統(tǒng)計(jì)學(xué)常用公式

公式一1.眾數(shù)【MODE】未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算關(guān)于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再依據(jù)下邊的公式計(jì)算計(jì)算眾數(shù)的近似值。下限公式：Mq=L+—+—i式中：M0表示眾數(shù)；組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；12L表示眾數(shù)的下線；1表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差； 2表示眾數(shù)i表示眾數(shù)組的組距。上限公式：M0=U 」i1+2式中：U表示眾數(shù)組的上限。2?中位數(shù)【MEDIAN】(1)未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計(jì)算依據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，而后確立中位數(shù)的地點(diǎn)。設(shè)一組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為X1,X2,…，XN，中位數(shù)Me,為則有:當(dāng)N為奇數(shù)M=X當(dāng)N為奇數(shù)TOC\o"1-5"\h\ze (N+1)2\o"CurrentDocument"+XMe=一Xn n+1 當(dāng)N為偶數(shù):_2(2)分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算時(shí)，要先依據(jù)公式 N/2確立中位數(shù)的地點(diǎn)，并確立中位數(shù)所在的組,而后采納下邊的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：式中：Me表示中位數(shù)；L表示中位數(shù)所在組的下限；Sm-i表示中位數(shù)所在組以下各組的累計(jì)次數(shù)；fm表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；d表示中位數(shù)所在組的組距。3?均值的計(jì)算【AVERAGE】(1)未經(jīng)分組均值的計(jì)算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為:(2)分組數(shù)據(jù)均值計(jì)算分?jǐn)?shù)據(jù)均的算公式：_X分?jǐn)?shù)據(jù)均的算公式：_X1f1+X2f2+L+xkfkX= f1 f2+L+fkkX?f?

iii1~k4?幾何均勻數(shù)【GEOMEAN】幾何均勻數(shù)是N幾何均勻數(shù)是N個(gè)量乘的N次方根，算公式:式中：G表示幾何均勻數(shù)； 表示乘符號(hào)。5?調(diào)解均勻數(shù)【HARMEAN】和均勻數(shù)是量的倒數(shù)求均勻，而后再取倒數(shù)而獲得的均勻數(shù)，它有和均勻數(shù)與加和均勻數(shù)兩種算形式。m.mm.m.+m2+…+m iH=1 2n=i1m.m2 …mnm.1 2 nni+++X. X X X1 2 n i1i力口和均勻數(shù)：式中：H表示和均勻數(shù)。6?極差【Range】極差也稱全距，是一數(shù)據(jù)的最大與最小之差，即式中：R表示極差；maxx和minx分表示一數(shù)據(jù)的最大與最小。i i7?均勻差【MeanDeviation】均勻差是各志與其均勻數(shù)的離差的算均勻。n(1)依據(jù)未分料的算公式(1)依據(jù)未分料的算公式AD=i1 |_n

n(2)Xi-Xfi依據(jù)分組資料的計(jì)算公式: AD=亠 n式中：i1AD表示均勻差8?方差【Variance】和標(biāo)準(zhǔn)差【StandardDeviation】方差是各變量值與其均值離差平方的均勻數(shù)。要求掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為n未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為n__2XX2i1n分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為2Xf分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為2Xf.i式中：2表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相應(yīng)的計(jì)算公式為:未分組數(shù)據(jù):n未分組數(shù)據(jù):ni1-2XXn分組數(shù)據(jù):式中：表示標(biāo)準(zhǔn)差。9?失散系數(shù)失散系數(shù)往常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，所以，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)失散程度的相對(duì)指標(biāo)。其計(jì)算公式為:

式中：V表示失散系數(shù)。10?偏態(tài)【SKEW】偏態(tài)是對(duì)散布偏斜方向及程度的測(cè)度。利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就能夠判斷散布是左偏仍是右偏。明顯，鑒別偏態(tài)的方向其實(shí)不困難，但要測(cè)度偏斜的程度就需要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)了。EXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為:n-1n-2EXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為:n-1n-2....3x-xis11?峰值【KURT】EXCEL中峰值系數(shù)的計(jì)算公式為:式中：s表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式二1? 均值預(yù)計(jì)(1)樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，又稱為樣本均值的抽樣均勻偏差，它反應(yīng)的是所有可能樣本的均值與整體均值的均勻差別程度，反應(yīng)了所有可能樣本的實(shí)質(zhì)抽樣偏差水平。樣本均值的抽樣均勻偏差計(jì)算公式為：重復(fù)抽樣方式:不重復(fù)抽樣方式:[2NnnN1往常狀況下，當(dāng)N很大時(shí)，(N-1)幾乎等于N，樣本均值的抽樣均勻偏差的計(jì)算公式也可簡(jiǎn)化為：在公式中，是整體標(biāo)準(zhǔn)差。但實(shí)質(zhì)計(jì)算時(shí)，所研究整體的標(biāo)準(zhǔn)差往常是未知的，在大樣本的狀況下，往常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S取代。(2)大樣本均值的極限偏差 xZ2x(3)大樣本下整體均值的區(qū)間預(yù)計(jì)

