第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

§3.1矩陣的初等變換矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算

它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?/p>

①

②①

②方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

在解線性方程組的過(guò)程中

我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程

這種變換過(guò)程稱為同解變換

同解變換有

交換兩個(gè)方程的位置

把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)

某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上

顯然

交換B的第1行與第2行即得B1

增廣矩陣的比較

例如

③

2③

2顯然

把B的第3行乘以(1/2)即得B2

方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

在解線性方程組的過(guò)程中

我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程

這種變換過(guò)程稱為同解變換

同解變換有

交換兩個(gè)方程的位置

把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)

某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上

例如增廣矩陣的比較

①

2②①

2②顯然

把B的第2行乘以(

2)加到第1行即得B3

方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

在解線性方程組的過(guò)程中

我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程

這種變換過(guò)程稱為同解變換

同解變換有

交換兩個(gè)方程的位置

把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)

某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上

例如增廣矩陣的比較

線性方程組與其增廣矩陣相互對(duì)應(yīng)

對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)方程組的增廣矩陣的變換

把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上

就得到矩陣的三種初等變換

方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系

在解線性方程組的過(guò)程中

我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程

這種變換過(guò)程稱為同解變換

同解變換有

交換兩個(gè)方程的位置

把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù)

某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上

下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換

(i)對(duì)調(diào)兩行(列)

(ii)以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去

矩陣的初等變換這三種變換都是可逆的

且其逆變換是同一類型的初等變換

例如

變換ri+krj的逆變換為ri+(

k)rj(或記作ri

krj)

ri

rj(ci

cj)對(duì)調(diào)i

j兩行(列)

ri

k(ci

k)表示第i行(列)乘非零數(shù)k

ri+krj(ci+kcj)表示第j行(列)的k倍加到第i行(列)上

初等變換的符號(hào)矩陣的等價(jià)關(guān)系如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B等價(jià)

記作A~B

如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B行等價(jià)

記作A~B

r如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B

就稱矩陣A與B列等價(jià)

記作A~B

c等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

(i)反身性A~A

(ii)對(duì)稱性若A~B

則B~A

(iii)傳遞性若A~B

B~C

則A~C

~~~~~r3

r411

2140

1

11000

02

611

2140

2

2200

5

5

3

60

3

34

311

2142

1

1122

3

1

123

6

979r42r3矩陣初等變換舉例

r1

r2r2

r3r32r1r43r111

2140

1

1100

0

0

2

600

01

3r2

2r3

5r2r43r2r3

2r1

r2r2

r3行階梯形矩陣

行最簡(jiǎn)形矩陣10

1040

1

1030

0

0

1

300

00

000

00

00

0

0

1

3

可以證明

對(duì)于任何矩陣A

總可經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣

~~~~~r3

r411

2140

1

11000

02

611

2140

2

2200

5

5

3

60

3

34

311

2142

1

1122

3

1

123

6

979r42r3矩陣初等變換舉例

r1

r2r2

r3r32r1r43r111

2140

1

1100

0

0

2

600

01

3r2

2r3

5r2r43r2r3

2r1

r2r2

r310

1040

1

1030

0

0

1

300

00

000

00

00

0

0

1

3矩陣初等變換舉例

對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣再施以初等列變換

可變成一種形狀更簡(jiǎn)單的矩陣

稱為標(biāo)準(zhǔn)形

其特點(diǎn)是

左上角是一個(gè)單位矩陣

其余元素全為0

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形~c比如上述行最簡(jiǎn)形矩陣經(jīng)初等列變換得

~rr~~c

因?yàn)橛猩鲜龅葍r(jià)關(guān)系

所以有同解線性方程組

行最簡(jiǎn)形矩陣與線性方程組的解

矩陣初等變換舉例

>>>完整解題過(guò)程

~rr~矩陣初等變換舉例

所有行等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合

集合中矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組都是同解的

其中行最簡(jiǎn)形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組是最簡(jiǎn)單的而且是最容易求解的

