7﹣3=4，∴S△ABC=bcsinA=．20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求證:平面PCD⊥平面PAD；（2）在側(cè)棱PC上是否存在點E,使得BE∥平面PAD，若存在，確定點E位置;若不存在,說明理由．【考點】LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理即可證明平面PCD⊥平面PAD；（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1)證明:∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD①又∵AB⊥AD，AB∥CD，∴CD⊥AD②由①②可得CD⊥平面PAD又CD?平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD（2)解：當(dāng)點E是PC的中點時,BE∥平面PAD．證明如下:設(shè)PD的中點為F，連接EF，AF易得EF是△PCD的中位線∴EF∥CD,EF=CD由題設(shè)可得AB∥CD,AF=CD∴EF∥AB，EF=AB∴四邊形ABEF為平行四邊形∴BE∥AF又BE?平面PAD，AF?平面PAD∴BE∥平面PAD21．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P點在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上,如圖2所示，點E、F分別為棱PC、CD的中點．(Ⅰ)求證：平面OEF∥平面APD；（Ⅱ）若AD=3，CD=4，AB=5，求四棱錐E﹣CFO的體積．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LU:平面與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ)推