居余馬線性代數(shù)第三章課后習題集

,.第三章課后習題及解答將1，2題中的向量表示成,,,的線性組合：精品文檔放心下載1 2 3 41．1,2,1,1T,1,1,1,1T,1,1,1,1T,1,1,1,1T,1,1,1,1T.感謝閱讀1 2 3 42．0,0,0,1,1,1,0,1, 2,1,3,1,1,1,0,0,0,1,1,1.謝謝閱讀1 2 3 4解：設存在k,k,k,k使得kkkk，整理得123411223344kkkk11234kkkk21234kkkk11234kkkk11234解得k15,k21,k31,k41.4444所以5111.41424344設存在k,k,k,k使得kkkk，整理得123411223344k2kk0，kkkk0，12312343k k 0，kkk 1.謝謝閱讀2 4 1 2 4解得k1,k 0,k1,k 0.所以.感謝閱讀1 2 3 4 1 3,.判斷3，4題中的向量組的線性相關性：3.1,1,1T,0,2,5T,1,3,6T.1234.(1,1,2,4)T,0,3,1,2T，3,0,7,14T.123解：3.設存在k,k,k使得kkk0，即123112233kk0101133k0，由1230，解得k,k,k不全為零，k2k123123k5k6k0156123故,,線性相關.1234.設存在k,k,k使得kkk0，即123112233k3k0130k3k可解得k,k,k不全為零，故,,線性相關.1k202k7k1231231234k2k14k01235.論述單個向量（a,a,,a）線性相關和線性無關的條件.12n解：設存在k使得k0，若0，要使k0，當且僅當k0，故，單個向量線性無關的充要條件是0（a,a,,a）；相反，單個向量線性相關的充要條件是12n0.,.6.證明：如果向量組線性無關，則向量組的任一部分組都線性無關.謝謝閱讀證：設向量組,,,,線性無關，利用反證法，12n1n假設存在該向量組的某一部分組,,,(in)線性相關，i1i2irr則向量組,,,,線性相關，與向量組,,,,線性無關矛盾，12n1n12n1n所以該命題成立.7.證明：若,線性無關，則,也線性無關.121212證：方法一，設存在k,k使得k()k()0，12112212整理得，(kk)(kk)0，121122kk0，可解得kk0，因為,線性無關，所以12012kk1212故,線性無關.1 2 1 2（,）,11，12121211又因為1120，且,線性無關，所以向量組,的秩為2，11121212故,線性無關.1 2 1 28.設有兩個向量組,,,和,,,,其中精品文檔放心下載1 2 s 1 2 s,.aaa11121saaa12122,s2sa31,2a32,a3s,ak1aaksks,,,是分別在,,,的k個分量后任意添加m個分量b,b,,b12s12s1j2jmj(j1,2,,s)所組成的km維向量，證明：感謝閱讀(1)若,,,線性無關，則,,,線性無關；12s12s(2)若,,,線性相關，則,,,線性相關.12s12s證：證法1，(1)設A,,,，B,,,，因為,,,線性無12s12s12s關，所以齊次線性方程AX0只有零解，即r(A)s,且r(B)s，,,,線性無12s關.證法2，因為,,,線性無關，所以齊次線性方程AX0只有零解，再增加方程的12s個數(shù)，得BX0，該方程也只有零解，所以,,,線性無關.12s(2)利用反證法可證得，即假設,,,線性無關，再由（1）得,,,線性無12s12s關，與,,,線性相關矛盾.12s9.證明：,,線性無關的充分必要條件是,,線性無關.122331123101證：方法1，（,,）=（,,）110122331123011,.101因為,,線性無關，且11020，可得,,的秩為3123011122331所以,,線性無關.線性無關；反之也成立.122331方法2，充分性，設,,線性無關，證明,,線性無關.123122331設存在k

,k

,k

使得k

(

)k

(

)k

(

)