行最簡(jiǎn)形矩陣與線性方程組的解

~rr~§3.2初等矩陣矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運(yùn)算

這有著廣泛的應(yīng)用

由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

初等矩陣

E(i(k))表示用非零數(shù)k乘單位矩陣E的第i行(列)得到初等矩陣

E(ij(k))表示把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行上

或把單位矩陣E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩陣

E(i

j)表示對(duì)調(diào)單位矩陣E的第i

j兩行(列)得到的初等矩陣

例如

由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

初等矩陣

E(i(k))表示用非零數(shù)k乘單位矩陣E的第i行(列)得到初等矩陣

E(ij(k))表示把單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行上

或把單位矩陣E的第i列的k倍加到第j列上得到初等矩陣

E(i

j)表示對(duì)調(diào)單位矩陣E的第i

j兩行(列)得到的初等矩陣

初等矩陣都是可逆的并且

初等矩陣的可逆性E(i

j)

1

E(i

j)

E(ij(k))

1

E(ij(

k))

定理1(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣

對(duì)A施行一次初等行變換

相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣

對(duì)A施行一次初等列變換

相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣

例如

設(shè)

則有~r1

r2例如

設(shè)

則有定理1(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣

對(duì)A施行一次初等行變換

相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣

對(duì)A施行一次初等列變換

相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣

~c12c3定理2(矩陣可逆的充要條件)

方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1

P2

Pl

使A

P1P2

Pl

推論2

m

n矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q

使PAQ

B

定理1(初等矩陣在矩陣乘法中的作用)

設(shè)A是一個(gè)m

n矩陣

對(duì)A施行一次初等行變換

相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣

對(duì)A施行一次初等列變換

相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n

階初等矩陣

推論1

方陣A可逆的充分必要條件是A~E

r>>>>>>

設(shè)A為n階可逆矩陣

B為n

s矩陣

顯然A

1也可逆

所以存在初等矩陣P1

P2

Pl

使

A

1

P1P2

Pl

于是有A

1A

P1P2

Pl

A

即E

P1P2

Pl

A

及A

1B

P1P2

Pl

B

這表明

如果對(duì)A進(jìn)行若干次初等行變換化為E

則對(duì)B進(jìn)行同樣的初等行變換將化為A

1B

兩式合起來(lái)為

P1P2

Pl(A

B)

(E

A

1B)

矩陣A可逆

A

P1P2

Pl其中P1

P2

Pl都是初等矩陣

求逆矩陣的初等行變換法

設(shè)A為n階可逆矩陣

B為n

s矩陣

則存在初等矩陣P1

P2

Pl

使

P1P2

Pl(A

B)

(E

A

1B)

上式的意義

(i)取B

E時(shí)

上式成為P1P2

Pl(A

E)

(E

A

1)

(ii)當(dāng)A為可逆矩陣時(shí)

方程AX

B的解為X

A

1B

求AX

B的解可以對(duì)(A

B)進(jìn)行初等行變換

使之成為(E

A

1B)

此時(shí)即得X

A

1B

矩陣A可逆

A

P1P2

Pl其中P1

P2

Pl都是初等矩陣

求逆矩陣的初等行變換法

若矩陣A可逆

則矩陣(A

E)經(jīng)初等行變換可化為(E

A

1)

例1設(shè)

求A

1

解0

2110030

2010

230001(A

E)

11

111130

2010

230001~r1

r2r1

r311

11110

31

3

2

305

2223~r23r1r32r111

11110

10

4

2

305

2223~r22r2

r311

11110

10

4

2

300

2

18

8

12~r35r211

11110104230019

4

6~r2(1)r3(2)因?yàn)槿艟仃嘇可逆

則矩陣(A

E)經(jīng)初等行變換可化為(E

A

1)

例1設(shè)

求A

1

11

11110104230019

4

6~r0

2110030

2010

230001(A

E)

~r1

r2r1

r31006340104230019

4

6

所以

解因?yàn)槿艟仃嘇可逆

則矩陣(A

B)經(jīng)初等行變換可化為(E

A

1B)

