冀教版八年級數(shù)學上冊 （三角形的尺規(guī)作圖）課件

三角形的尺規(guī)作圖第十三章全等三角形

學習目標1.了解尺規(guī)作圖的概念，會用尺規(guī)作圖法作線段和角.2.熟悉尺規(guī)作圖的步驟并能熟練運用作圖語言.3.以三角形全等的判定方法為基礎，利用尺規(guī)作三角形.(重點）導入新課復習引入1.如圖，已知線段a，b.求作：線段c，使線段c的長度為線段a，b長度的和.2.如圖，已知∠1.求作：∠2，使∠2=2∠1.講授新課用尺規(guī)作三角形尺規(guī)作圖

只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)也可以畫出一些圖形，這種畫圖方法被稱為尺規(guī)作圖.

由三角形全等判定可以知道，每一種判定兩個三角形全等的條件（_____，_____，_____，_____），都只能作出唯一的三角形.SSSSASASAAAS問題

如圖，已知線段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.abc分析：由作一條線段等于已知線段，能夠作出邊AB，即A，B兩點確定，而BC=a，AC=b，故以點A為圓心，b為半徑畫弧長，以點B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧的交點就是點C.作法：第一步：作線段AB等于c；第二步：以點A為圓心，以b為半徑畫弧長；第三步：以點B為圓心，以a為半徑畫弧，兩弧交于點C；第四步：連接AC，BC，△ABC即為所求.cBAcBAbcBAbacBAbaC典例精析例1

如圖，已知線段a，b（a>b），∠α.求作：△ABC，使得∠A=∠α，AB=a，BC=b.提示

作出符合要求的三角形，關鍵是根據(jù)條件確定三角形的三個頂點的位置.解題時候要根據(jù)實際情況判斷是否存在多個符合題設條件的△ABC.abα作法：（3）以點B為圓心，線段b為半徑畫弧，弧與∠A的另一邊有兩個交點，即圖中的C，C'，分別連接BC，BC'，得到△ABC和△ABC'，它們都是所求作的三角形.（1）作∠A，使∠A=∠α；（2）在∠A的一邊上截取AB，使AB=a；αABabbCC'

例2

已知：線段a，b，c，如圖所示.求作：△ABC，使得AB=a，AC=b且BC邊上的中線AD=c.在作較復雜的三角形時，先畫草圖，從中找出一個較容易作出的三角形，然后以它為基礎作所求作的三角形就比較方便了.注意abc作法：（4）連接AC，△ABC即為所求.（1）以a，b，2c為三邊作△ABC，使得AB=a，BE=b，AE=2c；（2）取AE的中點D；（3）連接BD，并延長BD到點C，使DC=BD；ABEDC當堂練習1.下列條件能作一個唯一三角形的是_________（填序號）.①∠A=65°，∠B=45°，∠C=90°；②∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°；③AB=4cm，BC=3cm，AC=5cm；④AB=2cm，BC=5cm，AC=3cm；③2.如圖，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D，E為兩個頂點作三角形，使所作出的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以作出（）A.2個B.4個C.6個D.1個ACBEDB3.已知線段b，∠β，如圖所示.求作：△ABC，使得BC=b，∠B=∠C=∠β.bβ作法：（1）作線段BC=b；（2）以B為頂點，射線BC為一邊，作∠MBC=∠β；bCBβ（3）以C為頂點，射線CB為一邊，在BC同側作∠NCB=∠β；射線BM，CN交于點A，則△ABC就是所求作的△ABC.βA課堂小結