0，整理得，1

2

3

1

1

2

2

2

3

3

3

1(kk)(kk) (kk)0感謝閱讀1 3 1 1 2 2 2 3 3因為,,線性無關，所以1 2 3kk0130，可解得kkk0，所以,,線性無關.kk12123122331kk023必要性，（方法1）設,,線性無關，證明,,線性無關，122331123假設,,線性相關，則,,中至少有一向量可由其余兩個向量線性表示，不妨感謝閱讀1 2 3 1 2 3設可由,線性表示，則向量組,,可由,線性表示，且1231223312332，所以,,線性相關，與,,線性無關矛122331122331盾，故,,線性無關.123方法2，令,,，設存在k,k,k使得112223331123kk k0，由,,得精品文檔放心下載1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1感謝閱讀1）,11（（）,（）222112321233123,.kkk0得，1 1 2 2 3 3k1）k1）k1（（（）0，即121232212332123(kkk)(kkk)(kkk)0123112321233kkk0因為,,123線性無關，所以kkk0123123k0kk123可解得kkk0，所以,,線性無關.12312310.下列說法是否正確？如正確，證明之；如不正確，舉反例：精品文檔放心下載（1）,,,（m2）線性無關的充分必要條件是任意兩個向量線性無關；感謝閱讀1 2 m解：不正確，必要條件成立，充分條件不成立，例：2維向量空間不在一條直線的3個向量，精品文檔放心下載雖然兩兩線性無關，但這3個向量線性相關。設101，，，123011,,兩兩線性無關，而,,線性相關.精品文檔放心下載1 2 3 1 2 3（2）,,,（）12m解：不正確，充分條件成立，但必要條件不成立，例：設101，，，123011,,線性相關，而倆,,兩兩線性無關.123123(3)若,線性相關，,線性相關，則有不全為零的數(shù)k,k，使得感謝閱讀1 2 1 2 1 2kk0且kk0，從而使得k（）k（）0，謝謝閱讀1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2謝謝閱讀,.故， 線性相關.1 1 2 2解：不正確，因為，線性相關和，線性相關，不一定存在同一組不全為零的數(shù)謝謝閱讀1 2 1 2k,k，使得kk0和kk0成立；或者說存在兩組不全為零的數(shù)1211221122k,k和t,t使得kk0和tt0成立.121211221122(4).若,,線性無關，則,,線性無關.123122331解：不正確，因為取1，1，1這組常數(shù)，使得（）（）（）0，122331所以,,線性相關.122331(5)若,,,線性無關，則,,,線性無關；123412233441解：不正確，因為,,,線性相關，12233441由9題，n為奇數(shù)個時，線性無關，n為偶數(shù)時，線性相關.謝謝閱讀(6).若,,,,線性相關，則,,,,線性相關；123n1223n1nn1解：正確，因為,,,,線性相關，所以,,,,中至少有一向量可由剩精品文檔放心下載1 2 3 n 1 2 3 n余的n1個向量線性表示，則,,,,也可由那剩余的1223n1nn1n1個向量線性表示，再因為nn1，所以,,,,線性相關.1223n1nn111.如果,,,線性相關，但其中任意3個向量都線性無關，證明必存在一組全不為謝謝閱讀1 2 3 4,.零的數(shù)k,k,k,k，使得kkkk0.123411223344證：因為,,,線性相關，所以存在不全為零的常數(shù)k,k,k,k，使得精品文檔放心下載1 2 3 4 1 2 3 4kkkk0，假設k0，則kkk0，112233441223344得，，線性相關與題設矛盾.故k0；同樣方法可證得k,k,k都不為零.2341234所以該命題成立.12.若,,,線性無關，證明：,,,,線性無關的充分必要條件是不能12r12r由,,,線性表示.12r證：必要性，假設能由,,,，則,,,,線性相關與12r12r,,,,線性無關矛盾，故不能由,,,線性表示.精品文檔放心下載1 2 r 1 2 r充分性，設存在k,k,k,,k使得kkkkk0，012r0112233rr若k0，則能由,,,,線性表出，矛盾，所以k0，0123r0因此，kkkk0，又因為,,,線性無關，112233rr12r所以kkk0，故，,,,,線性無關.12r12r13.求下列向量組的秩及其一個極大線性無關組，并將其余向量用極大線性無關組線性表感謝閱讀示：（1） (6,4,1,9,2), (1,0,2,3,4),(1,4,9,6,22),(7,1,0,1,3);謝謝閱讀1 2 3 4,.（2）(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(2,1,5,6),(1,1,2,0);12345（3）(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3).12346117101040410150解：（1）T,T,T,T=12900001123493610000242230000所以，向量組的秩為3，,,為一個極大線性無關組，5.124312（2）類似（1），可求得向量組的秩為3，,,為一個極大線性無關組，且3，.1243125412（3）類似（1），可求得向量組的秩為3，,,為一個極大線性無關組，精品文檔放心下載1 2 3 53.4 2 1 314.設向量組：(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(2,1,5,6),(1,1,2,0),(2,1,5,6).123545（1）證明，線性無關；1 2（2）求向量組包含，的極大線性無關組.1 2（1）證：設存在k,k,使得kTkT0，求得kk0，所以，線性無關；1211121212,.10312103011301101101,（2）解，T,T,T,T,T21725000111234542140600000所以，,,為包含，的一個極大線性無關組.謝謝閱讀1 2 4 1 215.設A,B皆為n階矩陣，r(A)n,r(B)n，證明：感謝閱讀A（1）秩0A（2）秩0證：（1）設