例2設(shè)求線性方程組Ax1

b1和Ax2

b2的解

記X

(x1

x2)

B

(b1

b2)

則兩個(gè)線性方程組可合成一個(gè)矩陣方程AX

B

解

因?yàn)閪r>>>若矩陣A可逆

則矩陣(A

B)經(jīng)初等行變換可化為(E

A

1B)

例3求解矩陣方程AX

A

X

其中

把所給方程變形為(A

E)X

A

解

因?yàn)閪r所以討論

如何求解矩陣方程XA

B?其中A可逆

>>>>>>提示§3.3矩陣的秩我們已經(jīng)知道

給定一個(gè)m

n矩陣A

它的標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)r完全確定

這個(gè)數(shù)也就是A的行階梯形中非零行的行數(shù)

這個(gè)數(shù)便是矩陣A的秩

11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

k階子式

在m

n矩陣A中

任取k行與k列(k

m

k

n)

位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素

不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式

稱為矩陣A的k階子式

例如11

3

1D是A的一個(gè)二階子式11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

說(shuō)明

矩陣的秩設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式

數(shù)r稱為矩陣A的秩

記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

矩陣A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)

(1)若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0

則R(A)

s

若A中所有t階子式全為0

則R(A)

t

(2)若A為m

n矩陣

則0

R(A)

min{m

n}

(3)R(AT)

R(A)

幾個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論矩陣的秩設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式

數(shù)r稱為矩陣A的秩

記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

(1)若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0

則R(A)

s

若A中所有t階子式全為0

則R(A)

t

(2)若A為m

n矩陣

則0

R(A)

min{m

n}

(3)R(AT)

R(A)

幾個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論

(4)對(duì)于n階矩陣A

當(dāng)|A|

0時(shí)

R(A)

n

當(dāng)|A|

0時(shí)

R(A)

n

可逆矩陣又稱為滿秩矩陣

不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱為降秩矩陣

提示

例1求矩陣A和B的秩

其中在A中

容易看出一個(gè)2階子式A的3階子式只有一個(gè)|A|

經(jīng)計(jì)算可知|A|

0

因此R(A)

2

解以三個(gè)非零行的首非零元為對(duì)角元的3階子式是一個(gè)上三角行列式

它顯然不等于0

因此R(B)

3

B是一個(gè)有3個(gè)非零行的行階梯形矩陣

其所有4階子式全為零

對(duì)于行階梯形矩陣

它的秩就等于非零行的行數(shù)

定理1

若A~B

則R(A)

R(B)

根據(jù)這一定理

為求矩陣的秩

只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣

行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩

因?yàn)?/p>

解

例2求矩陣A的秩

并求A的一個(gè)最高階非零子式

其中

所以R(A)

3

為求A的最高階非零子式

考慮由A的1、2、4列構(gòu)成的矩陣因?yàn)锳0的子式所以這個(gè)子式是A的最高階非零子式

>>>>>>注

以B為增廣矩陣的線性方程組Ax

b是無(wú)解的

這是因?yàn)樾须A梯形矩陣的第3行表示矛盾方程0

1

例3求矩陣A及B

(A

b)的秩

其中對(duì)B作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣

設(shè)B的行階梯形矩陣為B0

(A0

b0)

則A0就是A的行階梯形矩陣

故從B0

(A0

b0)中可同時(shí)看出R(A)及R(B)

解

因?yàn)樗訰(A)

2

R(B)

3

>>>

例4設(shè)

已知R(A)

2

求

與

的值

解

因R(A)

2

故(6)R(A

B)

R(A)

R(B)

(5)max{R(A)

R(B)}

R(A

B)

R(A)

R(B)

特別地

當(dāng)B

b為列向量時(shí)

有R(A)

R(A

b)

R(A)

1

(4)若P、Q可逆

則R(PAQ)

R(A)

>>>這是因?yàn)?A

B

B)~(A

B)

于是R(A

B

B)

R(A

B)R(A

B)

R(A)

R(B)

矩陣秩的性質(zhì)(1)0

R(Am

n)

m