三角形的尺規(guī)作圖①已知三邊作三角形②已知兩邊及其夾角作三角形③已知兩角及其夾邊作三角形④已知兩角和其中一角的對邊作三角形第十六章

軸對稱和中心對稱線段的垂直平分線第1課時

知識回顧1.什么叫做線段的垂直平分線？2.線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？垂直且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線.線段是軸對稱圖形，對稱軸是它的垂直平分線或者說中垂線.情景導入如圖所示,木條l與AB釘在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的點,分別量一量點P1,P2,P3,…到A與B的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?獲取新知知識點線段垂直平分線的性質(zhì)1ABlP1P2P31.畫出線段AB的中垂線l，垂足為C；在l上任取一點P1，連結P1A、P1B；量一量P1A、P1B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？在l上任取一點P2，P2A、P2B的長呢？在l上任取一點P3，P3A、P3B的長呢？2.沿直線l對折線段AB，使端點Ａ與端點Ｂ重合，再次觀察上述線段的關系.①用對稱的知識說明.如圖,直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上.求證：PA=PB.ABPCl②用全等的知識進行推理.證明：∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°.又AC=CB,PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB.線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.幾何語言：∵直線l垂直平分AB，點P在直線l上，∴PA=PB.BAOPMN溫馨提示：這個定理向我們提供了一個證明線段相等的方法.今后我們可以直接利用這個性質(zhì)得到有關線段相等,同時這也可當作等腰三角形的一種判定方法.歸納例1如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE交AB，AC于點E，D，(1)若△BCD的周長為8，求BC的長；(2)若BC＝4，求△BCD的周長．分析：由DE是AB的垂直平分線，得AD＝BD，所以BD與CD的長度和等于AC的長，所以由△BCD的周長可求BC的長，同樣由BC的長也可求△BCD的周長．

例題講解解：

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.【名師點睛】本題運用了轉化思想，用線段垂直平分線的性質(zhì)把BD的長轉化成AD的長，從而把未知的BD與CD的長度和轉化成已知的線段AC的長．本題中AC的長、BC的長及△BCD的周長三者可互相轉化，已知兩個即可求得第三個．

解：AB=AC=CE;AB+BD=DE.理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD

是BC

的垂直平分線，

∴AB=AC．∵點C

在AE的垂直平分線上，

∴AB=CE．∴AB=AC=CE．∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.變式練習1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長度有什么關系？AB+BD與DE

有什么關系？ABCDE變式練習2如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.

解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結合（1）即可解答．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.知識點線段垂直平分線性質(zhì)定理的應用2例2

已知：如圖，點A，B是直線l外任意兩點，在直線l上，試確定一點P，使得AP+BP最短.lAB解：作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B,交直線l于點P，則AP+BP最短.A'PlABA'P由作圖可知，l是AA'的中垂線理由如下：在l上另取一點M，連接MA,MB,MA'∴AP=A'P,AM=A'M（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）∴AP+BP=A'P+BP=A'BAM+BM=A'M+BM由“兩點之間線段最短”可得A'B＜A'M+BM即AP+BP最短M變式練習3

如圖，已知牧馬人營地在M處，每天牧馬人好先趕馬群到河邊飲水，再到草地上吃草，最后回到營地，試著設計出最短的的木馬路線？營地M草地河M'M''（2）若A、B兩點在直線的同側，作其中一個點關于直線的對稱點，化同側為兩側，化折線段為一條直線段；求線段和最短問題的實質(zhì)：（3）最后利用“兩點之間線段最短”加以解決.（1）若A、B兩點在直線兩側，直接連接A、B兩點，直線段最短；隨堂演練1.如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結論不一定成立的是(

)

A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC2.如圖，線段AC的垂直平分線交線

段AB于點D，∠A＝50°，則∠BDC＝(

)A．50°B．100°C．120°D．130°B2.如圖，已知線段AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點M，則線段AM，CM的大小關系是(

)A．AM>CMB．AM＝CMC．AM<CMD．無法確定B3.如圖所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E,△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.ABCDE10cm4.如圖，在△ABC

中，BC=8，AB的中垂線交BC

于D，AC

的中垂線交BC

與E，則△ADE的周長等于_________．ABCDE8cm5.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，點A、B到河邊的距離分別為AC、BD且AC=BD，點A、B到CD的中點的距離均為500m.牧童從A出把牛牽到河邊飲水后再回家，請你設計出最短路線.