0r(A)r(B);BCr(A)r(B)，C為任意n階矩陣.Br(A)r,r(B)r，則存在n階可逆矩陣P,Q,P',Q',謝謝閱讀1 2E0E0使得PAQr,P'BQ'r,從而102000E000P0A0Q0r10000,0P0Q00E0'0B'r20000A0P0A0Q0rrr(A)r(B).則秩秩0P0Q120B'0B'（2）因為秩ACr(A)r(B).ACr(A),所以秩0B16.證明r(AB)min(r(A),r(B)).謝謝閱讀證：設A,B分別為mn,ns矩陣，將A按列分塊，則有謝謝閱讀,.bbb11121sAB12nbbb的列向量組1,,s可由A的列向量組21222sbbbn1n2ns,,,線性表示，故r(AB)AB的列秩A的列秩=r(A)，同樣，將B按行分塊，精品文檔放心下載1 2 n得r(AB)r(B)，因此，該命題成立.謝謝閱讀1.設A,B分別為mn,nm矩陣，且nm，精品文檔放心下載證明：齊次線性方程組(AB)X0有非零解.謝謝閱讀證：由r(AB)min(r(A),r(B))nm，所以AB0，故齊次線性方程組(AB)X0有謝謝閱讀非零解.18.設A是一個sn矩陣，B是由A的前m行構(gòu)成的mn矩陣.證明：若A的行向量組的秩為r，則r(B)rms.謝謝閱讀1證：設(a,a,,a),i1,2,,s,1Am，B.ii1i2inm1ms設r(B)p，于是，B的行向量組的極大線性無關組,,,含p個向量。因此，i1i2ip,,,,,,A的行向量組的一個極大線性無關組是向量組的一個子集，所i1i2ipm1s以它所含向量個數(shù)p(sm)，即r(A)rp(sm)，感謝閱讀從而，r(B)prms.謝謝閱讀,.求下列（19—22題）矩陣的秩，并指出該矩陣的一個最高階的非零子式：精品文檔放心下載123450012319.00004.0012112345112345解：001232001230000440000200121300000所以，矩陣的秩為3。1 3 51340為一個最高階的非零子式。謝謝閱讀0 0 4112102242020.30611.030011121011121022420403001解：3061130004003001200000所以，矩陣的秩為3。1 1 101120為一個最高階的非零子式。謝謝閱讀0 3 0,.321321321.231.455613213213493133713179解：21045561002132所以，矩陣的秩為3。3 2 113140為一個最高階的非零子式。感謝閱讀4 5 51100211022.021100211100110021100110解：0211001000210001所以，矩陣的秩為4。1 1 0 02 1 1 00 2 1 10 0 2 1

