北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （三角形內(nèi)角和定理）平行線的證明新課件(第1課時(shí))

第七章

平行線的證明三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí)

1課堂講解三角形內(nèi)角和性質(zhì)和應(yīng)用直角三角形兩銳角的關(guān)系2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升我們知道，三角形內(nèi)角和等于180°.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎？（1）如圖，如果我們只把∠A移到∠1的位置，你能說明這個(gè)結(jié)論嗎？如果不移動(dòng)∠A，那么你還有什么方法可以達(dá)到同樣的效果？（2）根據(jù)前面給出的基本事實(shí)和定理，你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎？你能用比較簡(jiǎn)潔的語言寫出這一證明過程嗎？與同伴進(jìn)行交流.1知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和性質(zhì)知1－導(dǎo)已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.圖1分析：延長(zhǎng)BC到D，過點(diǎn)C作射線CE//BA(圖2)，這樣就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.圖2這里的CD，CE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)證明：延長(zhǎng)BC到D，過點(diǎn)C作射線CE//BA，則

∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.2.定理證明的思路：因?yàn)?80°的角有：(1)平角；(2)鄰補(bǔ)角的和；(3)平行線間一對(duì)同旁內(nèi)角的和，因此證三角形的內(nèi)

角和為180°就是要把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為上述的三種角，

而創(chuàng)造平行線是轉(zhuǎn)化的橋梁．知1－講（來自《點(diǎn)撥》）例1（山東濱州）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．導(dǎo)引：引用輔助量x°，用x°表示出△ABC的三個(gè)內(nèi)角

的度數(shù)，然后在△ABC中，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定

理構(gòu)造方程，解方程后，求出△ABC中各內(nèi)角的

度數(shù)，再看是否有一個(gè)角是直角或有兩個(gè)角互余，

從而判斷△ABC的形狀．

知1－講（來自《點(diǎn)撥》）解：△ABC是直角三角形．

理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴可設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為x°，2x°，3x°.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形三個(gè)內(nèi)

角的和等于180°)，

∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30.∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°.∴∠C＝180°－90°＝90°.∴△ABC是直角三角形．知1－講（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）

判斷一個(gè)三角形的形狀的方法：(1)可以看三角形中最大的角的大?。鹤畲蠼鞘卿J角，三角形就是銳角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是鈍角，三角形就是鈍角三角形．(2)也可以通過角的比例關(guān)系判斷：兩較小角的比例和小于最大角的比例，則此三角形為鈍角三角形；兩較小角的比例和等于最大角的比例(兩銳角互余)，則此三角形為直角三角形；兩較小角的比例和大于最大角的比例，則此三角形為銳角三角形．1(中考·濱州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，則∠C等于(

)A．45°B．60°C．75°D．90°2(中考·棗莊)如圖，AB∥CD，AE交CD于點(diǎn)C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，則∠D的度數(shù)為(

)A．17°B．34°C．56°D．124°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）CC一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，

若∠3＝50°，則∠1＋∠2＝(

)A．90°B．100°C．130°D．180°知1－練（來自《典中點(diǎn)》）B2知識(shí)點(diǎn)直角三角形兩銳角的關(guān)系知2－導(dǎo)已知：直角三角形ABC中，∠A＝90°求證：∠A與∠C互余.證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形內(nèi)角和

定理）

∠A＝90°（已知）∴∠B＋∠C＝90°.(等量減等量差相等)∴∠B與∠C＝互余.（兩角互為余角的定義）

知1－講歸

納（來自《教材》）

定理：直角三角形的兩銳角互余.知2－講例2如圖，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平

分線，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度數(shù)．導(dǎo)引：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE，

要求∠DAE的度數(shù)，需先求出∠BAD和∠BAE的

度數(shù)．（來自《點(diǎn)撥》）知2－講解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.又因?yàn)锳E是∠BAC的平分線，所以∠BAE＝在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.又因?yàn)锳D是高，

所以∠BAD＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.（來自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合三角形的高及角平分線的定義是求有關(guān)角的度數(shù)的常用方法．

