假設模態(tài)法-振動力學課件

第四節(jié)

假設模態(tài)法在采用模態(tài)疊加法討論連續(xù)系統(tǒng)的響應時，是將連續(xù)系統(tǒng)的解寫作全部模態(tài)函數的線性組合：：模態(tài)函數：模態(tài)坐標若取前n

個有限項作為近似解，則有：：應該是系統(tǒng)的模態(tài)函數，但實際中由于無法得到等原因而代以假設模態(tài)，即滿足部分或全部邊界條件，但不一定滿足動力學方程的試函數族。：與假設模態(tài)所對應的廣義坐標.一、假設模態(tài)法概述假設模態(tài)法是連續(xù)系統(tǒng)的另一類離散化的方法，它是利用有限個已知的模態(tài)函數線性組合近似確定系統(tǒng)的響應。

n值取決于精度要求，n越多精度越高，但同時也帶來計算量越大，是系統(tǒng)的實際模態(tài)函數，計算時以假設模態(tài)近似，滿足部分或全部邊界條件，n越大，越接近真實的模態(tài)，解的精度越高。

用假設模態(tài)法可以建立由有限個廣義坐標表示的動力學方程。二、廣義坐標的動力學方程滿足幾何邊界條件的假設模態(tài)

二、廣義坐標的動力學方程寫成矩陣形式：

梁上由和處集中力引起的非保守力虛功令代入拉格朗日方程矩陣形式方程顯然與集中質量法求法（解法）不同，結果形式相同，即都離散為一個有限自由度系統(tǒng)。例題：變截面圓軸一端自由，一端固定，如圖截面的極慣性矩，求軸扭轉振動的前兩階固有頻率。解：將軸的扭轉假設模態(tài)的線性組合設

等截面精確解由得

注意：由于近似模態(tài)不是真正自然振型，故相當于增加約束即剛度，所以對于各階近似頻率均有，即它解出了的上限。工程上常取一系列近似方案，并算出結果中選一組最小的以梁的彎曲振動為例，設梁以某階模態(tài)中作頻率的自由振動：

（瑞利法使用單個試函數）由機械能守恒（保守系統(tǒng)）三、瑞利法（基于能量原理的假設模態(tài)法）稱為系統(tǒng)參考動能若分子、分母用近似函數表示，是精確模態(tài)時，為精確頻率；若是試函數（它滿足位移邊界條件，不滿足動力學方程）則為近似解；同樣的理由瑞利商對于有集中質量和彈性支承的情況有例題：

等截面懸臂粱在自由端處有一集中質量量，用瑞利法估計其基頻。解：若選均布載荷下靜變形曲線為試函數：

若選均布載荷下靜變形曲線為試函數：均布載荷下靜變形曲線為試函數：

若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數問題：請同學回答哪個是精確解？為什么？

均布載荷下靜變形曲線為試函數：若采用自由端受集中力靜撓曲線為試函數將瑞利法使用的單個試函數改進為若干個獨立的試函數

的線性組合。

使瑞利商取駐值，即

得到關于的齊次線性方程，非零解條件可計算系統(tǒng)固有頻率

為滿足位移邊界條件的試函數族，稱作里茨基函數。選擇系數四、里茨法（改進的瑞利法）對梁的彎曲振動有求導，得到本征方程：這又是多自由度系統(tǒng)特征值問題，它可求得n個本征值

和特征向量以及各階模態(tài)。可以求除基頻以外的高階頻率；改善瑞利法對基頻的估計，基頻精度更提高了。此外，里茲法與假設模態(tài)法相比，若兩者用了相同試函數則結果完全相同，而里茲法的極值是偏導數所得，假設模態(tài)的極值直接由拉氏（變分）原理得到。里茲法相對瑞利法的改進優(yōu)點：例題：圖示楔形懸臂粱寬度為1，距固定端處高用里茲法求系統(tǒng)的前二階固有頻率。

解：設由特征方程

精確解

求基頻取誤差3.07％采用等截面懸臂梁的模態(tài)函數復雜，所以不采用。

若取

誤差僅為0.065%0.07%若要取得較好的，可取

精確解作業(yè)：

6.17模態(tài)綜合法工程上通常只取子結構的若干階低階模態(tài)參與綜合?？紤]界面協(xié)調條件后，使廣義坐標數進一步減少，對于復雜結構，采用模態(tài)綜合法可大大節(jié)省計算工作量模態(tài)綜合法是非常有效分析方法。如飛機、汽輪機組有限元法20世紀五六十年代發(fā)展起來的方法.吸取了集中質量法與假設模態(tài)法的優(yōu)點.有限元法是目前工程中計算復雜結構廣泛使用的方法.每個單元作為彈性體，單元內各點的位移用節(jié)點位移的插值函數表示（單元的假設模態(tài)）.由于是僅對單元、而非整個結構取假設模態(tài)，因此模態(tài)函數可取得十分簡單，并且可令各個單元的模態(tài)相同.將復雜結構分割成有限個單元，單元端點稱為節(jié)點，將節(jié)點的位移作為廣義坐標，并將單元的質量和剛度集中到節(jié)點上.以桿的縱向振動為例進行介紹.桿的縱向振動單元質量矩陣和剛度矩陣的求解將桿劃分為多個單元;取出其中一個單元進行分析.兩端節(jié)點位移u1(t)、u2(t)x

位置截面的位移：：單元假設模態(tài)（形函數）取為一個節(jié)點坐標有單位位移、而其余節(jié)點坐標皆為零時，單元的靜變形函數:例如：x

位置截面的位移：單元動能：單元質量矩陣為常數時：材料密度：截面積單元勢能：單元剛度矩陣為常數時：彈性模量f(x,t)

對虛位移的虛功：：與節(jié)點坐標ue

對應的單元廣義力列陣若軸向力

f(x,t)

為常力全系統(tǒng)的動力學方程以上對單元所作的分析必須進行綜合，以擴展到總體結構.以一個例子進行說明:桿劃分為三個單元單元質量矩陣：單元剛度矩陣：單元坐標全部節(jié)點坐標列陣：節(jié)點坐標約束條件：只有三個獨立定義獨立的廣義坐標：廣義坐標列陣：節(jié)點坐標與廣義坐標之間的關系：全系統(tǒng)的動能：質量矩陣M

也可直接利用單元質量矩陣組集而成.方法：將單元質量矩陣me1、me2

和me3

的各個元素統(tǒng)一按qi

(i=1,2,3)

的下標重新編號，放入M

中與編號相對應的行和列中：單元質量矩陣：和廣義坐標相對應的質量矩陣：全系統(tǒng)的勢能：也可組集得到：當桿上有常值軸向力作用時，三根桿的廣義外力陣為：系統(tǒng)的廣義力陣：作用力的總虛功：與廣義坐標q對應的廣義力陣.