10為一個最高階的非零子式。23.設A是一個mn矩陣，證明：存在非零的ns矩陣B，使得AB0的充要條件是謝謝閱讀r(A)n.,.證：設齊次線性方程組AX0，B0，則由AB0，12s可得A0,j1,2,,s，由于，B0，至少有一個0，j12sj再由AX0有非零解的充要條件是r(A)n，故，A0,j1,2,,s，j至少有一個0的充要條件是r(A)n.j24.設A,B是同形矩陣，證明：A與B相抵的充要條件是r(A)r(B).謝謝閱讀證：設A,B是mn矩陣，r(A)r,r(B)p，則存在可逆矩陣P,P,Q,Q，感謝閱讀1 2 1 2使得PAQE0PBQE0r，p，00110220充分性，因為r(A)r(B)，所以，PAQE0PBQE0r=p，00001122(P)1PAQQ1B,令(P)1PP,QQ1Q,故，PAQB感謝閱讀2 1 1 2 2 1 1 2因此，A與B相抵.必要性，因為A與B相抵，所以，存在可逆矩陣P,Q,使得PAQB，精品文檔放心下載因此，r(A)r(B).25.設A是mn（mn）r(A)m，證明：存在nm矩陣B使得ABI.矩陣，m證：因為r(A)m，所以，存在可逆矩陣P,Q,使得PAQI0，所以有mAQP1I0,m,.AQP1I 0(P1 0), (1)感謝閱讀mPAQTIQTB（1）右端乘nm階矩陣T,得m，令,0故，ABI.m26.證明：若n階方陣A的秩為r，則必有秩為nr的n階方陣B，使得BA0.謝謝閱讀證：因為n階方陣A的秩為r，所以AT的秩為r，則ATX0的基礎解系含有nr個線精品文檔放心下載性無關的解向量，取這nr個線性無關的解向量X,,X為BT的列向量，則1nrr(BT)nrr(B).因此，該命題得證.27.證明：任何秩為r的矩陣可以表示為r個秩為1矩陣之和，而不能表示為少于r個秩為1精品文檔放心下載的矩陣之和.E0證：設A為秩為r的矩陣，則存在可逆矩陣P,Q使得PAQr，00E0P1(BB)Q1P1BQ1P1BQ1所以，AP1rQ1，其中01r1r0B,,B為秩為1的矩陣1 r因此，任何秩為r的矩陣可以表示為r個秩為1矩陣之和.感謝閱讀后部的證明，（反證法）假設A為秩為r的矩陣，能表示為少于r個秩為1的矩陣之和，不精品文檔放心下載妨設A能表示為p個秩為1的矩陣之和，其中，pr，設A(BB),其中1pB,,B是秩為1的矩陣.r(A)r(B)r(B)pr，與r(A)r矛盾.謝謝閱讀1 p 1 p,.28.求下列齊次線性方程組的一個基礎解系及一般解：xx5xx01234（1）xx2x3x012343x1x28x3x409x7x0x3x123410311151211237解：31810122000013970000取x,x為自由未知量，令x1,x0和x0,x1，得原方程組的一個基礎解系為343434X(3,7,1,0)T;X(1,2,0,1)T，1222312因此，一般解為72XkX=k12k2，其中k,k為任意常數(shù).Xk11220121103xx8x2xx012345(2).2x2x3x7x2x012345x11x12x34x5x0123453x0x5x2x16x12345318211019312372882解：2017251111123458820000015216300000取x,x,x 為自由未知量，令x1,x0,x0，x0,x1,x0和感謝閱讀3 4 5 3 4 5 3 4 5,.x0,x0,x1，得原方程組的一個基礎解系為精品文檔放心下載3 4 5X(19,7,1,0,0)T,X(3,25,0,1,0)T,X(1,1,0,0,1)T,18828832219318827251因此，一般解為XkXkXkXk8k8k2k,k,k100112233123，其中，123010001為任意常數(shù).29.求下列非齊次線性方程組的一般解：2x7x3xx61234（1）3x5x2x2x412349x4xx7x212342731619408解：3522401151109417200000取x,x為自由未知量，令xx0，得方程組的一個特解：X(8,0,0,10)T，23230再令x1,x0和x0,x1，得其導出組的一個基礎解系：2323X(9,1,0,11)T,X(4,0,1,5)T.12所以，方程組的一般解為XXkXkX，其中k,k為任意常數(shù).0112212xxxxx712345（2）3x2xxx3x212345x2x2x6x2323455x4x3x3xx1212345,.11111710115163211320122623解：01226230000005433112000000取x,x,x,為自由未知量，令xxx0，得方程組的一個特解：感謝閱讀3 4 5 3 4 5(16,23,0,0,0)T；0再取x1,x0,x0，x0,x1,x0和x0,x0,x1得其導出組的一個345345345基礎解系：X(1,2,1,0,0)T,X(1,2,0,1,0)T,X(5,6,0,0,1)T123所以，方程組的一般解為XXkXkXkX，其中k,k,k為任意常數(shù).011223312330.討論p,q取何值時，下列線性方程組有解、無解，有解時求其解.謝謝閱讀(p3)xx2xp1232p(1)px(p1)xx1233(p1)xpx(p3)x3123p312pp312p解：pp112pp2p303p23p63(p1)pp33p2(p1)00p33p215p9所以，p0或p1時，該方程組無解，感謝閱讀0且p1時，p312p010p312p9p2(p1)p2p303p23p60014p33p212p9p2(p1)p2(p1)00p33p215p9100p33p215p9p2(p1)有唯一解是,.Xp33p215p9，Xp312p9，X4p33p212p9p2(p1)p2(p1)12p2(p1)3xxxxx112345（2）3x2xxx3xp12345x2x2x6x323455x4x3x3xxq23451111111111111解：32113p01226301226300000p54331q00000q2所以，當p0或q2時，方程組無解；精品文檔放心下載當p0且q2時，方程組有無窮多解，感謝閱讀111111101152012263012263000000000000000000000000取x,x,x為自由變量，令xxx0，得方程組的一個特解：X(2,3,0,0,0)T；3453450再取x1,x0,x0，x0,x1,x0和x0,x0,x1得其導出組的一個345345345基礎解系：X(1,2,1,0,0)T,X(1,2,0,1,0)T,X(5,6,0,0,1)T12321153226所以，方程組的一般解為X0k1k0k0，其中k,k,k為任意常12312300100010數(shù).,.xx2xx11234（3）xx2x7x31234xpxqxq3234xx2x(q2)xq3123411211112111127301231解：01pqq300p2q3q2112q2q3000q1q2所以，當p2且q1時，方程組有唯一解。精品文檔放心下載當q1時，方程組無解；1121111211當p20123101231時，000q3q200012000q1q200004q所以，當p2且q4時，方程組有無窮多解，10,7,0,2Tk0,2,1,0T，其中k為任意感謝閱讀常數(shù)。當p2且q4時，方程組無解。31.設A是mn矩陣，證明：若任一個n維向量都是AX0的解，則A0.精品文檔放心下載證：因為任一個n維向量都是AX0的解，則n維向量(0,,0,1,0,,0)T（第i個分i量為1其余分量均為0的列向量）滿足A(,,)(A,,A)0，即AI0,其中1n1nI是n階單位方陣，因此，A0.32.設A是一個ms矩陣，B是sn矩陣.X是n維列向量.證明：若(AB)X0與精品文檔放心下載,.BX0是同解方程組，則r(AB)r(B).謝謝閱讀證：因為若(AB)X0與BX0是同解方程組，所以，(AB)X0的基礎解系所含解向感謝閱讀量的個數(shù)與BX0的基礎解系所含解向量的個數(shù)相等.精品文檔放心下載nr(AB)nr(B)，因此，r(AB)r(B).謝謝閱讀33.設A是mn矩陣,B是ns矩陣，證明：若AB0，則r(A)r(B)n.精品文檔放心下載證：設B

