地下建筑結(jié)構(gòu)(中國地質(zhì)大學(xué)孫金山)9

提綱：

10.1隧道工程常用數(shù)值方法簡介

10.2有限單元法原理和計算過程

10.3算例介紹

9．地下建筑結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬技術(shù)

巖體性質(zhì)的復(fù)雜性（非均質(zhì)性、不連續(xù)性、各向異性、非線性、時間相關(guān)性等）和巖體構(gòu)造的復(fù)雜性（節(jié)理、裂隙、斷層等）以及施工方法的多樣性，使得在對地下工程的有關(guān)問題進(jìn)行應(yīng)力—應(yīng)變分析時，難以采用解析法。即便是采用解析法也必須進(jìn)行大量的簡化，而得出的結(jié)果難以滿足工程需要。若要模擬地下工程的開挖與支護(hù)過程，并由此來確定和優(yōu)化開挖方案和支護(hù)措施，解析法就更無能為力了。而數(shù)值方法已被證明在解決復(fù)雜的巖石力學(xué)課題中是一種十分有效的手段，它把連續(xù)體的基本原理進(jìn)一步推廣到處理巖體的非均質(zhì)、不連續(xù)性，以及巖石的各種復(fù)雜的非線性性態(tài)。十．有限單元方法（簡稱有限元法）

數(shù)值方法優(yōu)點：隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，數(shù)值方法在地下過程領(lǐng)域正顯示出越來越強(qiáng)大的生命力，并得到越來越廣泛的應(yīng)用。與大型物理模型實驗和現(xiàn)場實驗相比，數(shù)值分析法具有快速、便捷、費用低、可以模擬巖體特性和構(gòu)造特點以及施工過程、可以重復(fù)計算、易于改變參數(shù)等優(yōu)點。數(shù)值方法缺點：計算量大，計算復(fù)雜及計算成本；難于做到與實際一致。10.1隧道工程常用數(shù)值方法簡介

數(shù)值模擬方法連續(xù)介質(zhì)模型非連續(xù)介質(zhì)模型作用與反作用模型有限單元法有限差分法邊界元法離散單元法彈性地基梁法

（1）有限單元法（FEM）

有限單元法是自上世紀(jì)50年代發(fā)展至今，其以彈塑性力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，通過求解彈塑性力學(xué)方程（物理方程、幾何方程、平衡方程），計算隧道圍巖體在一定的環(huán)境條件（自重、荷載等）下的應(yīng)力場和位移場，然后根據(jù)相應(yīng)的巖土體破壞準(zhǔn)則，判斷隧道圍巖體各相應(yīng)部位在該應(yīng)力作用下所處的狀態(tài)，并指出可能發(fā)生破壞（拉張破壞、剪切破壞、塑性破壞等）的部位和區(qū)域，以此對整個隧道的穩(wěn)定性進(jìn)行評價。由于這種方法是基于小變形和連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，因此只適用于分析模擬隧道變形發(fā)展演化的早期階段在應(yīng)力場作用下發(fā)生的拉張或壓縮變形，而不能模擬分析隧道圍巖體的大變形問題。

（2）有限差分法（FDM）

有限差分法的基本原理與有限單元法類似，通過離散化單元來求解圍巖體的應(yīng)力與應(yīng)變，兩種方法都會產(chǎn)生待求的代數(shù)方程組，盡管這些方程由不同的方法提出，但在某些特殊的情況下，兩種方法得出的最終方程是一樣的，只是它們各自的求解方法有所差別罷了。有限單元法通過剛度矩陣的形式求解每一單元的應(yīng)力與應(yīng)變，而在有限差分中，空間離散點處的控制方程組中每一個導(dǎo)數(shù)直接由含場變量（如應(yīng)力和位移）的代數(shù)表達(dá)式替換，這些變量沒有在單元內(nèi)部進(jìn)行定義，它可以有效地在每一步重新生成有限差分方程，即通過“顯式”的方式逐步求解每一單元的應(yīng)力與應(yīng)變。（3）邊界單元法（BEM）

邊界單元法是20世紀(jì)70年代興起的一種數(shù)值方法，其通過結(jié)點之間插值，把邊界積分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性代數(shù)方程組，由此解出各邊界單元的結(jié)點處待定的邊界值，再利用把邊界值與域內(nèi)函數(shù)值聯(lián)系起來的解析公式，即可求得計算區(qū)域內(nèi)任一點的函數(shù)值。該方法有降維作用，且計算精度高，可有效地使已知問題的維數(shù)降低一維，由此可減小方程組的規(guī)模，提高計算效率。邊界單元法還可以正確地模擬遠(yuǎn)處的邊界條件，并可保證在整個材料體內(nèi)應(yīng)力場和位移場變化的連續(xù)性，與其它計算方法相比，它更適用于均質(zhì)材料和線性性態(tài)情況。