知2－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)

放在長(zhǎng)方形直尺的一組對(duì)邊上．如果∠2＝60°，

那么∠1的度數(shù)為(

)A．60°B．50°C．40°D．30°D知2－練（來自《典中點(diǎn)》）2(中考·菏澤)將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD

＝20°，則∠BOC的大小為(

)A．140°B．160°C．170°D．150°B利用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)時(shí)，常結(jié)合三角形的角平分線，三角形的高，補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角等角的關(guān)系，以及角的和、差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．還可以利用題目中的等量關(guān)系列方程求解．

第七章

平行線的證明三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)

1課堂講解三角形外角的定義三角形外角的關(guān)系三角形的外角和2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升三角形的內(nèi)角和定理是什么？復(fù)習(xí)回顧1知識(shí)點(diǎn)三角形外角的定義知1－導(dǎo)三角形外角的定義：如圖，∠ACD是由△ABC的一條邊BC的延長(zhǎng)線和另一條相鄰的邊CA組成的角，這樣的角叫做該三角形的外角．知1－講在△ABC中，∠A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個(gè)外角等于∠B的兩倍，那么∠A＝______，∠B＝_________，∠C＝_________.例1導(dǎo)引：∠A和與它相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角，∠A又等于和它相鄰的外角的四分之一，所以∠A＝36°，∠A的外角為144°，所以∠B＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以求得∠C＝72°.

36°72°72°總

結(jié)知1－講三角形的外角與他相鄰的內(nèi)角互補(bǔ).1知1－練下邊的角是△ABC的外角的是()∠ACEB.∠ACF

C.∠BCDD.∠ACBB2知識(shí)點(diǎn)三角形外角的關(guān)系知2－導(dǎo)議一議在圖中，∠1與其他角有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎?知2－講1.三角形內(nèi)角和定理的推論(三角形外角定理)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．2.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的

內(nèi)角：作用：用來證明角的不等關(guān)系．（來自《點(diǎn)撥》）知2－講例2已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平

分外角∠EAC.求證：AD//BC.分析：要證明AD//BC，只需證明“同位角相等”或

“內(nèi)錯(cuò)角相等”或“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”.（來自教材）知2－講證明：∵∠EAC=∠B+∠C

（三角形的一個(gè)外角等于和它

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∠B=∠C（已知），∴∠C=∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∴∠DAC=∠C

（等量代換）.∴AD//BC

（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.（來自教材）知2－練（來自《典中點(diǎn)》）1(中考·甘孜州)如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，則∠CAD的大小為(

)A．110°B．80°C．70°D．60°2(中考·來賓)如圖，△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CBD＝120°，則∠C等于(

)A．40°B．60°C．80°D．100°CC知2－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，P為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，延長(zhǎng)CP交AB于D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．∠1>∠3B．∠1>∠AC．∠2>∠AD．∠3>∠AC3知識(shí)點(diǎn)三角形的外角和△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線組成的角，稱為△ABC的外角.如圖，∠1是△ABC的∠ABC的外角.你能在圖中畫出△ABC的其他外角嗎？知3－導(dǎo)

1.三角形外角的定義：

三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線

組成的角．如圖中的∠ACD的一條邊是△ABC的邊AC，另一條邊是△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線．知3－講（來自《點(diǎn)撥》）2.三角形的外角和等于360°.已知：∠1、∠2、∠3為△ABC的三個(gè)外角，如圖．求證：∠1+∠2+∠3=360°．證明：∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠BCA=180°，∠3+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等式性質(zhì)）.∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠1+∠2+∠3=360°.知3－講例3如圖，△CEF的外角為________________．導(dǎo)引：圖中△CEF的三邊的延長(zhǎng)線只有EF的延長(zhǎng)線FA，CE

的延長(zhǎng)線EB，延長(zhǎng)線FA與邊CF構(gòu)成的角為∠AFC；延長(zhǎng)線EB與邊EF構(gòu)成的角為∠BEF.由三角形外角的