(

,

,

)，其中

,

,

是一組列向量，由AB

0得，1

s

1

sA

j

0,j1,

,s

.若

r(A)

r，則AX

0的基礎解系含有nr個線性無關的解向量，感謝閱讀而

,

,

為AX

0的解向量，則

,

,

可由AX

0的基礎解系線性表示，1

s

1

s所以，r(B)nrnr(A).謝謝閱讀故，r(A)r(B)n.34.設A是n階矩陣A的伴隨矩陣，證明：精品文檔放心下載n,r(A)nr(A)n1（1）r(A)1,0,r(A)n1（2）AAn1.證：（1）由于AAAI，當r(A)n時，A0，所以A0，得r(A)n；精品文檔放心下載當r(A)n1時，即至少有一個n1階子式不等于零，所以A0，且A0，感謝閱讀,.因為A0，所以r(A)1.謝謝閱讀因為A0，所以AA0，即A的每一列均是齊次線性方程組Ax0的解，所以r(A)nr(A)n(n1)1。因此，r(A)1；r(A)n1時，A的任一n1階子式都等于零，所以A0，故r(A)0。（2）當A0時，由AAAI，得AAn1。謝謝閱讀A0時，即r(A)n1，由（1）知，r(A)1，從而A0，所以AAn1也感謝閱讀成立，故，對任意n階方陣A，都有：AAn1。精品文檔放心下載設A是n階可逆矩陣(n2)，證明：AAn2A.感謝閱讀證：因為A是n階可逆矩陣，所以A是n階可逆矩陣，且AAn1。感謝閱讀因為AAAI，所以AA(A)1。感謝閱讀又因為AAAI，所以(A)1AA。謝謝閱讀因此，AA(A)1An1 AAAn2A。感謝閱讀36.設A是n階矩陣，證明：非齊次線性方程組AXb對任何b都有解的精品文檔放心下載,.充要條件是A0.證：充分性，因為A0，所以r(A)nr(A,b)。感謝閱讀因此，對于任意b，r(A)nr(A,b)，AXb有解.謝謝閱讀1必要性，(反證法)假設A0,則r(A)n。設A，則,,,線性相關，212nn從而其中至少有一個向量能由其余向量線性表出，不妨設可由,,,n1線性表出，n12 1b(0,0,,0,1)T，則(A,b)精品文檔放心下載n10

，即r(A)r(A,b)，所以方程組無解，精品文檔放心下載01矛盾。37.設xxa,xxa,xxa,xxa,xxa,121232343454515證明：這個方程組有解的充要條件是5a0，在有解的情形下，求出它的一般解。感謝閱讀i1證：因為xxa,xxa,xxa,xxa,xxa,12123234345451511000xa1011010x2a即102001xa3300011xa1000144xa55有,.11000a110100a001102a130001a140001a511000a110100a120010a130001a400000aaaaa123451000110001a51100011000a令A（A,b）01100401100a，30011000110a00011000112a150。方程組有解的充要條件為r(A)r(A,b)即ai1當5時，a0i111000a10001aaaa1123401100a01001aaa1021234001a0010aa313400011a0001a44000000000000取x為自由變量，令x0，得方程組的一個特解：55X(aaaa,aaa,aa,a,0)T；01234234344再取x1得其導出組的一個基礎解系：X(1,1,1,1,1)T5 1,.aaaa11234aaa41所以，方程組的一般解為XXkX23k1aa，其中k為任意常數(shù)。0134a140138.已知，是方程組AXb的兩個不同解,,是對應齊次線性方程組AX0的1212基礎解系,則AXb一般解是:(A)kk()1112122(C)kk()1112122

2;(B)kk()2;11122122;(D)kk()12.112122解:可證得，，是線性無關的且是AX0的解,因此是AX0的一個基礎解系,謝謝閱讀1 2 1是AXb的一個解,因此,選(B).12212339.已知Q24t,P為非零矩陣,PQ0,則:369(A)當t6時,r(P)1; (B) 當t6時,r(P)2;謝謝閱讀(C)當t6時,r(P)1; (D) 當t6時,r(P)2;謝謝閱讀123解:因為PQ0,且Q24t,所以r(P)r(Q)3,又因為P為非零矩陣,所以369r(P)1,當t6時,r(Q)2,因此,1r(P)1,即r(P)1,故選(C).謝謝閱讀40.設(a,a,a)T,(b,b,b)T,(c,c,c)T,則三條直線112321233123axbyc0,(a2b20),(i1,2,3)交于一點的充要條件是:謝謝閱讀i i i i i,.(A),,線性相關,(B),,線性無關;123123(C)r{,,}r{,};(D),,線性相關,,線性無關.1231212312axbyca1111解:因為axbyc有唯一解的充要條件是ra2222axbyca3333abc111rabc2，即,,線性相關。222123abc333ab112，即,線性無關。所以，選(D)。rab2212ab33