（4）離散單元法（DEM）

在巖體力學(xué)中，一般是將巖土視做連續(xù)介質(zhì)而賦以不同的本構(gòu)方程，如彈性、塑性和粘彈性等。但是，巖體往往為眾多的節(jié)理或結(jié)構(gòu)面所切割，在某些情況下，巖體不能視為連續(xù)介質(zhì)，特別是開挖區(qū)附近的破碎巖體，具有明顯的不連續(xù)性，很難用傳統(tǒng)處理連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)方法如有限單元法或邊界單元法來處理，于是，離散單元法作為一種處理節(jié)理巖體的數(shù)值方法就應(yīng)運而生，其特別適用于節(jié)理巖體的應(yīng)力分析，在采礦工程、巷道工程、邊坡工程以及放礦力學(xué)等方面都有重要的應(yīng)用。

主要適用于模擬隧道發(fā)展演化的晚期階段大變形破壞過程。

（5）彈性地基梁法

彈性地基梁法又稱謂“圍巖抗力系數(shù)法”，該方法特別適用于模擬分析隧道工程的支護(hù)襯砌結(jié)構(gòu)（網(wǎng)噴及二次襯砌）的受力形態(tài)。支護(hù)襯砌采用梁單元模擬，而為支護(hù)襯砌提供內(nèi)嵌限制條件的隧道圍巖體則用彈簧單元來模擬。彈簧單元垂直于支護(hù)襯砌結(jié)構(gòu)，這樣能夠有效地模擬導(dǎo)致支護(hù)襯砌結(jié)構(gòu)發(fā)生偏離“失穩(wěn)”的正向應(yīng)力。但該方法比較缺憾的是只能模擬較為簡單的地層介質(zhì)。10.2有限單元法原理和計算過程

有限元法的要點是將連續(xù)體用網(wǎng)絡(luò)劃分成若干個有限數(shù)目的單元體，如下圖所示：隧道有限元劃分示意圖

這些單元體只在角點處相互鉸接，這些角點稱為節(jié)點，而這些有限大小的單元體就稱為有限單元或有限元件。將荷載移植作用于有限單元的節(jié)點上，成為節(jié)點荷載。通常求解時取節(jié)點位移作為基本未知量，也就是采用位移法求解。隧道有限元劃分示意圖

采用有限元法分析計算時，應(yīng)力與位移的關(guān)系可表達(dá)為：（10—1）

式中[S]為應(yīng)力矩陣，為節(jié)點位移。節(jié)點力用節(jié)點位移表示：（10—2）

式中[K]為單元的剛度矩陣。若用[R]表示節(jié)點荷載，那么用位移表示的節(jié)點平衡方程組為：（10—3）

解方程組（10—3）可求得位移，從而可推導(dǎo)應(yīng)變和應(yīng)力的分布。以上步驟是有限元法求解的基本要點，這實際上是微分方程的一種數(shù)值解法。

有限元法適合各種邊界條件，考慮了巖體的非均質(zhì)性、各向異性和圍巖與結(jié)構(gòu)的共同作用等因素，并可以引入非線性的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系以及地質(zhì)非連續(xù)性的因素，因而為基巖、巖質(zhì)邊坡和地下洞室圍巖應(yīng)力與變形的計算提供了有效的方法。大多數(shù)地下工程涉及到無限域或半無限域，而有限元法處理這類問題通常是在有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行離散化。為了減少誤差，離散區(qū)域必須有足夠的范圍，并盡可能保證區(qū)域外的邊界條件盡可能接近實際情況。理論分析表明，在均質(zhì)彈性無限域中開挖的圓形洞室，由于荷載釋放而引起的洞室周圍介質(zhì)的應(yīng)力和位移的變化，在5倍洞徑范圍之外將小于1％，在3倍洞徑之外約小于5％。因此，依據(jù)工程的具體要求和有限元法的離散誤差以及計算誤差，一般選取的計算范圍沿洞徑各個方向均不小于3～4倍洞徑，如圖10—2所示。但計算實踐表明，對于非圓形洞室或各向異性巖體中開挖的洞室而言，計算范圍應(yīng)適當(dāng)擴(kuò)大或取上限尺寸。如果只考慮自重應(yīng)力場，則可以借助于無限域單元，從而免去計算范圍選取的麻煩，但在確定無限元和有限元的交接位置時仍要考慮上述原則，只是范圍可略小一些或取下限，如圖10—3所示。（1）計算范圍的確定和離散方法