整體均值的置信度為(1 )的置信區(qū)間:xZ2r,nxz2x xz2xxZ2r,n(4)整體方差未知，小樣本正態(tài)整體均值的區(qū)間預(yù)計(jì)整體均值的置信度為(1 )的置信區(qū)間：即 xt上!Tn2?比率預(yù)計(jì)(1)樣本比率的抽樣均勻偏差樣本比率的抽樣均勻偏差為:重復(fù)抽樣下:p1p—Nnp1pn11\ nN1\ nN上式中，p應(yīng)為整體比率，實(shí)質(zhì)計(jì)算時(shí)往常用樣本比率p取代。不重復(fù)抽樣下:(2)樣本比率的抽樣極限偏差整體比率的區(qū)間預(yù)計(jì)整體比率P的置信度為(1)的置信區(qū)間為:pZ2pppZ2p3? 整體均值查驗(yàn)(1)單調(diào)整體均值查驗(yàn)①正態(tài)整體(整體方差已知)或大樣本均值查驗(yàn)查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為:查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為:x0②正態(tài)整體(整體方差未知)小樣本均值查驗(yàn)查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t為：(2)兩個(gè)整體的均值查驗(yàn)①兩個(gè)正態(tài)整體均值查驗(yàn)一一兩個(gè)整體方差已知或大樣本Z查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：大樣本下對(duì)兩個(gè)整體均值進(jìn)行查驗(yàn)時(shí)，在整體標(biāo)準(zhǔn)差未知的狀況下,標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不變?？捎脴颖緲?biāo)準(zhǔn)差取代整體②兩個(gè)正態(tài)整體均值查驗(yàn)(小樣本)一一兩個(gè)整體方差未知但相等T查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:此中S]2n11n1查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t為：(2)兩個(gè)整體的均值查驗(yàn)①兩個(gè)正態(tài)整體均值查驗(yàn)一一兩個(gè)整體方差已知或大樣本Z查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：大樣本下對(duì)兩個(gè)整體均值進(jìn)行查驗(yàn)時(shí)，在整體標(biāo)準(zhǔn)差未知的狀況下,標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不變?？捎脴颖緲?biāo)準(zhǔn)差取代整體②兩個(gè)正態(tài)整體均值查驗(yàn)(小樣本)一一兩個(gè)整體方差未知但相等T查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:此中S]2n11n11i1 「n2 2L X卞2n2 1 i2 i1(1)整體比率查驗(yàn)單調(diào)整體的比率查驗(yàn)P Po(2)兩個(gè)整體比率的查驗(yàn)查驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為:?——P?― ?????P1PP1Pn1n2 n2P2—， .為當(dāng)p Pn1 n2P1P2和p2 的結(jié)合預(yù)計(jì)值。Z查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:Po1Po1n整體方差假定查驗(yàn)(1)單調(diào)正態(tài)整體方差的假定查驗(yàn)(1)單調(diào)正態(tài)整體方差的假定查驗(yàn)查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:_2此中:—X此中:_為2的預(yù)計(jì)量。1(2)兩個(gè)正態(tài)整體的方差假定查驗(yàn)ss12查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:此中:2i1s1niXn22i1s2n112

-Xi O陽(yáng)1公式三1.單要素方差剖析設(shè)整體共分為k種辦理進(jìn)行察看，第設(shè)整體共分為k種辦理進(jìn)行察看，第j種辦理試驗(yàn)了容量為nj的樣本。(1)計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在單要素方差剖析中，需要計(jì)算的離差平方和有3個(gè)，它們分別是總離差平方和，偏差項(xiàng)離差平方和以及水平項(xiàng)離差平方和。總離差平方和，用SST(SumofSquaresforTotal )代表：式中：X表示所有樣本觀察值的總均值。其計(jì)算公式為：偏差離差平方和，用SSE(SumofSquaresforError )代表：nj式中：X］表示第j式中：X］表示第j種水平的樣本均值,Xjiji1nj水平項(xiàng)離差平方和。為了后邊表達(dá)方便，能夠把單要素方差剖析中的要素稱為V于是水平項(xiàng)離差平方和能夠用SSA(SumofSquaresforFactorA )表示。SSA的計(jì)算公式為：2nj k 一SSA Xjxi1j1(2)計(jì)算均勻平方(MeanSquare)。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為(i-用離差平方和除以自由度即可獲得均勻平方和 1);對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為(r-1)，這里r表示水平的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō)，其自由度為(n-r)。與離

差平方和同樣，SST、SSA、SSE之間的自由度也存在著以下的關(guān)系:n-1= (r-1)+(n-r)關(guān)于SSA，其均勻平方MSA(組間均方差)為：SSAMSA 一r1關(guān)于SSE，其均勻平方MSE(組內(nèi)均方差)為：SSEMSEnr(3)查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FMSAFMSE2?兩要素方差剖析MSAFMSE設(shè)兩個(gè)要素A、B分別有k個(gè)水平易n個(gè)水平，共進(jìn)行nk次試驗(yàn)。(1)計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在兩要素方差剖析中，需要計(jì)算的離差平方和有4個(gè)，它們分別是總離差平方和，偏差項(xiàng)離差平方和以及水平A、B項(xiàng)離差平方和。xij式中：X表示所有樣本察看值的總均值，其計(jì)算公式為:nkXij水平項(xiàng)離差平方和能夠分別用SSA(SumofSquaresforFactorAFactorB)表示。i1j1)和SSB(SumofSquaresforSSA的計(jì)算公式為:SSA式中:XijSSB的計(jì)算公式為:SSBk 2xij式中：X表示所有樣本察看值的總均值，其計(jì)算公式為:nkXij水平項(xiàng)離差平方和能夠分別用SSA(SumofSquaresforFactorAFactorB)表示。i1j1)和SSB(SumofSquaresforSSA的計(jì)算公式為:SSA式中:XijSSB的計(jì)算公式為:SSBk 2務(wù)？xj1式中:Xij1偏差離差平方和，用SSE(SumofSquaresforError)代表:(2)計(jì)算均勻平方用離差平方和除以自由度即可獲得均勻平方和(MeanSquare)。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自由度為(nk-1)；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為(k-1),這里k表示水平A的個(gè)數(shù)；對(duì)SSB來(lái)說(shuō)，其自由