b1b2b3

a1ra2a3

bc11bc2，22bc3341.設A是mn矩陣,r(A)m(mn),B是n階矩陣,下列哪個成立?感謝閱讀(A) A中任一m階子式0; (B) A中任意m列線性無關；精品文檔放心下載(C) ATA0; (D) 若AB0，則B0；謝謝閱讀若r(B)n，則r(AB)m.謝謝閱讀解：選（E）.r(B)n,所以B可逆，r(AB)r(A)m.精品文檔放心下載42.設,,,(Rn,i1,,m,m2)線性無關,下列哪個成立?12mi(A)對任意常數(shù)k,k,k,,k，有kkk0；123m1122mm(B)任意k(km)個向量,,線性相關；精品文檔放心下載i1 ik,.對任意Rn,,,,線性相關；精品文檔放心下載m任意k(km)個向量,,線性無關.感謝閱讀i1 ik解：選（D），因為整體線性無關，部分必線性無關。43.設,,線性無關，,,線性相關，下列哪個成立?感謝閱讀(A)必可由,,線性表示； （B）必可由,,線性表示；精品文檔放心下載(C)必可由,,線性表示； (D) 必不可由,,線性表示.精品文檔放心下載解：選（C）。因為,,線性無關，所以,線性無關。因為,線性無關，,,精品文檔放心下載線性相關，所以必可由,線性表示，從而必可由,,線性表示。謝謝閱讀44.設A是43矩陣，r(A)1，,,是非齊次線性方程組AXb的三個線性無關精品文檔放心下載1 2 3解，下列哪個是AX0的基礎解系？(A)(B)2123123(C),(D),21321223解：因為r(A)1，所以AX0的基礎解系含有2個線性無關的解，因此(A),(B)不正確。感謝閱讀(D)的兩個解不是AX0的解，故選(C).精品文檔放心下載45.設向量組{,,}線性相關，{,,}線性無關。回答下列問題，并證明之。感謝閱讀1 2 3 2 3 4（1）1能否由{2,3}線性表示？,.（2）能否由{,,}線性表示？4 1 2 3解：（1）因為,,線性無關，所以,也線性無關，感謝閱讀2 3 4 2 3又因為,,線性相關，所以可由,線性表示。123123（2）（反證法）假設能由,,線性表示，再由（1），能由,線性表示，謝謝閱讀4 1 2 3 1 2 3所以能由,線性表示，即,,線性相關，與,,線性無關矛盾。所以，423234234不能由{,,}線性表示。4 1 2 346.設A為n階矩陣，若存在正整數(shù)k(k2)使得Ak0，但Ak10（其中為n維非零列向量），證明：,A,,Ak1線性無關。精品文檔放心下載證明：（定義法證）若ttAtAk10，感謝閱讀1 2 k上式兩邊左乘Ak1得，tAtAtA0k1k2k212k因為Ak0，所以Ak1A2k20感謝閱讀因此，tA0，又因為A0，得t0。k1k111利用同樣方法，可求得ttt0，23k因此，,A,,Ak1線性無關。47.設A,B分別為nm,mn矩陣（nm),且ABI（n階單位矩陣），感謝閱讀,.證明：B的列向量組線性無關。證：因為ABI，且nm,所以r(AB)nmin(r(A),r(B))n，謝謝閱讀因此，r(B)n，而B是mn矩陣，謝謝閱讀故，B的列向量組線性無關。48.已知秩{,,}=秩{,,}，其中(1,2,3)T,(3,0,1)T,12312312(9,6,7)T；(0,1,1)T,(a,2,1)T,(b,1,0)T，且可由31233,,線性表示，求a,b的值。1 2 3139b1-11-1,,,20610243解：=1233-31-70000-5b因為可由,,線性表示，所以有b50，因此，b5。3123139139(,,)206012123317000所以秩{,,}=2。1 2 30a5110(,,)12101112311030051a3因為秩{,,}=秩{,,}=2，所以51a0，所以，a15。1231233,.1a49.設Aa1aa

aa為n階矩陣（n3），aR，且r(A)n1，求a。謝謝閱讀1解：因為r(A)n12(n3)所以a1謝謝閱讀1aa100111a001Aa0110a1a000(n1)a1因為r(A)n1，所以(n1)a10，因此，a11n50.設n階矩陣A的每行元素之和均為零，又r(A)n1精品文檔放心下載解。