圖10-2計算范圍的確定圖10-3無限域剖分示意圖

使用有限元法進(jìn)行地下工程分析，在計算范圍確定之后并非任何一種離散形式都可以得到同樣的結(jié)果。單元劃分的疏密、大小和形狀都會影響計算的精度。從理論上看，單元劃分得越密越小、形狀越規(guī)則，計算精度就越高。根據(jù)誤差分析，應(yīng)力誤差與單元尺寸的一次方成正比，位移誤差與單元尺寸的二次方成正比。但在實際工程中，工程技術(shù)人員總是對計算范圍內(nèi)的某些區(qū)域感興趣，如地下洞室或地下結(jié)構(gòu)物周圍區(qū)域、地質(zhì)構(gòu)造區(qū)域以及荷載突變區(qū)域。這些部位的單元可加密劃分，而其它區(qū)域則可劃分得稀疏些。稀密區(qū)域單元的大小不宜相差過大，應(yīng)均勻過渡。單元形式可采用三節(jié)點三角形常應(yīng)變元、六節(jié)點三角形應(yīng)變元、四節(jié)點四邊形和八節(jié)點四邊形應(yīng)變元等。對于三維問題，常采用八至二十節(jié)點六面體單元或殼單元。三角形單元的優(yōu)點是適應(yīng)性強(qiáng)，在地下洞室周圍應(yīng)力變化較大的區(qū)域，采用加密的三角形單元往往比采用多節(jié)點的四邊形單元獲得更精確的計算精度；三角形單元的缺點是應(yīng)力波動大，相鄰單元應(yīng)力往往不連續(xù)。四邊形單元的優(yōu)點是能夠較好地反映應(yīng)力變化，當(dāng)節(jié)點數(shù)相同時，其計算精度高于三角形單元，并且在邊界較為規(guī)則時采用四邊形單元較為簡單。如果程序許可，也可以混合使用三角形與四邊形單元，但公共邊上位移必須協(xié)調(diào)。

在離散計算區(qū)域時還需注意以下幾方面的問題：

（1）一個單元各邊長相差不能過大，兩邊夾角不能過小，各夾角最好盡量相等；（2）一個單元中不能包含兩種或兩種以上的材料；（3）集中荷載作用點或荷載突變處必須布置節(jié)點；（4）如地下結(jié)構(gòu)和巖體結(jié)構(gòu)在幾何形狀和材料特性方面都具有對稱性時，可利用該對稱性取部分計算范圍進(jìn)行離散。（5）洞室邊緣兩側(cè)的對應(yīng)單元，其大小形狀盡量一致；（6）洞室邊緣及附近單元的布置應(yīng)考慮設(shè)置錨桿的方向及深度，以便施加錨固力；（7）洞室內(nèi)單元的劃分要考慮到分期開挖的分界線和部分開挖區(qū)域的分界線；（8）計算范圍內(nèi)的單元劃分還要考慮到地下水位變化的分界面。單元形式可采用三節(jié)點三角形常應(yīng)變元、六節(jié)點三角形應(yīng)變元、四節(jié)點四邊形和八節(jié)點四邊形應(yīng)變元等。對于三維問題，常采用八至二十節(jié)點六面體單元或殼單元。三角形單元的優(yōu)點是適應(yīng)性強(qiáng)，在地下洞室周圍應(yīng)力變化較大的區(qū)域，采用加密的三角形單元往往比采用多節(jié)點的四邊形單元獲得更精確的計算精度；三角形單元的缺點是應(yīng)力波動大，相鄰單元應(yīng)力往往不連續(xù)。四邊形單元的優(yōu)點是能夠較好地反映應(yīng)力變化，當(dāng)節(jié)點數(shù)相同時，其計算精度高于三角形單元，并且在邊界較為規(guī)則時采用四邊形單元較為簡單。如果程序許可，也可以混合使用三角形與四邊形單元，但公共邊上位移必須協(xié)調(diào)。（2）單元類型的選擇（3）邊界條件和原始應(yīng)力場

計算范圍的外邊界可采取兩種方式處理：其一為位移邊界條件，即一般假定邊界點位移為零（也有假定為彈性支座或給定位移的，但地下工程分析中很少用）；其二是假定為力的邊界條件，包括自由邊界（P=0）條件；還可以給定混合邊界條件，即節(jié)點的一個自由度給定位移，另一個自由度給定節(jié)點力（二維問題）。當(dāng)然無論哪種處理都有一定的誤差，且隨計算范圍的減小而增大，靠近邊界處誤差最大，這叫做“邊界效應(yīng)”。在動力分析中影響更為顯著，需妥善處理，圖10-4給出了幾種邊界條件形式。圖10-4計算范圍邊界條件的不同形式

為了確定力邊界條件，必須首先確定巖體中的初始應(yīng)力場。初始應(yīng)力場主要由巖體自重和地質(zhì)構(gòu)造力產(chǎn)生。但如何正確地確定這種應(yīng)力場至今未得到妥善解決，因為構(gòu)造應(yīng)力常常分布極不均勻，而費用昂貴的現(xiàn)場地應(yīng)力測量只能給出計算范圍中少數(shù)幾個點的地應(yīng)力值。常用的方法是根據(jù)自重應(yīng)力場及構(gòu)造應(yīng)力場的特點，確定較符合計算區(qū)域地質(zhì)特點的力的邊界條件，并利用部分量測數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整和修正。這與簡單地硬湊已知點地應(yīng)力是不同的。自重應(yīng)力場的特點是垂直及水平方向為主應(yīng)力方向，主應(yīng)力均為壓應(yīng)力，其大小僅與深度有關(guān)而與水平位置及時間無關(guān)。一般認(rèn)為由自重產(chǎn)生的垂直及水平地應(yīng)力為：（10—4）