。，求齊次線性方程組Ax0的通解：因為r(A)n1，所以齊次線性方程組Ax0的基礎解系中含一個解向量。精品文檔放心下載設A，因為A的每行元素之和均為零，所以012n12n11即A101是齊次線性方程組Ax0的一個基礎解系。從而，Ax0的通解為：1111k，其中k為任意常數(shù)。151.已知下列線性方程組I,II為同解線性方程組，求參數(shù)m,n,t之值。感謝閱讀,.xx2x6,124I:4xxxx1,12343xxx3;123xmxxx5,1234II:nxx2x11,234x2xt1.341102610012解：因為41111010143110300125所以，(2,4,5,0)T是方程組I的一個解，因為方程組I與II同解，所以它也是方程組II謝謝閱讀的一個解，將它帶入方程組II，可得：m2,n4,t6。感謝閱讀52.設(1,2,1)T,(1,1,0)T,(0,0,8)T,AT,BT，求解方程22B2A2xA4xB4x。感謝閱讀解：即求解非齊次線性方程組：(2B2A2A4B4)x謝謝閱讀840010112因為(2B2A2B4A4,)168000121841680000所以(2B2A2A4B4)x的一個特解為：(1,1,0)T。2(1,2,1)為其導出組的一個基礎解系。因此，(2B2A2A4B4)x的一般解為：(12,1,0)Tk(1,2,1)T，其中，k為任意常數(shù)。謝謝閱讀53.設n階矩陣A(,,,)的行列式A0，A的前n1列構(gòu)成的n(n1)矩陣12n記為A(,,,)，問方程組Ax有解否？為什么？1 1 2 n1 1 n,.解：無解，因為r(A)n1,r(A,)n。11n設,均為非零的n維列向量，AT，證明：A中任意兩行（或兩列）成比例。解：因為r(A)min(r(),r(T))1，所以A中任意兩行（或兩列）成比例。感謝閱讀AAkkn55.設n階矩陣A分塊為A1112，其中A階可逆矩陣（），證明：存AA2122在主對角元為1的上三角矩陣U和下三角矩陣LA0。，使得LAU110B解：由分塊矩陣的初等變換，不難知道：I0AAIA1AA0k1112k111211AA1IAA0I0AAA1A2111nk21nk2221111222I0IA1A。所以，Lk，Uk1112AA1I0Ink2111nk56.設A,B皆為n階矩陣，證明：（1）IBIAB;（2）IABIBA;AI（3）det(IAB)det(IBA)（為任意常數(shù)）。精品文檔放心下載證：（1）因為I0IBIBAIAI0IAB所以

IA

0IIA

BII0

BIAB,.因此，IBIAB。AIIBIBIBA0（2）因為0IAIAI所以I BI0 I A

B IBAI A

0I因此，IBIBAAI由（1）即得：IABIBA。(3)分兩種情況來討論。當0時，AB(1)nABBA，成立。謝謝閱讀當0時，因為，I0IBIBI1BIBI1BA0,AI00IAAIIABAIIIB所以，det(IAB)det(IBA)I。A綜上，結(jié)論成立。57.證明：若A是mn矩陣，r(A)r，則存在mr矩陣B，rn矩陣C，且感謝閱讀r(B)r(C)r，使得ABC（提示：利用相抵標準形）。感謝閱讀I0證明：因為，r(A)r，所以存在可逆矩陣P(m階)、Q(n階)，使得PAQr，00I0I0I0Q1則AP1rQ1=P1rr000000nnmn,.令P1M M'mr m(mr)

N,Q1rnN('nr)n因為P1,Q1為可逆矩陣，所以M 的列向量組線性無關，N 的行向量組線性無關。謝謝閱讀mr rn令BMmr

IM' rm(mr)0

0IM0,Cr0mr0mn

00

NNrnrnnnN('nr)n0即滿足條件，從而此題得證。58.設A,B皆為n階矩陣，r(A)r(B)n，證明存在可逆矩陣Q，使得AQB0。精品文檔放心下載證明：結(jié)合相抵標準形，不難知道，存在可逆矩陣P,Q,P,Q，使得：謝謝閱讀1 1 2 2PAQI000r(A),PBQ110022Ir(B)0因為r(A)r(B)n，所以PAQPBQ0，令QQP，則此題得證。11221259.證明：,,,（其中0）線性相關的充要條件是存在一個(1ir)使得12r1i可由,,,線性表示，且表示法唯一。謝謝閱讀i 1 2 i1證明：（充分性）因為存在一個(1ir)使得可由,,, 線性表示謝謝閱讀i i 1 2 i1所以，,,,線性相關，從而,,,線性相關。感謝閱讀1 2 i 1 2 r（必要性）因為,,,線性相關，所以存在不全為零的一組常數(shù)k,k,,k使得感謝閱讀1 2 r 1 2 rkkk01 1 2 2 r r在使kkk0成立的所有不為零的系數(shù)中，必有一個最小的下標i，使謝謝閱讀1 1 2 2 r rk0，但k0(ji)。下面說明1ir。如果i1，則k0,k0，從而0感謝閱讀i j 1 1 1 1,.矛盾。最后證表示法唯一。若,,,線性相關，則顯然得到一組數(shù)與前面k的取法12i1i矛盾。所以，,,,線性無關。又因為,,,線性相關，所以表示法唯一。12i112i60.證明：向量組,,,線性無關的充要條件是i1k(i2,3,,s)。12sijjj1提示：此命題是59題的逆否命題。61.設向量組,,,線性無關，如在向量組的前面加入一個向量，證明：在向量組精品文檔放心下載1 2 r,,,,中至多有一個向量(1ir)可經(jīng)其前面的i個向量,,,,線12ri12i1性表示。并在R3中做幾何解釋。證明：反證，設有兩個向量,(1ijr)均可經(jīng)其前面的向量線性表示：感謝閱讀i jkkk（1）i11i1i1lll（2）j11j1j1l(2)k得：(kllk)(k ll k) (llk)lk l k k0謝謝閱讀1 1 1 i1 i1 i1 i i i1 i1 j1 j1 j感謝閱讀因為,,,線性無關，所以,,,線性無關，,,,線性無關，因此12r12j12ik0，則由（1）知可由,,,線性表出，與,,,線性無關矛盾。i12i112i62.證明：在n維向量空間Rn中，若向量可經(jīng)向量組,,,線性表示，則表示法12s唯一的充分必要條件是向量組,,,線性無關。12s證明：（充分性）設有表示法,.kkk1 1 2 2 s slll1 1 2 2 s s兩式相減得：(kl)(kl)(kl)0111222sss因為,,,線性無關，所以k l,kl,,kl，即可證表示法唯一。謝謝閱讀1 2 s 1 1 2 2 s s（必要性）反證，設,,,線性相關，則存在不全為零的一組數(shù)設為p,p,,p使12s12s得ppp01122ss因為向量可經(jīng)向量組,,,線性表示，所以存在一組常數(shù)q,q,,q使得12s12sqqq1122ss所以，(pq)(p q)(pq)感謝閱讀1 1 1 2 2 2 s s s因為p,p,,p不全為零，所以這是異于上面的另一種表示法，從而與表示法唯一矛盾。謝謝閱讀1 2 s63.設A是n階矩陣，r(A)1。證明：感謝閱讀a1(1)Aa2(2)A2kA.b,b,,b;12nan證明：（1）因為r(A)

1，所以A的每行向量成比例，即得此結(jié)果。a 1A2b1,b2,ana2精品文檔放心下載

bn

a1a2b1an

b,,bn,.kb,b,,b1 2 n

a1a2即得此結(jié)果。anaa111264.設Aaa2122aam1m2

a1na2n,yamn

y1y2,byn

(b,b,,b)T,x(x,x,,x)T.感謝閱讀1 2 m 1 2 m（1）證明：若Ayb有解，則ATx0的任一組解x,x,,x必滿足方程12mbxbxbx0.1122mmAT0無解（其中0是n1零矩陣）。（2）方程組Ayb有解的充要條件是方程組x1bT證明：（1）因為Ayb，所以bTyTAT。因此，對任一組x,x,,x，若它滿足ATx0，12m則必有yTATx0，即bTx0，即bxbxbx0.1122mm(2)方程組Ayb有解r(A)r(A,b)b可由A的列向量組線性表出精品文檔放心下載ATAT0（必要性）因為b可由A的列向量組線性表出，所以r(A)rr1bTbTAT0無解。所以，方程組x1bTAT0ATAT0r(AT)1（充分性）因為方程組x無解，所以r(AT)rr11bTbTbTrATrA因此，(T)，從而b可由A的列向量組線性表出。bT,.設A是一個mn矩陣，mn，r(A)m，齊次線性方程組Ax0的一個基礎解系感謝閱讀為b(b

,b

,

,b)T,

i

1,2,

,n

m.i

i1

i2

in試求齊次線性方程組n0,i1,2,,nmbyijjj1的基礎解系所含解向量的個數(shù)，并求出一個基礎解系。解：齊次線性方程組n0,i1,2,,nmbyijjj1的基礎解系所含解向量的個數(shù)為n(nm)m。謝謝閱讀66.設mn矩陣A的m個行向量是齊次線性方程組Cx0的一個基礎解系，又B是一個感謝閱讀階可逆矩陣。證明：BA的行向量也是Cx0的一個基礎解系。謝謝閱讀bbb111121m證明：設ABbbbC0(i1,2,,m)221222mTi，bbbmm1m2mm且,,,線性無關。因為12m,.bbbbbb11121m11111221mmBAbbbbbb21222m22112222mmbbbbbbm1m2mmmm11m22mmmC(bTbT